精品解析：江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期5月数学双周练试题

2023-2024学年（下）高一数学5月双周练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用同角三角函数的关系求出，倍角公式得，由，利用两角差的正切公式求出，再由两角和正切公式求出. 【详解】，，则， 有，， ，得， . 故选：A. 2. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 3. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算将用、用分别含，的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出，即可求得． 【详解】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线，所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以． 故选：B． 4. 在△ABC中，若，则B＝（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得． 【详解】因为，由正弦定理得 因为，所以 因为，所以，所以，而B为三角形内角，故． 故选：A． 5. 已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则 D. ，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系可得答案. 【详解】对于A，，，则，或，或与相交，故A错误； 对于B，，，则，或，故B错误； 对于C，，，则，故C正确； 对于D，，，则，或，故D错误. 故选：C. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件结合得到，进而根据与不共线可求得的关系，从而得最大角，再结合余弦定理即可得解. 【详解】因为且， 所以即， 因为与不共线，所以， 所以，， 所以角C所对的c边最大，故角C是最大，对应的余弦值为 . 故选：C. 7. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（ ）（参考数据：取） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】设，由题意可得， 由题意知：， 在中，由余弦定理可得， 得：，得：. 故选：B. 8. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，且AB=2， AA1=1，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线BC1与平面ABB1A1所成角，再根据直角三角形求结果. 【详解】取A1B1中点M，连C1M,BM, 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，所以底面A1B1C1是等边三角形， 从而C1M⊥A1B1,因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥底面A1B1C1，即AA1⊥C1M，从而C1M⊥平面ABB1A1，因此为直线BC1与平面ABB1A1所成角,因为,选C. 【点睛】本题考查线面角，考查基本分析求解能力，属基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理可判断； 由正弦定理可判断； 利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断； 由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断. 【详解】， ， ， 为锐角，但不能确定角是否为锐角， 故不一定是锐角三角形，故错误； 由正弦定理得， ， ， 有唯一解，故正确； ， ，， ， 又，解得， ，， ， ， ，即，故正确； 是锐角三角形，， 又， ，， 又在上单调递增， ，， ，故正确； 故选：. 10. 若向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算性质求解判断即可. 【详解】由题意得，得，所以，故A正确； 由，得，故B正确； 因为，所以不垂直于，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，P，Q分别为线段，上的动点不含端点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，Q，使得 B. 直线和直线异面 C. 存在点P，Q，使得平面 D. 周长的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，在取点，使，证明，和互为异面直线，可得不成立；B选项，由异面直线的判定可证明；C选项，由线面平行的性质，若平面，则，不合题意；D选项，将三棱锥展开成平面图形，利用共线求最小值. 【详解】A选项，在取点，使， 又正方体中有，则四边形为平行四边形， 有且，又正方形中且， 故且，则四边形是平行四边形，有， 平面，，平面， 所以和互为异面直线，则和不可能平行， 故不存在点P，Q，使得，A选项错误； B选项，在上取，与A选项同理可得， 由图可知，点在平面上方，点在平面下方， 则直线与平面相交，交点在线段上， 则， 平面，平面，， 则直线和直线异面，B选项正确； C选项，若平面，由平面， 平面平面，则， 此时点与点重合，不合题意，C选项错误； D选项， 将三棱锥展开成平面图形如图， 连接分别交和于，此时周长最短，即为， ，， 则由余弦定理得， 即周长的最小值为，D选项正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 13. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可. 【详解】在边长为2的等边中，为中线，则， . 故答案为：1 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点G，连接FG，BG，FB，由正方体的几何特征，易证平面AEC//平面BFG，再根据是侧面内一点（含边界），且平面，得到点P在线段BG上运动，然后在等腰中求解. 【详解】如图所示： 取的中点G，连接FG，BG，FB， 在正方体中，易得 又因为平面BFG， 平面BFG， 所以平面BFG，同理证得平面BFG， 又因为， 所以平面AEC//平面BFG， 因为是侧面内一点（含边界），且平面， 所以点P在线段BG上运动， 如图所示： 在等腰中，作，且， 所以， 设点F到线段BG的距离为d， 由等面积法得， 解得， 所以线段长度的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）求的坐标以及与之间的夹角； （2）当为何值时，与垂直？ （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）， ；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据向量差公式与夹角公式可得结果； （2）由与垂直可得，即可求得结果； （3）由化简再结合即可求范围. 【详解】（1）因为，则； 设与之间的夹角为则，因为 故 （2） 因为与垂直，所以，则得 （3）由 因为，所以 所以 【点睛】本题的解题关键在于准确掌握向量线性运算，以及求角和模公式. 16. 如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点， （1）的内角的对边分别为的面积，，，求和的值; （2）若，且，，求对角线的最大值和此时的值. 【答案】（1）， （2），最大值 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出的值，结合的取值范围可求得的值， 过点C作CH垂直BD于点H，根据，得，从而得到的值； （2）在中，得求，利用余弦定理结合三角函数看可求出的长的最大值及其对应的值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， ， 两式作商有又，所以 如图，过点C作CH垂直BD于点H， 则，则， ，故 【小问2详解】 在中，，， ， 所以， 又，所以 在中， 在中，由余弦定理得， 即， 即，， 当，即时，AC取得最大值 17. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 （1）求证：平面 （2）若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; （3）点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 【答案】（1） 连接交于点N，连接， 设及，可知， 又，所以，所以在中有， 又平面，而平面，所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，利用相似比证明，由线面平行的判定定理证明即可; （2）先证明,得到异面直线与所成的角为，然后利用余弦定理求解即可; （3） 先证明平面平面，再由线面平行的性质定理得到，再根据相似三角形求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点O，连接，， 根据，，O为的中点，可知为平行四边形， 所以，且， 则异面直线与所成的角即为（或其补角）， 因为为边长是4的等边三角形， 故，又， 所以， 所以异面直线与所成角的大小是 【小问3详解】 取中点G，连 ，  因为E是中点， G为中点， 所以，又平面，平面，  所以平面，  又因为平面， 且， ，平面，  所以平面平面BDM， 又平面EFG，所以平面 又平面，且平面平面， 所以，所以 由题可知，所以 即 18. 在中，角所对的边分别为. （1）求的大小； （2）若，点满足，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角函数同角关系式求解； （2）由正弦定理得，由，可得，两边平方后结合数量积运算求得，利用三角形面积公式求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以， 结合，解得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 由，可得， 则， 即，解得． 所以的面积为． 19. 如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且. （1）证明：平面. （2）作出二面角的平面角，并求其大小. 【答案】（1），且，故四边形为平行四边形，故， 平面，且平面，故平面. （2）， 【解析】 【分析】（1）确定四边形为平行四边形，得到，得到证明. （2）是中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：是中点，连接，，， 则，，故， 即，故， 平面平面，平面，平面， 故为二面角的平面角， ，，故. 故二面角的平面角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年（下）高一数学5月双周练 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，若，则B＝（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则 D. ，，则 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（ ）（参考数据：取） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，AA1⊥底面ABC，且AB=2， AA1=1，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 10. 若向量满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在棱长为的正方体中，P，Q分别为线段，上的动点不含端点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，Q，使得 B. 直线和直线异面 C. 存在点P，Q，使得平面 D. 周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 13. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则______. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量 （1）求的坐标以及与之间的夹角； （2）当为何值时，与垂直？ （3）当时，求的取值范围． 16. 如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点， （1）的内角的对边分别为的面积，，，求和的值; （2）若，且，，求对角线的最大值和此时的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，M为上一点，且 （1）求证：平面 （2）若为正三角形，，求异面直线与所成角的大小; （3）点E为中点，点F在线段上，且，若平面，求实数的值. 18. 在中，角所对的边分别为. （1）求的大小； （2）若，点满足，求的面积. 19. 如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且. （1）证明：平面. （2）作出二面角的平面角，并求其大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $