第9章 立体几何与空间向量-【经纶学霸●白题】2025年学霸高考数学一轮复习

第九章 立体几何与空间向量 学霸 第九章 立体几何与空间向量 第1节 空间儿何体的结构特征、表面积与体积 考点归纳 空间几何体的结构特征、表面积与体积 基础过关 考点全面,查漏补缺|限时:35min 平,这叫“平升”,则该“升”的“平升”约可装 (1000cm=1L) ( 一、单选题 ) 1.(2024·黑龙江哈尔滨三中期中)如图,一个 水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45*的等腰梯形,已知直观图OA'BC中 升:量粮食的器昊 A. 1.5 L B. 1.7 L C. 2.3L B'C'=1.0C'=/2.则该平面图形的面积为 D.2.7L ( 6.(2024·湖南长沙月考)已知菱形ABCD的边 长为2.乙BAD=60*,则将菱形ABCD以其中 一条边所在的直线为轴,旋转一周所形成的 几何体的体积为 ( ) B.6rr A.2r C.43n D. 8rr B.2 C.2/2 D. 42 7.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部 2.(2023·河北石家庄模拟)已知一个底面是菱 不朽之作,其第十一卷中称轴截面为等腰直 形的直梭柱的侧校长为5.菱形的对角线的长 角三角形的圆锥为直角圆锥,若某直角圆锥 分别是9和15.则这个直校柱的侧面积是 内接于一球(圆锥的顶点和底面上各点均 ( ~ 在该球面上),则此圆锥的侧面积和球的表 A.30/34 面积之比为 B.60/34 ) C. 30/34+135 D. 135 3.一个正四校锥的底面边长为2,高为3,则 。 该正四校锥的全面积为 C.2 A.8 C.16 B. 12 D. 20 8.(2024·四川绵阳模拟)已知某几何体由两个 4.正三校锥的高为3.侧校长为23,则这个正 有公共底面的圆锥组成,两个圆锥的顶点分 ( 三校锥的体积为 ) 别为A.B.底面半径为R.若AB+3R=9.则该 A.27 4 几何体的体积最大时,以R为半径的球的体 积为 。 ) 273 9./3 C. 2 A.4rr D.9 B.8r 4 # C.23 32π 5.(2024·浙江宁波模拟)如图是我国古代量粮 D. 16nr 食的器具“升”,其形状是正四梭台,上、下底 二、多选题 面边长分别为20cm和10cm.侧梭长为 9. 设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部 5.6cm.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮 挖去一个有相同球心的小球(称为内球),已 学霸高考白题 数学 知内球面上的点与外球面上的点的最短距离 上.且满足A.D+DE+EA取得最小值.记四校 为1.若某正方体的所有顶点均在外球球面 锥A.-B.C. ED、三锥 F-A.DE,A-DEF的 上、所有面均与内球相切,则 ( ) 体积分别为V,V,V,则 ( ) A. 该正方体的校长为2 A.V V V~34 3③ B. 该正方体的体对角线长为3+/3 B. V=V C. 空心球的内球半径为3-1 C.2V =3V D. 空心球的外球表面积为(12+63) D. V.=V+V 10.(2023·河北保定一模)沙漏,据《隋志》记 三、填空题 载:“漏刻之制,盖始于黄帝”.它是古代的一 12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 种计时装置,由两个形状完全相同的容器和 学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内 一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部 在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到 角,下周八尺,高五尺,问:积及为来几何?” 下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个 其大意为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米 沙时,如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成 堆为一个圆锥的四分之一)米堆底部的孤长 圆锥的底面直径和高均为6cm.细沙全部在 为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知1解米的体积约 上部时,其高度为圆锥高度的 为1.62立方尺,圆周率约为3.估算出堆放的 忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm 米有 解。(结果保留整数) 的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一 个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,以下结论正 确的是 ( __ 13. 为了给热爱朗读的师生提供一 个安静独立的环境,某学校修 建了若干“朗读亭”.如图所示。 A. 沙漏的侧面积是9、5πcm 该朗读亭的外形是一个正六校 16π B. 沙漏中的细沙体积为 cm3 柱(底面是正六边形,侧面是全 3 C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度 等的矩形)和正六梳锥的组合体,正六梭样 约为2.4cm 两条相对侧梭所在的轴截面为正方形,若正 D. 该沙漏的一个沙时大约是837秒(”。 六校锥的侧校长为2,正六梭柱的高为2 3.14) 则此组合体的体积为 11.(2024·河南郑州模拟)如图,正三校 14.(2023·广东深圳模拟)将一个底面半径为1. 柱ABC-A.BC.的底面边长为1.高为3.F 高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切 为校AA.的中点,D.E分别在梭BB..CC 割出的圆柱最大侧面积为 第九章 立体几何与空间向量 学翻高 第2节 空间点、线、面的位置关系 考点归纳 点、线,面的位置关系,异面直线 基础过关 考点全面,查漏补缺|限时:20min 0 一、单选题 1.已知角a的两边和角B的两边分别平行,且 .... 1 a=20,则B= ) A. 20* B.160· 3/30 330 A. D. 不能确定 10 C. 20*或160 20 2.(2024·湖北恩施月考)如图,aOB=I.A.Be 二、多选题 a.CEB.且Cl,直线ABOl=M,过A.B.C三 6.(2024·黑龙江哈尔滨三中期中)下列说法中 不正确的是 点的平面记作,则2与B的交线必通过 ( A. 各侧面都是正方形的正四校柱一定是正 方体 B. 用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台 C. C. 任意两条直线都可以确定一个平面 B.点B A.点A D. 空间中三条直线a.c.若a与共面, C. 点C但不过点M D. 点C和点M 与c共面,则a与c共面 3.(2023·江西九江二模)正方体ABCD- 7. 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原 为正方体,则下列说法中正确的是 ( ) A.B.C.D. 中.M是BC. 的中点,则直线DM _ 与A.C的位置关系是 __ A.异面垂直 B. 相交垂直 C. 异面不垂直 D. 相交不垂直 4.(2023·四川内江模拟)如图所示,在正方 体ABCD-A.B.C.D 中,如果点E是AA.的中 A. 直线CD与直线GI共面 点,那么过点D.,B,E的截面图形为( ) B. 直线CD与直线EF异面 C. 直线AB与直线EF共面 D. 直线GHI与直线EF异面 三、填空题 8.(2023·河南郑州模拟)在正方体ABCD- A.三角形 B.矩形 A.B.C.D. 中,写出一条过正方体两个顶点目 C.正方形 D.菱形 与直线AB,所成角为60*}的异面直 5.(2023·湖北武汉模拟)如图,圆柱的轴截面 线: 为矩形ABCD.点V.N分别在上、下底面圆 9.(2024·陕西商洛一模)在正四面体ABCD 上.N B=2 AN$$CM=2MD.AB=2.B$C=3.则异$$$$ 中,E.F分别是校BC.AB的中点,则异面直线 ) DE与CF所成角的余弦值是 面直线AM与CN所成角的余弦值为( 学霸高考白题 数学 第3节 直线与平面的位置关系 考点归纳 直线与平面平行,垂直的判定与性质 基础过关 考点全面,查漏补缺|限时:35min C. EF与平面ABC相交 一、单选题 D. 以上都有可能 1.(2024·山西运城模拟)已知两条不同的直 5. 如图,在正方体ABCD一A.B.C.D. 中,E 线m,n和平面ā满足m1a,则“m/n”是 为A.C. 的中点,则下列与直线CE垂直的是 ) ( “n1a”的 ( ) A.充分不必要条件 D B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.(2024·福建宁德模拟)已知直线m.直线n A. 直线AC B. 直线BD. 和平面a,则下列四个命题中正确的是 ~ C. 直线A.D. _ D.直线A.A A.若m/g,nCg.则m/ 6. 如图,在正方体ABCD-ABCD. 中,若E.F. B.若m/a.n/g.则m/n G分别是校AD.C.C.B.C. 的中点,则下列结 论中正确的是 ( C.若mIa.n/a.则mIn __ A. BE1平面DFG ) D.若m士n.n/a.则m1a ( ) 3.下列四个命题,真命题的个数为 B. A.E/平面DFG ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条 C. CE//平面DFG # I...c 直线,则这条直线垂直于该平面; D. 平面A.EB/平面DFG ②过空间一定点有且只有一条直线和已知平 7. 若平面a截三校锥所得截 面垂直; 面为平行四边形,则该三梭锥中与平面a平 行的校有 ( ③平行于同一个平面的两条直线平行 ) A.0条 B.1条 ④a与为空间中的两条异面直线,点A不在 C.2条 D.1条或2条 直线a,b上,则过点A有且仅有一个平面与 8.如图.已知正方体ABCD-A.B.C.D..M.N分 直线a,b都平行 ( 别是A.D.D.B的中点,则 C.2 ) A.0 B.1 D.3 4.(2023·江苏南通模拟)在空间四边形ABCD .DE DF 中,E.F分别在AD.CD上,且满足 EA,则 直线EF与平面ABC的位置关系是 ~ A. EF/平面ABC A. 直线A.D与直线D.B垂直,直线VN/平 B. EFC平面ABC 面ABCD 第九章 立体几何与空间向量 学霸 B. 直线A.D与直线D.B平行,直线MN1平 12.(2023·湖南长沙模拟)如图,点A,B. 面BDD.B. C.M.N是正方体的顶点或所在校的中点, 。 则满足MN//平面ABC的有 C. 直线A.D与直线D.B相交,直线MN/平 ) 面ABCD D. 直线A.D与直线D.B异面,直线MN1平 面BDD.B 9.(2023·湖南师大附中模拟)如图.已知正匹 2 台ABCD-A.B.C.D 中,AB=6.A. B. =4$ BB.=2.点V.N分别为A.B、B.C. 的中点。则 ( 下列平面中与BB,垂直的平面是 ) C D 13.(2023·广东湛江一模)在校长为2的正方 体ABCD-A.B.C.D. 中,点E.F分别为校BC与 D.C.的中点,则下列选项正确的有 ( ) A.平面A.C.D B. 平面DMN A.A.B/平面AEC C. 平面ACNM D.平面AB.C B. EF与BC.所成的角为30。 10.(2024·陕西汉中模拟)如图,在正方体 C. EF1平面B.AC ABCD-A.B.C.D 中.点M.V分别为AC.A. B D. 平面AEC 截正方体ABCD-A.B.C.D.的 ) ( 的中点,下列说法中不正确的是 截面面积为26 三、填空题 14. 在三校锥A-BCD中.AB=CD=1.过线段BC 中点E作平面EFGH与直线AB.CD都平 行,且分别交BD.AD.AC于F.G.H.则四边 形EFGH的周长为 A.MN/平面ADD.A 15. 在正方体ABCD-A.B.C.D. 中.M为A.B. 上 B. MN1AB 任一点,则AD 与CM的位置关 系是 C. MN与CC.所成角为45。 16. 如图,已知四梭锥P-ABCD的底面是平行四 D. MN1平面ACD 边形,E为AD的中点,F在PA上,AP=AAF, 二、多选题 若PC/平面BEF,则A的值为 ( 11.下列命题正确的是 ” a/b) aLg) A. →bIa {→a/b ala/ blg ala) . a/g →b/ →bla a上b/ a上b 学霸高考白题 数学 第4节 平面与平面的位置关系 考点归纳 平面与平面平行,垂直的判定与性质 基础过关 考点全面,查漏补缺|限时:35min 5.(2024·四川眉山模拟)下列命题中,不正确 的是 一、单选题 ( _- 1.(2023·湖南长沙模拟)设a.B是两个不同的 A. 夹在两个平行平面间的平行线段相等 平面,m是直线且mCa.则“m//B”是“g//B”的 B. 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直 ( _~ C. 若直线a/平面q.Pea.则过点P且平行 A. 充分不必要条件 于直线a的直线有无数条,且一定在a内 B.必要不充分条件 D.已知n,n为异面直线,n1平面g,n1平 C. 充要条件 面B,若直线i满足/1m.l1n.lCa./B D. 既不充分也不必要条件 2.如图,在正方体EFGH-E.F.G.H. 中,下列四 则a与B相交,且交线平行于1 ) 6.如图,在正方体ABCD-A.B.C.D.中,P是线段 对截面彼此平行的一对是 ( CD. 上的动点,则 ( f. ) A. 平面E.FG.与平面EGH B. 平面FHG 与平面F.H.G A.AP/平面BC.D B.AP/平面A.BC C. 平面F.H.H与平面FHE C. AP1平面A.BD D. AP1平面BBD D. 平面E.HG.与平面EH.G 7. 如图,在四梭锥P-ABCD中,四边形ABCD为 3.(2024·陕西渭南模拟)已知a.b.c是三条不 菱形,PA1平面ABCD.E是PD中点,下列叙 同的直线,a.B是两个不同的平面,下列结 述正确的是 ( ) 论正确的是 ( ) A.若a1b.a士c.则b/c A. CE//平面PAB B. a/a.b/g.则a/b B. CE1平面PAD C. 若a/a.b1a.则bla C. 平面PBC1平面PAB D.若aCa.a/B.则a/ D.平面PBD1平面PAC 4.下列不能确定两个平面垂直的是 一 8.(2023·山东枣庄二模)如图. A. 两个平面相交,所成二面角是直二面角 在梭长为1的正方体 B. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 ABCD-A.B.C.D 中.M是A.B C. 一个平面经过另一个平面的一条垂线 的中点,点P是侧面CDD.C D. 平面g内的直线a垂真于平面B内的直 线b 上的动点.且MP/平面AB.C.则线段MP长度 ( 的取值范围为 ) 第九章 立体几何与空间向量 学翻高 A.[# B.[1#1 A. OE/PC B. OE//平面PAD C.[# D.23 C.平面PBD1平面PAC D. 平面PAD1平面 二、多选题 ABCD 9.(2023·山东济南期中)如图,已知正方体 三、填空题 12. 如图,在三校锥P-ABC中,侧面PAC1底 ABCD-A.B.C.D.,则四个推断中正确的是 面ABC,且 PAC=90*.PA=1.AB=2.则 _ ) PB= 13.如图,点P在正方体ABCD-A.B.C.D.的面 A.A.C.与AD.所成的角为45。 对角线BC上运动,有以下4个结论:①三 B. A.C 1BD 梭锥A-D.PC的体积不变:②A.P/平 C.平面A.C.B//平面ACD 面ACD:③DP1BC.:④平面PDB. 1平 D. 平面A.C.B1平面BB.D.D 面ACD.则所有正确结论的序 10.如图,在正方体ABCD-A.BC.D.中,E,F分 号是 别为边AD.AB的中点,点P为线段D.F上的 动点,则 ( __ 14.如图所示,在正四校柱ABCD-A.B.C.D.中. E.F.G.H分别是梭CC.C.D.D.D.DC的 A. 存在点P.使得B.C./平面BEP 中点,N是BC的中点.点M在四边形EFGH B. 存在点P.使得B.BC平面BEF 及其内部运动,则V只需满足条件 C. 对任意点P.平面AB.D/平面BEP 时,就有MN//平面B.BDD.(注:请填上你 D. 对任意点P.平面FCC。1.平面BEP 认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可 能情况) 11.(2023·山东烟台模拟)如图,在四梭锥 P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD/ BC$AC1BD.垂足为点0.PA=PD=AD=$$ 3./ 2.BC=42.0P=3.E为PB的中点.则下 列结论错误的是 _~ 学霸高考白题 数学 第5节 空间角与距离 考点归纳 求线线角,线面角、二面角的大小,空间中的距离问题 基础过关 考点全面,查漏补缺|限时:20min 二、多选题 一、单选题 5.(2024·河南郑州模拟)如图,两个共底面 1.(2024·陕西渭南模拟)如图,正方体 的正四校锥组成一个八面体E-ABCD-F,且 ( 该八面体的各校长均相等,则 ABCD-A.B.C.D 中.E.F分别是DD.DB的 __ 中点,则异面直线EF与AD.所成角的正切 A.异面直线AE与BC所 值为 。 成的角为60 B. BD1CE C.平面ABF/平面CDE D. 直线AE与平面BDE 所成的角为60。 1## C## 三、填空题 A.2 D.3 6. 在直三柱ABC-A.B.C 中,CA=CB=4. 2.(2024·山东滩坊月考)在正三校柱 AB=27.CC.=25.E.F分别为AC.CC 的 ABC-A.B.C.中,若AB=2.AA.=1.则点A到$ 中点,则直线EF与平面AA.B.B所成角的大 小为 ) 平面A.BC的距离为 _ . A3 B## 3#3 7. 如图,在梭长为1的正方体ABCD-A.B.C.D D.3 中,E,F分别为BB.,CD的中点,以下说法 中正确的有 3.(2024·重庆巴南区期中)已知四梭锥 .(填序号) P-ABCD的底面是正方形,PA1平面ABCD. D 若PA=2AB,则平面ABP与平面CDP夹角的 ### . 余弦值为 ) 4.(2023·陕西渭南模拟)如图,在直三梭 ①直线AD.与BD的夹角为60*; 柱ABC-ABC 中AA.=AC=BC=1$AB=2$$ E是CC.的中点,则直线BC与平面A.BE所 ) ( 成角的正弦值为 ③经过三点A.E.F截正方体的截面是等腰梯形 C 8.(2024·山东德州模拟)已知矩形ABCD.AB= 1.BC=2,E是边BC的中点.AE和BD交于 点M.将△ABE沿AE折起,在翻折过程中 B# C #} D.#{ 当AB与MD垂直时,异面直线BA和CD所成 角的余弦值为 第九章 立体几何与空间向量 学霸昌 第6节 空间向量及其应用 考点归纳 利用空间向量解决点、线,面的位置关系,利用空间向量求解空间角和距离 则 乙基础过关 1 考点全面,查漏补缺|限时:20min ) 一、单选题 1.已知平面g内有两点M(1.-1.2).N(a.3. 3).平面a的一个法向量为n=(6.-3.6),则 a= ( _~_ A.PA1BD A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2024·江苏扬州期中)在空间直角坐标系 0-xvz中,已知异面直线1,1.的方向向量分 2/5 C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为 别为a=(1.-1.-2),b=(1.1.2),则/,1.所 成角的余弦值为 ) ( D. 平面PAB与平面PBC夹角的余弦值 2 7 3.(2024·四川眉山模拟)如图,在直三校 6.(2024·浙江宁波模拟)在正方体ABCD一 柱ABC-A.B.C 中.BC1平面ACCA.CA= A.B.C.D. 中,AA.=2.点E.F满足AF=AB+ CC.=2CB.则直线BC.与直线AB.夹角的余 AAA.+AD(0<A<1.0<<1).DE=ED.下列 弦值为 C ) . 结论正确的有 2/2 A. 直线BE与D.F一定为异面直线 15 B. 直线AE与平面ACB.所成角正弦值为 5 C. 四面体A-DEF的体积恒定且为2 D. 当A=u时,AF+A.F的最小值为12+46 (第3题) (第4题) 三、填空题 4.(2023·陕西西安模拟)如图,在长方体 7.(2024·湖南永州一模)在平行六面体 ABCD-A.B.C.D.中.AD=AA.=1.AB=2.点E $AB$CD-A.BCD 中.DA-a.DC=b.DD =c. P 是校AB的中点,则点E到平面ACD.的距 为DD,的中点,过PB的平面分别与 离为 ( ) 楼AA,CC.交于点E.F.且AE=CF,则BP+ E= (用a,b,c表示). 二、多选题 8.(2023·山东烟台二中模拟)已知在正方 5.(2024·重庆巴南区期中)如图,在四梭锥 P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形 A.BC.O平面CC.M=I.则直线/与D.M所成 乙DAB- T ,AB=2AD=2PD.PD1底面ABCD 3 角的余弦值为 学霸高考白题 数学 滚动训练 滚动第1~6节 空间几何体的结构特征、表面积与体积,位置关系,空间向量 阶段提升 阶段强化,巩固提升|限时:45min 一、单选题 1.(2023·江苏省海安高级中学模拟)设向量 a=(3.5.2).b=(-2.1.3).当数m与n满足 A. 192nrcm2 B. 252n cm2} 下列哪种关系时,向量ma+nb与x轴垂直 C. 272n cm2 D.336ncm2 1 ) A. 3m=2n 5.(2024·九省联考)设g,B是两个平面,n. B. 3m=n 是两条直线,则下列命题为真命题的是 ,。 C.m=2n ) D. m=n A.若q士B,m/g./B.则m士 2.(2024:湖北武汉模拟)已知某圆锥的母线 B. 若mCa.lCB.m/1.则g/g 长、底面圆的直径都等于球的半径,则球与圆 C. 若aOB=m./g./B.则m/ 锥的表面积之比为 ) D.若m1a.I1B.m/1.则a1 ={” B. A.8 6.(2023·河南郑州模拟)在正方体ABCD- ( A.BC.D.中,下列说法不正确的是 D ) A. 直线AC.与直线B.C垂直 3.(2023·广东惠州模拟)已知互不重合的三个 B. 直线AC.与平面A.BD垂直 平面g,B:2,其中gOB=a,BO2=b,Oa= . C.三校锥A.-C.BD体积是正方体ABCD- 且aOb=P,则下列结论一定成立的是 A.B.C.D.的体积的三分之一 ( ) A.b与c是异面直线 D. 直线AB.与直线BC.垂直 B.a与c没有公共点 7.(2023·陕西成阳模拟)如图,直四校柱 C.b/c ABCD-A.B.C.D. 的所有校长均为2.乙BAD= D. bOc=P ,E是侧校AA.的中点,则平面B.CE截四 4. 如图,在已知一陀蝶中,圆柱体部分的高BC 8cm.圆锥体部分的高CD=6cm.底面圆的直 校柱ABCD-A.B.C.D. 所得的截面图形的周 长是 径AB=16cm.这个陀蝶的表面积为( ( ) )2(n+1)+2-(2n+2)=2.显然当M>2时.Aa.<M恒成立.B正确:对 2.31.故选C. 于C,由Ab.=(n+2)·2,得b.-b.=(n+2)·2-}.当n>2时 b.=b.+(b -b )+(b-b)+(b-b)+.+(b.-b-.).即b.=1+ 3x2+4x2 +5x2+..+(n+1)x2-.于是2=2×2+3×2\+4x 22...+n×2-}+(a+1)x2”-1.两式相减得-b.=1+1+2'+2..+ 2-(nt1)x2~1-1.1-2-1 1-2(n+1)x2~)--nx2-,因此= a·2},显然b=1满足上式,则b=n·2l,由b.,-b.=(n+2)· 6.B 解析:如图是所求的几何体,该几何体上部分为圆锥,下部分为 2->0.得数列)b.是递增数列,b。有最小值1.无最大值,从而对任 在圆柱内挖去一个与上部分相同的圆锥,其中圆柱的高为CD=2,点 意M>0.总存在a=N'.使得.>V.C正确:对于D.Ab.=(n+3); _,然数列 2“-(n+2)·2-1=(n+4)·2*-1,由选项C得 2 1. (14是递减数列,0<1-4<5.因此对任意M→0.不存在a (3)*x2-6n.故选B 2. 13.4.5 22 解析;当m=3.k=2时,A.表示有2个元素的集 合.N=l1.2.3,因为A.CNi,且A.有2个元素,所以A=|1.2 或1.31或2.3,所以T=3.4.5;由题中定义可知;T =6. _(6+3m-3)(3m-3-5) 7.8..,3m-3.于是由s(T)2024- 7.A 解析:设直角圆锥底面半径为r.则其母线为v②r..顶点到底面 2 5-/16313 .5+V16313 圆圆心的距离为(2r)--r..底面圆的圆心即为外接球的球 2024-9r}-15m-40720- 2.而 6 6 V161291631316384一12716313128.故22 心,:.外接球半径为7. 5+\163132.又因为meN.,所以m的最大值为22.故答案为 8.C 解析:由题意可知该几何体的体积为v-1 6= 13.4.51,22. -R(9-3R)-=(-+3R}). 第九章 立体儿何与空间向量 令fR)=(-R+3R}).则/'(R)=(-3R+6R). 令/”(R)=0.得R-2(R=0含去). 第1节 空间儿何体的结构特征,表面积与体积 则0<R<2时 f'(R)>0./f(R)单调递增,R>2时/(R)<0.f(R)单调 基础过关 递减,故当R=2时,/(R)取得最大值,此时该几何体的体积最大,则 1.D 解析:作出原来的平面图形0ABC,如图, $C=20C'=2/②.BC=B'C'=1.在等腰形0A'BC 2 9. BD 解析:设内外球半径分别为7.R,则正方体的校长为2r,体对角 0 2:正 .S*soac-2x(1+3)x2/2=4v2.故选D. 方体的枝长为3+1.体对角线长为3+v3,.外接球表面积为 2.A 解析:由萎形的对角线长分别是9和15.得菱形的边长为 n(3+v③)2=(12+63)n.故选BD ()(1)-4,则这个直校桂的侧面积为4 10. BD 解析:A选项,设下面圆锥的母线长为1.则/-3+6= 3v5(em),故下面回锥的侧面积为S="rl=3x3v5n=9v5n(cm}) 故沙漏的侧而积为2S=18v5ncm}.故A错误; B选项.细沙全部在上部时,高度为圆锥高度的-..细沙形成 3.B 解析:由题得例面三角形的斜高为 ()()-2 .该四梳锥的全面积为2-+4x-x2x2=12.故选B. -# 4.D 解析:由题意可得底面正三角形的边长为3,.V-- B正确; 3-x3-9.故选D. C选项,由B选项可知,细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为 5.C 解析:根据题意画出正四校台的直观图,如图,其中底面ABCD是 16- an,其中此锥体的底面积为“·3=9r,故高度为- 边长为20cm的正方形,底面A.B.C.D.是边长为10cm的正方形 3 测校C.C=56.记底面ABCD和底面A.B.C.D.的中心分别为0和 161.8(en).C错误; 0.,则0.0是正四校台的高. 0 过C.作平面ABCD的垂线,垂足为E.则EeAC且C.E/0.0. C.E-0.0.所以四边形00.C.E是平行四边形,.0E=0.C.= 3x0.02 是837秒.D正确.故选BD. 11. ABD 解析:正三校柱ABC-A.B.C.的体积为Vac-4nC.=SAgc.'AA= 1$0v2(cm).故CE=0C-0E=102-52=52(cm)校台的高h ③ ×33 -.由题图可知V+V:VVa-. C.E=(5v6)-(5v②)=10(em).由核台的体积公式得V= 一学霸高考·白题·数学·46一 一个矩形A.P.PA.连接A.P.则A.D+DE+EA的最小值即线段A.P 4.D 解析:分别取BB..CC.的中点G.F.连接 的长.由于四边形A.P.PA为边长为3的正方形,DB.=A.B.=1. A.G.BF.D.F.GF,如图,四边形D.EBF即为A EC=CC -CE=CC -CP=3-1=2:F为AA 的中点V= 过点D.B.E的截面图形.由题意可知A.E/ #2)-.V:_Vr- GB且A.E=CB.:四边形A.EBG为平行四边 形。:A.G/EB. 又:GF/B.C 且 GF= B.C .A.D./B.C 且A.D =B.C .A.D/ GF且A.D.=GF..四边形A.CFD.为平行四边形..D.F/AG ③3 3-.V=Ve-uo=Vr-.n=V.v. B正确,.C不正确,D正确,故 .D.F/EB.同理ED./BF.. 四边形D.EBF为平行四边形. 又·EB=BF..平行四边形D.EBF为菱形.故选D 选ABD. 重难点拨 对于与几何体相关的截面问题,作出载面是解题关键,我们通常可 利用空间几何公理及推论或对平面延伸找出共线,共面关系;也可 利用学习的面面平行的性质,作出截面在平行平面上的交线。 5.D 解析:在AB上取点E.使点V与点E在AB两侧,且A=2EB,连 接NE.AN.NB.BE.EA(图略).易知四边形ANBE为矩形,则NB /AE.且 NB=AE.连接MN.CM. MN/ BC.且 MN=BC .四边 12.22 解析:设锥的底面半径为,尺,则2x3rx-=8.即-- 16 3 形MNBC为平行四边形...CM//NB.且CM=NB.连接CE.则AE/ CM.且AE=CM.:.四边形AECM为平行四边形,则AM/CE. 5.乙NCE或其补角是异面直线AV与CV所成的角.在Rt△BNC中. CB=3.BW=3.CV=3+(3)-23.在Rt△BCE中 CB=3. B$E=1.CE=V3+110. 又NE=AB=2.cos NCF= 13. 73 解析:由正六校杜的高为2及两条相对侧校所在的轴截面 10+12-4 3v30 ) 一故选D. 2xv10x2③20 为正方形知底面正六边形的边长为1.又正六校锥的侧校长为2 6. BCD 解析:对于A.正四校柱的底面是正方形,而该正四校柱的 各侧面都是正方形.:它是正方体,故A正确;对于B.用一个平行于 13. 回锥底面的平面截圆锥,才能得到一个圆锥和圆台,故B错误;对于 13 故答案 C.两条异面直线无法确定一个平面,故C错误;对于D.当a.c是异 面直线,b同时与a.c相交时,满足a与b共面,b与c共面,但此时 a.c不共而,故D错况.故选BCD 7. ACD 解析:如图.点C与点G重合,则 14. 解析:如图,设罔柱的底面半径为r(0<r<1),圆杜的高为h. i) 则根据题意得0B=1.0S-2.0D=r.设CD=a..BD=1-r. CD与CH相交,故A正确:在正方体中 CE/DF且CE=DF,故四边形CDFE为平 行四边形..CD/EF,则CD.EF共面,故 .圆桂的侧面积5-2-rh-2nr(2-2)-4-m(-).. B错误:·ABOEF=B,:.AB.FF共面,故 C正确;由图可知,EF,GW不在同一个平 面,且EF,GH既不平行也不相交.:EF,i GH为异面直线,故D正确.故选ACD 判断异而直线的方法: 方法总结 (1)定义法:不在任何同一平面的两条直线为异面直线; (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过 该点的直线是异面直线. 8. BC.或BD或A.D或A.C 解析:如图,易知△AB.D.是等边三角 第2节;空间点,线、而的位置关系 形,且AD.//BC .B.D.//BD..AB 与BC 及BD所成角均为60 基础过关 同理,△ABC也是等边三角形可以看出AB,与A.D及A.C.所成角 1.C 解析:一角a的两边和角B的两边分别平行.,.a.B相等或者互 也为60。故答案为BC.或BD或A.D或A.C.. 补...B=20或160”,故选C. 2.D 解析:·直线ABO1=M.过A.B.C三点的平面记作y.B y=MC..v与B的交线必通过点C和点M.故选D. 3. B 解析:A.B./CD.且A.B.=CD..四边形A.B.CD为平行四边 形,故B.C/A.D.又MEB.C.则DM与A.C共面相交.设DM与AC 相交于E.正方体校长为2.则MC=v2.A.D=2/2,MD=v6.A.C (第8题) (第9题) ##C2 6 解析:如图.取线段BF的中点G.连接DG.EG.DF 与A.C的位置关系是相交垂直,故选B ·E是校BC的中点,则GE为△BCF的中位线,故EG/CF,则 一学霸高考·白题·数学·47一 Z.DEG是异面直线DE与CF所成的角或其补角 CC.E.于是得BD 1平面CC.E.而CEC平面CCE.则BD. 1CE 正四面体ABCD中.设AB=4.由于F是校AB的中点,故DF1AB.则 B符合:A.D./B.C./BC.若BC1CE.面BC1CC..CC DCE=C CC..CEC平面ACC.A..则有BC1平面ACCA..又ACC平面 ACC.A..则BC1AC.与乙ACB=45*矛盾.因此.直线BC与直线CE 不垂直,即直线A.D.与直线CF不垂直.C不符合;与选项A同理. 直线A.A与直线CE不垂直.D不符合.故选B. DE+EG-DG* 在ADFG中,由余落定理可得m/DFG 6. C 解析:如图.连接A.D.AG.由ABCD-A.B.C.D.为正方体,且F.G 2DE·FG 分别是校C.C.B.C. 的中点.得FG/A.D.则平而DFG即为平 面A.DFG.A选项,连接D.G.BE.由正方体可知D.G/BE.又D.G1A. G 不成立..BE1A.C不成立,即A选项错误;B选项,连接A.E. 由于异面直线所成角范围为(0*}.90}].故异面直线DE与CF所成 由A.EO平面A.DFG=A..故A.E与平面A.DFG不平行,B选项错 误;C选项.连接CE.则CE/A.G.又A.GC平面A.DFG.CE 第3节 直线与平面的位置关系 A.DFG.4.CE/平面A.DFG.C选项正确;D选项.平面A.EB与平 基础过关 面A.DFC有公共点A..故D选项错误.故选C 1.C 解析:若m/a.则由m1a.可得n1a.充分性成立;反之,若a D a.则由m1a.可得m/n.必要性成立..“m/n”是“n1a”的充要 A 条件故选C ,& 2.C 解析:对于A.若m/a.nCa.则m/n或m与a异面,故A错误 对于B.若m/a.n/a.则m/n或n与n异面或m与n相交,故 ....C B错误. 对于C.若a/a.如图,过a作平面B,使得aOB=l.则a/Lm1a. lCa:m士,又n/则n士“:故C正确 7.C 解析:如图所示,平面a即平面EFGf,则四 边形EFGHI 为平行四边形,则FF//GH::EFC 平面BCD.CHC平面BCD...EF/平面BCD.又 ·EFC平面ACD,平面BCDD平面ACD=CD.B .EF/CD.又FFC平面EFGH.CD平面 EFGH.:CD//平面EFGH.同理.AB/平面EFGH.:与平面a(手面 EFCH)平行的楼有2条. 对于D,若a1n,n/a.则m/a或mCa或m与a相交,故D错误 8. A 解析:连接AD..B.D.图略.则易得点在AD.上.且A为AD 故选C. 的中点,AD 1A.DAB1平面AA.D.D.A.DC平面AA.D.D 3.B 解析:命题①:由直线与平面垂直的定义 A :AB1A.D.又ABOAD =A.AB.AD.C平面ABD..A.D1平 可知,若直线垂直于一个平面的任意直线,则 面ABD.又BD.C平面ABD..显然A.D与BD.异面..A.D与BD 该直线垂直于该平面,故命题①错误;命题 异面且垂直.在△ABD.中.由中位线定理可得MV/AB又MVC平 ②:由直线与平面垂直的性质定理可知,过空 面ABCD.ABC平面ABCD..MN/平面ABCD.易知直线AB与平面 间一定点有且只有一条直线与已知平面垂 BB.D.D成45*角 .MV与平面BB.D.D不垂直:选项A正确. 直,故命题②正确;命题③:平行于同一个平 9. C 解析:分别延长AA..BB.CC..DD.交于一点P.取PB中点0. 面的两条直线,可能平行,可能相交,也可能 连接A0.CO.如图所示.正四校台ABCD-A.B.C.D. 异面,故命题③错误;命题④:如图,当点A在正方体上底面时,不存 .P-A.B.C.D.为正四校锥 +AB=6.A.B -4.BB -2.且△PAB 在平面同时平行于直线a,b;点A不在异面直线a,6上,:若点A A.B PB 在直线a.b之间,则可以确定一个平面同时平行于直线a.b;若点A 在直线a,5的外侧,也可以确定一个平面同时平行于直线a.b,故命 6.即△PAB为等边三角形0为PB中点..A01PB.且0B=3.同 题④错误故选B 理可得C01PB.BB=2.0B.=1.即 DE DF 4.A 解析:如图,: oB00- E4FO..FF/AC. 又· ACC平面ABC.EFC平 为A.B,B.C. 中点: AB, ANB,=2.故2ANB2 面ABC.*.EF/平面ABC..EFO平面ABC=②.因而选项B.C.D 均错误,故选A. 0. OB M-2OBA OB N-2OBC. . △OB M △OBA. ##行## △OB N△OBC.乙OMB =乙QAB.乙ONB =乙OCB.MB /AB.NB//CB..M在AO上.N在CO上AO1PB.CO1PB. .AM 1PB.CNIPB.即AM 1BB..CV1.BB.AMC平面AMNC. CNC平面AMNC.AMOCN=0..BB.1平面ACNM.故选C (第4题) (第5题) 5.B 解析:在正方体ABCD-A.B.C.D.中,连接AC.如图,点E是矩 形ACC.A.边AC.的中点,直线AC与直线CE不垂直,A不符合;连 接B.D.由CC 1平面A.B.C.D..B.D C平面A.B.C.D..得 B.D.1CC .面B.D. 1A.C.又AC.OCC.=C..AC .CC C平面 一学霸高考·白题·数学·48一 10. D 解析:对于A:如图①.连接BD.A.D. FN=2.EF=6,由余弦定理可得cos乙NEF= EV?+Er&-Nr& D 2EN·FF 2+6-23 2X2X. EF与BC。所成的角为30”,故B正确,如图②所 示,假设EF1平面B.AC正确,则EF1 B.C.又FC 1B.C. EFO FC.=F B C1平面EFC.得B.C1EC.在正方形B C.CB中. ① B.C1EC..显然不成立..假设错误,即EF1平面B.AC错误,故 在正方形ABCD中.M为AC的中点..ACOBD=M.即M也为BD C错误.故选ABD. 的中点.在△A.BD中.M.N分别为BD.A.B的中点..MV/A.D.又 A 一M平面ADD.A..A.DC平面ADD.A...MV/平面ADD.A.. 故A正确 对于B:AB1平面ADD.A..AB1A.D.AB1MV.故B正确 对于C:MN/A.D.CC /D.D..MN与CC.所成角为乙A.DD.= 45,故C正确 乙 ② 对于D:如图②.连接A.D.B.C.CD..B.D..AD.. 14.2 解析:如图,AB/平面EFGH,平面ABCD平面EFCH= 1 EII.ABC平面ABC..AB/EH.又点E为BC中点. EII为三角 1 2.园 边形EFGII的周长为2.故答案为2 ② ·B C=CD =BD . B CD =60:B.C/A.D .A.D与 CD 不垂直,即MV与CD.不垂直,则MV不垂直于平面ACD..故D错 误.故选D. 11.AB (第14题) 12.AD 解析:对于A选项.由图①可知MN/DE/AC.MN平 (第15题) 面ABC.ACC平面ABC..MV/平面ABC.A正确.对于B选项 15.垂直 解析:如图.在正方体ABCD-A.B.C.D.中.一侧校A.B。1平 设日是EG的中点,由图②,结合正方体的性质可知,AB/NH. 面BCC.B..BC.C平面BCC.B.A.B.1BC..又·四边形BCC.B MN/AB//BC.AM/CH..A.B.C.H.N.M六点共面.B错误.对于 是正方形。.B.C1BC..B.COA.B.=B,故BC.1平面B.CM C选项.如图③所示.根据正方体的性质可知MV/AD..AD凸平 .AD./BC ..AD.1平面B.CM.因此AD.1CM.故答案为垂直 面ABC=A.:MV与平面ABC不平行..C错误.对于D选项,如图 16.3 解析:设AC交BE于G点,连接FC.如图所示 ④.设ACONE=D.·四边形AECN是矩形..D是NE中点·B 是ME中点.:.MN/BD·MNC平面ABC.BDC平面ABC .MV/ 平面ABC.D正确.故选AD 2 ① #4A4G, ·PC//平面BEF.PCC平面 PAC.平面 PACO平面BEF=FG.故 APAC ③ ① 13. ABD 解析:如图①所示.设点MI为校A.D.的中点,则MC..AE平 第4节 平面与平面的位置关系 行且相等..四边形AEC.为平行四边形.又A.B/ME,A.B2平 基础过关 面AEC.,MEC平面AEC ,'.A.B/平面AEC.,故A正确.由上可 1.B 解析:根据mCa,m/得不到a/B.a.B可能相交..只要 知,四边形AEC.M为平面AEC.截正方体ABCD-A.B.C.D. 的截 和a.B的交线平行即可得到n/B;反之,a/B,mCa..m和B没有 公共点,.m//B.即由a/B能得到m//B..“m//B”是“a//p的必 而.易得AE=EC.=C.M=MA=5.故四边形AEC.M为菱形.又其 要不充分条件,故选B. 对角线EM=22.AC=23,故其面积为-x2v2x23-2v6,故 2. A 解析:如图.EG/E.G .EGZ平面E.FG.F.G.C平面E.FG. D正确.设CC.的中点为N.连接EV.FV.E.N分别为BC与CC $.EG/平面E.FG.同理可证H.E/平面E.FG:又H.EOEG= 的中点,.EN/BC。,故乙NEF为EF与BC。所成的角,又EV= E.H.E.EGC平面EGH..:平面E.FG。/平面EGH..故选A 一学霸高考·白题·数学·49一 足为点N(图略).·平而PBC1平面PAB.平面PABO平面PBC PB.CNC平面PBC..CN1平面PAB.·过点C作平面PAB的垂线有 且只有一条.:.CM.CV重合.:平面ABCDO平面PBC=BC.:.BC1AB 四边形ABCD是菱形,BC与AB不一定垂直,故C错误.对于D.一·四 边形ABCD是菱形.:.BD1AC:PA1平面ABCD.BDC平面ABCD .BD1PA.·PAOAC=A..BD1平面 PAC·BDC平面 PBD :平 面 PBD1平面PAC,故D正确.故选D. (第2题) (第4题) 8.A 解析:取CC.的中点R.取CD的中点V 3.D 解析:对于A.若a1baLc.则b.c可能平行、相交或异面,A错误; 取B.C.的中点H.连接MC..MH、HR、A. 对于B,若a/a.b/a.则a.b可能平行、相交或异面,B错误; RV.MV.MR,如图所示.是A.B. 的中 对于C.若a/a.bLa.则可能bCab/a或b与a相交,C错误; 点,H是BC.的中点BC/HRHRC平 对于D.若a/B.aCa.则a/B.D正确.故选D. 面AB.C.B.CC平面AB.C.:HR/平 4.D 解析:如图所示,在正方体ABCD-A.B.C.D.中,平面A.B.CD内 的直线A.B.垂直于平面ABCD内的一条直线BC,但平面A.B.CD IROMH=H.HR,MHC平面MNRH.:.平面MNRH//平面AB$C 与平面ABCD显然不垂直.故选D. 又MPC平面MNRII,线段MP扫过的图形是△MNR,由AB=1 5.C 解析:对于A.如图①.平面8/平面r.点A.D=平面8,B.C=平 面7.且AB/CD.由AB/CD.得点A.B.C.D共面,平面ABCDD平面 8=AD.平面ABCDO平面+=BC,而平面8/平面+.于是AD/BC,因 #()#-#-()()# 此四边形ABCD是平行四边形。:AB=CD.A正确 2.MV}-NR{}+MR},即乙MRV为直角..线段MP长度的取值范围是 [_故选A. 9. BCD 解析:在正方体ABCD-A.B.C.D.中,对于A.由正方体的性质 可知AD./BC.. 乙A.C.B即为异面直线A.C.与AD.所成的角 ·△A.C.B为等边三角形..乙A.C.B=60。.A.C.与AD 所成的 ② 1 角为60.故A错误.对于B.A.C./AC.AC1BD.&.A.C 1BD.故 对于B.设平面A.2、*两两垂直,它们的交线分别为b、c、d.过平面A B正确.对于C. A.C /AC.AD /BC .A.C.BC. 平面 内点0的直线ef分别满足e1b,f1c.如图②,由A1y,A0y= ACD..AC.AD.C平面ACD...A.C//平面ACD..BC.//平面ACD. b.eCA.e1b.得e1v.而yOx=d.则e上d.同理/1d.因此d1A,又 又A.C.OBC.=C..平面A.C.B/平面ACD..故C正确.对于D. b.eCA.从而d1b,d1c.同理b1c..三个两两垂直的平面的交线 A.C 1B.D .A. C BB .B. D. OBB =B.B. D. BB C平面 也两两垂直,B正确 BB D D..A.C.1平面 BB.D.D又A.C.C平面A.C.B: 平 对于C.由直线a/平面a.Pea.得直线a与点P确定一个平面q. 面A.C.B1平面BB.D.D.故D正确.故选BCD 令平面a与平面a的交线为a',显然a'/a,且a'C平面a.直线a -方法总结 唯_-.C错误. 判定两个平面平行的方法: 对于D.假定a与B平行,由m1平面a.得mI平面B.又n1平面 (1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面(判定 B.于是m/n.这与m,a为异面直线矛盾,即假设不成立,因此a与8 定理); 相交,由n1平面B、11n及12B,得1/B.同理//a.在平面a内存在 (2)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相 直线//1.在平面$内存在直线/”/1(/,7”均不为平面a与B的交 交直线(判定定理的推论): 线),即有//r”,于是/P/B,直线!平行于平面a与B的交线,直 (3)一条直线同时垂直于两个平面; 线1平行于平面a与B的交线,D正确,故选C. (4)两个平面同时乎行于第三个平面。 6. B 解析:连接AD..AC.A.B.BC..A.C.. C 10. ABD 解析:选项A.当点P与点F重合时,平面BEP即为平面AB 如图,正方体ABCD-A.B.C.D.中,由AA. CD.由于B.C./BC.B.C.平面BEP,BCC平面BEP.此时B.C / 与CC,平行且相等得平行四边形A 平面BEP,正确.选项B.若B.BC平面BEP,此时平面BEP与平面 ACC.A..得A.C /AC. AC?平面 BB.E重合.连接EF.B.D.(图略).易得EF/B.D..故B.E.D.F相 A.BC..A.C.C平面A.BC.得AC/平 交,当点P为平面BB.E与线段D.F的交点时成立,正确.选项C. 面A.BC:同理AD./平面A.BC.. 当点P与点F重合时,平面BEP即为平面ABCD.平面ABCD与平 而AD..AC是平面AD.C内两条相交直 面AB.D.交于过点A的一条直线,错误.选项D.连接CF(图略),由 线,因此有平面AD.C/平面A.BC..APC平面AD.C.:.AP/平 于CC.1平面ABCD.CFC平面ABCD.故CC。1CF.文AE=BF.AB 面A.BC.故选B 7.D 解析:对于A.·四边形ABCD是菱形..CD/AB.一CD平面 CB.LA=乙CBF.故△AEB△BFC.故乙AEB=乙CFB.即乙EBA 乙 CFB=90o故CF1BE.又CF.CC.相交.CF.CC.C平面FCC.故 PAB,ABC平面PAB..CD/平面PAB.若CE/平面PAB.·CED BE1平面FCC.又BEC平面BEP,故对任意点P.平面FCC.1平 CD=C.:平面PCD/平面PAB,事实上平面PCD与平面PAB相交. 面BEP.正确.故选ABD 假设不成立,故A错误.对于B.过点C在平面ABCD内作CF1AD.垂 11. ABD 解析::AD/BC..0C0B= oA0D 足为点F(图).·PA1平面ABCD.CFC平面ABCD.:.CF1PA.:CF 1AD.PAOAD=A.:.CF1平面PAD.:过C作平面PAD的垂线有且 .如图,在PA上取一点M,使得 AD3 只有一条..CE与平面PAD不垂直,故B错误.对于C.过点C在平 #.000 面ABCD内作CM1.AB.垂足为点M(图略).·PA1平面ABCD A 3 CMC平面ABCD..CMIPA.·CMIAB.PAOAB-A..CM1平面 PAB.若平面PBCI平面PAB.过点C在平面PBC内作CV1PB.垂 一学霸高考·白题·数学·50一 .0M//PC又0FOOM=0.:.0F与PC不平行.A错误AD/ 04 oD AD 3 腰三角形A.BC中,底边 aC上的高为(v5)-(x2){-2. 连接EF.FG.则EF/ AB EF--AB.:. EF/OG. 且 EFOG. 四 .等腰三角形A.BC的面积为-x2x2=2.设点A到平面ABC的距 1 ③ 边形EOGF为梯形.0E.FG相交.而FGC平面PAD..0E与平面 PAD相交,B错误.又0P=3.PA=3.:0A}+0P=PA :.0P 故选B. 1AC.又BD1AC.BDOOP=0.BD.0PC平面PBD .AC1平面 方法总结 PBD.又ACC平面PAC.:平面PBD1平面PAC.C正确.由0B=4 求点到平面距离的方法: (1)定义法;过点作平面的垂线,求出垂线段的长,即为点面距。 (2)体积法:一般转化为求三校锥的一个顶点到对面的距离,换底后 0.AC.BDC平面ABCD..OP1平面ABCD.又OP平面PAD,且直 三楼锥的体积易求,则由体积公式可得点面距。 线OP与平面PAD交于点P.:平面PAD与平面ABCD不垂直, D错误.故选ABD. 3. B 解析;四校锥P-ABCD的底面是正方形,PA1平面ABCD.则此四 12. 5 解析:一侧面PAC1底面ABC.交线为AC.乙PAC=90(即PA1 梭锥可补形成长方体PB.C.D.-ABCD.如图.显然直线PB 是平 而ABP与平面CDP的交线.由PB,1平面APD.D.得PB。1PA AC).PA 1平面 ABC.PA 1AB.PB=PA+AB= PB 1PD.因此乙APD是平面ABP与平面CDP所成二面角的平面 V1+2-/5. 13.①②④ 解析:对于①.由题意知AD./BC..易得出BC。/平 "PD5· 面AD.C.故BC.上任意一点到平面AD.C的距离均相等..以P为 .平面ABP与平面CDP夹角的余弦值为2/5 顶点,△AD.C为底面的三校锥 P-AD.C(即三校锥A-D.PC)的体 故选B. 积不变.故①正确.对于②.如图①.连接AC.AD..CD..A.C./AC 4.D 解析:由题意知.SA.oc-CE·BC--.且A. 到平面BCE的 由①知.AD./BC..易得出平面BA.C./平面ACDA.PC平 面A.BC...由面面平行的性质可得,A.P/平面ACD.,故②正确. 对于③.如图②.连接DP.PC.·DC1平面BCC.B...DC1BC、.若 5.BA4,V3.故E到BA.的距离为 DP1BC..则BC。1平面DCP,故BC 1PC.则P为BC.的中点,与 2 .设C到平面A/BE的距离为d.由 2..S_= P为动点矛盾,故③错误.对于④.如图③.连接DB。.AD..D.C.AC /6 由DB.1AC且DB。1AD..可得DB。1平面ACD..从而由面面垂直 # 的判定知,平面PDB。1平面ACD.,故④正确.故答案为①②④. _ ,重难点拨 本题的关键在干将所求角的正弦值转化为求点C到平面A.BE的 距高。 5. ABC 解析:·BC/AD..乙EAD(或其补角)即为异面直线AE与 1 。 BC所成的角.又AD=DE=AF.. EAD=60*$.即异面直线AF与BC 14.点M在线段FH上(合理即可)解析:连接HV.FH.FN(图略),则 所成的角为60*,A正确 FH/DD..HN//BD..平面FHN/平面B.BDD.故若MFH. 连接AC交BD于点0.则点0为正方形ABCD的中心.连接EF(图 则MNC平面FHV...MV/平面B.BDD. 略).根据正校锥的性质可知EF必过点0.且OE1平面ABCD.:.0E1 第5节 空间角与距离 BD义BD1AC.OFOAC=0.0E.ACC平面ACF.:BD1平面ACE 基础过关 又.CFC平面ACF:BDI CF.B正确 1.B 解析:如图所示,连接BD..E.F分别为线段DD.和线段DB的 由对称性可知OE=OF,O4=0C.:.四边形AFCE为平行四边形 中点.EF为△D.DB的中位线.EF/D.B.则异面直线EF .AF//CE.又AF平面CDE.CEC平面CDE.:.AF//平面CDE;同 与AD.所成角的正切值即为直线D.B与D.A所成角的正切值 理BF/平面CDE.又AFOBF=F,AF,BFC平面ABF .平面ABF/ (AB1AD. 平面CDE,C正确. 'ABLA.. .AB1平面ADDA:又AD.C平面ADD.A 由AE=AF.0E=OF,得A01EF,在正方形ABCD中.A01BD.又 BDOEF=0..A01平面BEDF..乙AEO即为直线AE与平面BDE 故选B. $..E0=AE*-A0=$②=A0 AE0=45*.D错误.故选ABC ## AC..即求直线AC.与平面AA.B.B所4 成角的大小.取A.B:的中点G.连 接AG CC..CA=CB.C. A.=C.B. 即CG1AB. (第1题) (第3题) A.1平面A,B.C) 2.B 解析:在正三楼柱ABC-A.B.C.中.若AB=2.AA:=1..S△ac= C.CC平面A.B.C ) →A.1CG 一学霸高考·白题·数学·51- C.G1A.B. C.G1AM.. A.B.AA.=A. -C.G1平面AA.BB A.B.C平面AA.B.B. A4.C平面AA.B.B .C.AG即为直线AC 与平面A4.B.B所成角.C.G=C.A} ② 第6节 空间向量及其应用 c.G1 6..sin/CAG= 基础过关 1.C 解析::M(1.-1.2)N(a3.3)=(a-1.4.1)·平面a的 44.B_B所成角的大小为-.故答案为” 一个法向量为n=(6-3.6).n1M,则n·M-6(a-1)-3x4+ 7.①② 解析:对于①.如图①.连接DB,直线AD.与BD所成的角是 6=0.解得a=2.故选C 直线AD。与B.D.所成的角.△AD.B:各边均为正方形的对角线. 2.A 解析:设异面直线1.,1.所成的角为6.·异面直线1.,1.的方向 即△AD.B.是等边三角形.:.直线AD.与BD的夹角为60{,故①正 向量分别为a=(1.-1.-2).b=(1.1.2).cos6=leos a.b l= a,b 确.对于②,如图②.·AD1平面A.ABB.:.AD1AE.AD1AB. 11-1-41 lalll 3.C 解析:在直三校柱ABC-A.B.C. 中.CC 1平面ABC.AC.ABC平 面ABC.:CC.1AC.CC 1AB.BC1平面ACC.A.ACC平面 ACC.A.:.BC1AC..CA.CC..CB互相垂直. 知AE/FH,四边形AFHE就是经过三点A.E.F截正方体的截面 以C为原点,分别以CA.CC..CB所在的直线为x.y.:轴建立如图所 一EHAF..不是等腰梯形,故③错.对于④.如图④,点C.到平 示空间直角坐标系. 面AB.D 的距离等于点A 到平面ABD 的距离,由 设CA=CC.=2CB=2.则C(0.0.0).A(2.0.0).B.(0.2.1).B(0.0. 1).C(0.2.0). ## 可得4B=(-2.2.1).BC=(0.2.-1). BCAB .co(BCAB- 4-15 1BC1·1AB1x/55 .直线BC.与直线AB,夹角的余弦值为.故选C.。 心 D. 行## 4.C 解析:如图,以D为坐标原点,以DA.DC,DD的方向分别为:轴 y轴:轴的正方向建立空间直角坐标系,连接D.E.则D.(0.0,1). E(1.1.0).A(1.0.0).c(0.2.0).从面D.=(1.1.-1)A-(-1.2. 0).AD=(-1.0.1).设平面AcD.的法向量为n=(a.b.c),则 1-+c=0. n.AD=0.* E到平面ACD,的距离h= 解析:如图①.在矩形ABCD中,AB=1.BC=2.E是边BC的中 3 点,故B 又乙BAD=乙ABE=90*,故△ABEC # ABAD △DAB BAE=LADB,则乙BAE+ ABD=乙ADB+ ABD=90 故AE1MD.如图②.将△ABE沿AE折起,在翻折过程中AB'与MD 垂直时.一AEOAB'=A.AE.AB'C平面AB'E.:MD1平面AB'E. ·MDC平面AECD.平面AB'E和平面AECD垂直·B'M1AE B'MC平面AB'E,故B'M1平面AECD.连接B'B.乙B'AB或其补角即 为异面直线B'A和CD所成的角 3则B= 定理可得BD=AB}+AD*-2AB·AD·c0s .AD+BD=AB..AD1BD·PD1底面ABCD.BDC平面ABCD. B+B-# 3 . BD1PD.·ADOPD=D.AD.PDC平而 PAD :.BD1平面PAD. ·PAC平面PAD.PA1BD.A对.对于B选项.PD1底而ABCD 11_2 AB?}+AB"-B'B -_0 又AB'=AB=1.故cos B'AB- -___ 2AB·AB =3.即异 一学霸高考·白题·数学·52一 又:LPBD为锐角,故乙 PBD= .m-3-15 (-2.0.1),故 cosAF,m)= .设直线AE 1AE11m 5·3 5 [0]故 sn o _)- 与平面ACB.所成角为0.8e CD=AB=2..异面直线AB与PC所成的角为乙PCD或其补角 :PD1底面ABCD.CDC平面ABCD..PD1CD..PC 由于点F落在四边形BCC.B.的内部,故F到平面ADE的距离为2. 25.C对.对于D选项.:PD1底 1x2-2-.即四面体A-DEF的体积为定值.C错误. 面ABCD.AD1BD.以点D为坐标原点.D4.DB.DP所在直线分别为 1.V.:轴建立如图所示的空间直角坐标系。 当=时.F(2-2A.2.2A).此时点F在BC.上(不含端点),如图将 △A.BC.绕BC:翻折到和四边形ABC.D:同一平面内. 连接AA..当A.F.A. 三点共线时,AF+A.FD 取得最小值,最小值为AA.的长.由题意可 知AB=2.AB=BC =AC =22. ._.C_BA-",故A=AB+A:B”-2AB. 则A(1.0.0).B(0.3.0).C(-1.3.0).P(0.0.1). 5-12+4/6,故AA:“ A.Beos ABA)=22+(2/2)2-2x2x2/2xco 设平面PAB的法向量为m=(y.).AB-(-13.o)A=(-1 (mn.4--xv③y=0. o.f),则“ 取x.=v3,则m=(3.1.3). 12+4V6,即AF+A.F的最小值为 12+4V6.D正确.故选ABD 1.--+=0. 7.-2a解析:如图所示.。 设平面PBc的法向量为n=(x:v:).=(-1.0.0).=(o (n.B--=0. -3.1),则 n.B-3y+=0. 取y=1.可得n-(0.1.3). m.n427 易错提醒 由题意不妨设0.R.E.F分别为AA..CC..0A.RC的中点.容易证明 两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补,因此在用 四边形PEBF是平行四边形,即平面PEBF为符合题意的平面a.因 向量法求二面角时,要注意符号的判断,其方法通常有两种:一是度 此B+EF+D)ED)-(-D-D+D)(-D+D). 察图形,若二而角为锐角,则其余弦值为正,若为钝角,则其余弦值 -丽--&-=c-n,c= 为负;二是根据坐标判断法向量的方向,进而判新法向量的夫角与 二面角的平面角之间是相等的还是互补的. -D.-(-na-})(-ma-+ 6. ABD 解析:由题意在正方体ABCD-A.B.C.D.中.AA.=2.D ED .即E为DD.的中点,以D为坐标原点,以DA.DC.DD.所在直 线为x,y.:轴建立如图所示空间直角坐标系, 0 8 30 解析:作出图形,如图所示.延长DC至E.使得DC=CE.连接 BE,则△A.AB△C CE.△D A.C. △CBE.故A.B=C.E.A.C.= BE.故四边形A.C.EB为平行四边形.延长MC.BE交于点G.连接 C.G.则C.G即为直线7.以D为坐标原点,DA.DC.DD.所在直线分 别为x轴、y轴:轴建立空间直角坐标系.设AD=2.过点C作CV1 轴于点V.则△MDCco△GNC.且相似比为1:2.故CN=2CD=4. GN=2DM=2.则C(0.2.2).G(-2.6.0).M(1.0.0).D.(0.0.2).故 则A(2.0.0).B(2.2.0).C(0.2.0).A.(2.0.2).B(2.2.2) C.G=(-2.4.-2).D.M-(1.0.-2).故直线1与D.M所成角的余弦 C.(0.2.2).D(0.0.2).E(0.0.1).则4-(0.2.0).AA-(0.0.2) 1C.D11(-2.4.-2).(1.0.-2)1.30 值为一 30 1C· .故答案 A=(-2.0.0). 4+16+4xv1+0+4 A=ABAAAA(0<A<1.01)得A=(-2.2 2),则点 3 0 F(2-2.2.2)由于0<<1.0<<1.则0<2-2<2.0<2<2. 故点F落在四边形BCC.B.的内部. 而D.在平面BB.D.D内,即D.F和平面BB.D.D相交。 BEC平面 BB.D.D.D.直线BF.故直线BE 与D.F一定为异面直 线,A正确. 设平面ACB.的法向量为m=(x.y:).AC=(-2.2.0).AB= 1.A=2y+2:-0. 一学霸高考·白题·数学·53一 滚动训练 9.ABC 解析:在△A.BC.中.M.N分别为 1.A 解析:a=(3.5.2).b=(-2.1.3)..ma+nb=(3m-2n,5m+ A.B.A.C.的中点..MN/BC.又BC./AD B a.2m+3n).取x轴的方向向量为e=(1.0.0).若向量ma+nb与x轴 .MN/AD.A正确.在△A.BD中,M.P分 垂直则3m-2n=0.故3m=2n.故选A 别为A.B.A.D的中点..MP/BD.·MP平 2. B 解析:设网锥的母线长为/.底面圆的半径为七.球的半径为R,则 面BC.D.BDC平面BC.D.MP/平面 BC.D $ = =R.即R=2r1=2r.球的表而积$.=4-R}=16rr$锥的表面$ ·MN/BC..MN平面BC.D.BC.C平面 BC.D.M/平面BC.D文:MPOMV=M. .平面MNP/平面BC.D.B正确.MN/AD..AD.1.CD..MV1 3. D 解析:'ab=P:Pea,Peb.a=aOB,b=$Oy Pea CD.C正确.如图,取BD的中点E.连接A.E.EC.,则乙A.EC。是二面 Pe$.Pey'aOy=c.PcbOe=P,afOe=P,如图所示.故A. 角A.-BD-C.的平面角.设正方体校长为a.则cos乙A.EC.= B.C错误.故选D. (##)#()() 10.又0*<2A:EC:180,则 26 3 2×2 乙A.EC.90 .平面A.BD与平面BC.D不垂直又平面MNP/平 面BC.D..平面MNP与平面A.BD不垂直.D错误,故选ABC. 10. ABD 解析:A选项.连接EF.AC.A.C..AC..A.D.C.D.如图.由于 4.C 解析:由题意可得回锥体的母线长1=v6+8=10(cm).:圆 E.F分别是AB.BC的中点..EF/AC.根据校柱的性质可知 体的侧面积为10x8-=80rm(cm{).,圆杜体的侧面积为8x×16r=128m AC/A.C .EF/A.C.EF平面A.C.D.A.C. C平面A.C.D. (cm}).圆杜的一个底面的面积为x8}=64n(em②)..此陀蝶的表 .FF/平面A.C.D..A选项正确. 面积为80n+128n+64==272m(cm).故选C. B选$AC+A+AA.D=A-A=-AC.4 5.C 解析:对于A.m.1可能平行,相交或异面,故A错误;对于B.a.8 (A)·(an-A)-2x2x+2x2+2x2x-2-2x× 可能相交或平行,故B错误;对于D.a/B,故D错误;由线面平行的 性质得C正确.故选C. 6. D 解析:A.B选项.·在正方体ABCD-A.B.C.D.中.AA:1 B.D..A.C 1BD..且AA.OA.C.=A .AA..A.C.C平面ACC.A .B.D.1平面ACC.A又AC.C平面ACC.A..B.D.1AC.同理可 得B.C1AC .A.B1.AC .A.D1AC 'A.BOA.D=A .A.B.A.DC平 3.AC 1.A. D.AC 1. BD.:A.DOBD=D.A.D. BDC平面 A.BD. 面A.BD..AC 1平面A.BD.A.B正确.D选项.由正方体中的基 ·.AC.1平面A.BD.B选项正确 本关系得到BC。//AD..而三角形AB.D.是等边三角形,故AB #(2x22 与AD.所成的角为60*},故直线AB,与直线BC.所成的角为60 C选项,AC=(A+AD+AA)-2-+2-+2+2x 2.D错误.C选项,设正方体ABCD-A.B.C.D.的校长为1.则四校 锥A.-C.D的体积等于正方体体积减去4个三校锥的体积 1→2x2-24.:1aC1-2v6.即AC,-26.:(C选项错误 D选.1AC=2v.A-A+A.A-A+A)-2+2x2x2 是正方体ABCD-A.B.C.D.体积的三分之一,C正确.故选D. &212.1-2v5.·-().(0 7.D 解析:如图,延长B.E与BA的延长线交于点F,连接CF,与AD 交于点C. AE-B, AE/B.:.A为BF的中点,则G为AD C 与AC的夹角为e.则cosθ= AC .Ccc-2-.8. CB.C(+C 2v2.B.EF .{A5. 2v6x233 D选项正确.故选ABD $G=AF+AG =2.CG=CD+GD-2XCDXGDXCo乙CDG= 7.故选D. 11. ACD 解析:分别取B.C..C.C的中点 E.F.连接D.E.D.F.EF.PF,如图.由 PF/B.C./A.D 且PF=BC =A.D 知 四边形A.PFD.是平行四边形.:D.F/A.P. ·D.F平面A.PD.A.PC平面A.PD. (第7题) (第8题) .D.F/平而A.PD.同理可得FF/平 8.A 解析:易知△DEF的外心即为△A.B.C.的外心,如图,设△DEF 面A.PD:EFOD.F=F.FF.D.FC平面 B 的外心为0,△ABC的外心为0.,则所得几何体外接球的球心0在 D.FF.:平面A.PD/平面D.EF,则0 直线0.0.上.·正三校柱的底面边长为23.DE=DF=EF= 点的轨迹为线段EF,A选项正确.建立如图所示的空间直角坐标 :2. 1.0<1.则.b(-1.0.1)4=0.1.).D0(a.1.). 4.0.E=1.同理,0.C=2.设外接球的半径为R.则12+00} ) B ①2+(3-00)=R ②.联立①②解得00=2.R-5..外 -0. 接球的表面积为S=4*R}=20-.故选A. 设n=(a.b.c)为平面A.PD的法向量,则 bo. 一学霸高考·白题·数学·54一 (-a+c=0. /a=C. 高考新趋势 (=A. 1.C 解析:如图,转动了45后,此时魔方相对原 来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小 _=A. 三角形为等腰直角三角形,设直角边为x.则斜 得x=2=-2 [0.1].故不存在点0使得D.01平面A.P$D B选项错误 AA.PD的面积为定值..当且仅当0到平面A.PD的距离d最大 何关系得,阴影部分的面积S= (2)- 时,三校锥0-A.PD的体积最大.d=- 1ml 分两种情况讨论: 162-72/2.故选C. 2.A 解析:设上底面圆的圆心为0,下底面4 圆的罔心为0.如图,连接00.0C.0B。 0.C.,0.B,在下底面作0M10D,以0为 原点,分别以0C.0M.00.所在直线为:轴。 0 综上,当x+2=0.即0和C.重合时,三校锥0-A.PD的体积最大.C y轴、:轴建立空间直角坐标系,设0C=1.由 1 选项正确. 题意可得0A=2.AB=1.AA =2.则 .D.C.1平面BB.C.C. C(1.0.0).A(2cos 120°.2sin 120.0).即 D.C1C0.v:D.0-D.CC- A(-1.3.0).B(cos 120*. sin 120.2).即 5 故选ACD. CD·AB 14/2 1CD1·1AB 12. 解析:设内切球的半径为r.圆台上、下 底面圆半径分别为r.,r.,则罔台的高h=2r= 3又异面直线所成角的范围为(0.].故异而直线AB。 2/2.如图为圆台的轴截而图形,可得母线长7 r.+r,故S=n[(r,+r)?+r?+r}]=14 2 D=7.故V=-h·=(+ r) 142 n.故答案 3 3.4r 、6 解析:如图,四边形ABCD为正 为1421 方形,设PD垂真于平面ABCD.由题知 13.1.48 解析;设实心球沉到容器底端时,水面的高度为i.由题图② PD=4. AB=3.PD 1 AB.AD 1 AB. 知,容器内水的体积加上实心球在水面下的部分体积等于相应圆 .AB1平面ADP.:AB1AP.即△ABP为 柱的体积,由题图①知相应园台的体积加上实心球在水面下的部 直角三角形.由题知AP=5.四校锥表面 分体积也等于相应圆柱的体积,故容器内水的体积等于相应圆台 的体积容器内水的体积V.=x42}x1=16.相应因台的体积为 _64(4-h)-116= 1xx(4-h)2x(4-h)= 3 64=(4-h)t解得h-4-V16-4-22~4-2x1.26=1.48(em). 内切球表而积为4nr=4r.以DA.DC.DP分别为x轴、y轴:轴建立 , 空间直角坐标系,一内切球半径r-1.一.内切球球心为0.(1.1,1). 故答案为1.48. ·该四校锥可以补全为校长分别为3.3.4的长方体,。.外接球球心 96 26解析:由条件知正方体的内切球 0.(2),两点间距离100.1- (1)×2(1-2)。 14. 半径大小为2.设球心到平面EB.C.的 #6 .故答案为4扣 6 距离为d.建立如图所示的空间直角坐 2 标系,则E(4.0.1).B.(4.4.4).C.(0. #7) 真题演练 4.4).设正方体内切球的球心为0. 1. B 解析;设测锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的 0(2.2.2).则BC-(-4.0.0).EB-A 死长,则rl=2nxv②,解得1=2v2.故选B (0.4.3).E=(-2.2.1).设平面EB.C 的法向量为n=(x.y,:). 2.C 解析;依题意可知校台的高为157.5-148.5=9(m)..增加的水 (n·B.C=0.(-4x三o. 量即为校台的体积V.校台上底面积s=140.0km2=140x10 m.下 →143:=0. 令--3.则:-4.x=0.n=(0.-3. I.·EB=0 3.戴面圆的半径大小为 9X(140×10+180×10*+140×180×10{*)=3$(320+60/7)x10- n 5 #2-()#4# (96+18×2.65)x10 =1.437×10-1.4×10(m).故选C (4# 3. D 解析:连接BC .PC.AD /BC .:乙PBC.或其补角为直线 .故截面圆的面积大小为nx PB与AD.所成的角.BB.1.平面A.B.C.D..:BB。1.PC..又PC 一学霸高考·白题·数学·55一