第8章 数列-【经纶学霸●白题】2025年学霸高考数学一轮复习

学霸高专白题数学 第八章 数列 第1节数列的概念及其表示 考点归纳 数列的概念，数列的性质，函数与数列的关系，数列的递推公式，数列前项和 ☑基础过关考点全面，查漏补缺限时：20min 6.已知数列{a.的前n项和为Sn,an=(3n-19)· 一、单选题 5",则当S取最小值时，n的值为( 1.下列有关数列的说法正确的是 A.5 B.6 C.7 D.8 ①数列1,2.3可以表示成1,2,3： 7.(2024·四川成都二模)已知数列{a.满足 ②数列-1,0,1与数列1,0，-1是同一数列： 1+a a1=2,an+1= 1-a ,则数列{an1的前2023项 ③数列得的第k1项是 积为 ( ④数列中的每一项都与它的序号有关 A.2 B.3 C.- D.-6 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ n+1 2.(2024·四川成都一模)若数列{an}满足a,= 8.已知数列a,的通项公式为a,=og:T,其 3,a+1=2a,-n+1,则a+a3+a4= ( 前n项和为S。,则满足S,>5的n的最小值为 A.6 B.14 C.22 D.37 ( ) 3.已知an满足对一切正整数n均有a1<a A.30 B.31 C.32 D.33 且a,=-n'+An恒成立，则实数入的取值范 二、多选题 围是 ( 9.(2024·广东惠州模拟)已知数列1a}的前n项 A.入>0 B.A<0 和为S,=11n-n2,则下列说法正确的是( C.A<3 D.A>-3 A.1an|是递增数列 4.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是 B.a2=8 ( C.数列{Sn}的最大项为S,和S。 D.满足S>0的最大的正整数n为10 A.a=1-n B.a= 4" 10.(2023·广东韶关模拟)已知数列{a.}的 (n+3,n≤2 C.an=2n2-5n+1 D.a= 通项公式为a。三 3n+1,n为奇数，则下列正 2-1,n>2 2-2n,n为偶数， 5.(2023·江苏镇江模拟)1766年，德国有一位 确的是 () 名叫提丢斯的中学数学老师，把数列：0,3,6， A.a6=19 B.aza C.S3=22 D.So>Ss 12,24,48,96,…,经过一定的规律变化，得到新 三、填空题 数列：0.4,0.7,1.1.6,28,5.2.10，…，科学家发现. 11.已知数列1an}的前n项和Sn=n2+2n-1 新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均 (n∈N),则a,= :数列{an}的 距离，并据此发现了“天王星”“谷神星”等行星， 通项公式为a= 这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”，根 12.已知数列 1 n(n+1) 的前n项和为S.,若 据规律，新数列的第8项为 ( A.14.8B.19.2 C.19.6 D.20.4 Sn·Sn1= 则正整数n的值为 2 第八章数列学霸高吉 第2节 等差数列及其前n项和 考点归纳■ 等差数列的通项公式，等差中项及其性质，等差数列的前项和公式 ☑基础过关考点全面，查漏补缺」限时：20mim 7.(2024·辽宁沈阳模拟)设S。,T分别是两个 一、单选题 等差数列{an},{bn的前n项和.若对一切正 1.(2023·江苏盐城模拟)已知数列{a。}是无穷 义=2n恒成立，则2 数列，则“2a2=a,+a3”是“数列{an}为等差数 整数n,T。3n+ b 列”的 ( 9 A.充分不必要条件 C.4 0.7 B.必要不充分条件 8.已知等差数列{a.}的公差为d,有下列四个式 C.充要条件 子：①a1=-1:②d=1:③a,+a2=0:④a3=3.若 D.既不充分也不必要条件 其中只有一个式子不成立，则不成立的是 2.(2024·浙江杭州模拟)已知等差数列{an, 记Sn为数列{am}的前n项和，若a,=1,S,= A.① B.② C.③ D.④ 5a5,则数列{an}的公差d= () 二、多选题 A.1 B.2 C.-1 D.-2 9.(2024·辽宁沈阳模拟)已知等差数列{an}的前 3.(2023·陕西宝鸡二模)在等差数列1am}中， n项和为Sn,公差d≠0.若Sn≤S6,则( a6,as是方程x2-8x-17=0的两个根，则{an A.a1>0 B.d<0 的前23项的和为 ( ) A.-184B.-92 C.92 D.184 C.a6=0 D.S3≤0 4.已知递增数列{a,是等差数列，若a4=8, 10.记S,为等差数列{an的前n项和，则（) 3(a,ta6)=a2·a6,则a2m4= () A.S6=254-S2 A.2024B.2023C.4048 D.4046 B.S6=3(S4-S2) 5.已知等差数列a.的前n项和为S。,满 C.S2n,Sn-Sn,So-Sn成等差数列 足Sg>0,Sm<0,若数列|a.}满足am·am+1< S2S4S。 D.24'6 成等差数列 0,则m ( A.9 B.10 C.19 D.20 三、填空题 6.(2023·江苏南通期中)在明朝程大位《算法 11.记S.为等差数列{a.的前n项和，若S,= 统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚， 3(a1+au+a1),则k= ,l= 七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱 (写出符合要求的一组答案即可) 戊己庚，唯有丙丁钱无数，要依等第数分明， 12.已知Sn为等差数列{an{的前n项和，若a1+ 请问先生能算者，细推详算莫差争.”大意是： a3=6,Ss=S+11,则数列{a。}的通项公 “现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里 式为 钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两 人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人 13.已知数列{a,的前n项和为Sn,若 钱数.”根据上题的已知条件，戊有() HneN°，a。=20-3n,则Sn的最大 A.107钱B.102钱C.101钱D.94钱 值为 学霸高专白题数学 ☑考点自测强化速废，自主加练限时：20mim (如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球 一、单选题 再下一层6个球…)，若一“落一形”三角锥垛 有20层，则该锥垛球的总个数为 1.在数列an}中，a3=2,a= 1,若。 为等差数 列.则a,三 B 3 C. 0.4 三角锋坏正现图 三角筇垛俯视图 2.等差数列{a,}为递增数列，S。为其前n项和， 参考公式：12+22+32+…+n2 已知a5=4,a4·a6=12,则S,= ( n(n+1)(2n+1 A.14 B.12 C.21 D.7 6 (neN)） 3.(2024·四川绵阳模拟)等差数列{a,{中， A.1450 B.1490 C.1540 D.1580 a1+2a,+a2=120,则S2-6a4= ( 二、多选题 A.60 B.30 C.10 D.0 8.设a是公差为d的等差数列，S.是其前 4.(2023·湖南张家界二模)已知{a}是各项均 n项的和，且d>0,Sm=S2,则 () 为正数的等差数列，其公差d≠0，若na1, A.a,<0 B.a1o1=0 lna,lna6也是等差数列，则其公差为( C.S202=0 D.S.≥So A.Ind B.In 2d 9.(2023·山东枣庄二模)已知|a。{为等差数 C.In3 D.In 3 列，前n项和为Sn,a,=10,公差d=-2,则 5.(2023·陕西安康模拟)在数列1an{中，a1= ) 1,a1=a,+n+L,则+++ 1 A.Sa=S 01a2 202 B.当n=5或6时，S。取得最小值为30 A.2021 4044 C.数列{1anI的前10项和为50 B. 1011 2023 D.当n≤2023时，1a.与数列{3m+10 C2021 D.2022 (meN)共有671项互为相反数 2022 2023 三、填空题 6.(2024·湖北黄冈模拟)已知等差数列a,的 10.(2024·广西南宁模拟)已知公差不为零的 前n项和为S。,若ao+a1>0,a1o+a2<0,则S。 等差数列1a,}的前n项和为Sn,a6=2a,则 取最大值时n的值为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 8 S2 7.(2023·广东汕头一模)古希腊毕达哥拉斯学 11.(2024·广东东莞月考)数列a。= 派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距 18,n=1, 的排列下可以形成正三角形的数，如1,3,6， 则a10= a-1-2,n>1, 10,15,…,我国元代数学家朱世杰在《四元玉 鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形” 12.已知{a.}为等差数列，公差为-2，且a2= 锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛 a2ag,则前10项和So= 第八章数列学霸高吉 第3节 等比数列及其前n项和 考点归纳 等比数列的通项公式，等比中项及其性质，等比数列的前项和公式 基础过关考点全面，查漏补缺限时：20mim 列{an{的前n项和为Sn,若S,=a5-1,a1,a2: 一、单选题 a6成等比数列，则Sn= 1.(2023·陕西咸阳模拟)“m=3”是“1，m,9成 A.3n2-n B.ntn 等比数列”的 2 ( 2 A.必要不充分条件 C.3n-2 D.5n-3n2 2 B.充分不必要条件 8.在公差不为0的等差数列}a}中，a1,a2,a C.充要条件 a,a,成公比为3的等比数列，则k3=() D.既不充分也不必要条件 A.14 B.34 C.41 D.86 2.在正项等比数列{an中，若a,+a2+a3=18, 二、多选题 1+1+=2,则a= () 9.已知等比数列{a,|的公比为g(g>0),前n项 aa a3 积为Tn,若T>T6>Tg,则 A.1 B.2 C.3 D.23 A.0<q<1 B.q>1 3.(2023·四川成都模拟)十二平均律是我国明 C.T>1>T4 D.T4>1>T3 代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二 10.已知数列{an}是公比为g的等比数列，b. 平均律的数学意义是：在1和2之间插入 a.+4,若数列{b}有连续4项在集合{-50， 11个正数，使包含1和2的这13个数依次成 -20,22,40.85}中，则公比g的值可以是 递增的等比数列，依此规则，插入的第四个 ( 数应为 ( A.2 B.2 C.2 D.2 C.- D.2 4.已知等比数列{an}的公比为2，前n项和 11.已知正项等比数列{an}的前n项和为S,公 为Sn,若a1+a3=2,则S4= ( ) 比为q,若S2=1,S。=91,则 A号 23 A.Sg=729 B.Sg=820 B.4 C. D.6 C.q=3 D.g=9 5.(2024·陕西渭南模拟)等比数列{a.为递减 三、填空题 数列，若a,6=6,4+n,=5,则= 12.(2023·湖北武汉模拟)已知在正项等比数 ( 列{a.中，a=8,a5=32,则使不等式S>511 成立的正整数n的最小值为 D.6 13.已知数列1an}的前n项和为Sn,若a1=9, 6.(2024·四川成都一模)在等比数列{a。}中， a3=1,且4Sm1=m+3S.2(m∈N),则 a2,a6是方程x2-8x+m=0的两个根，若 a,= S= a3a5=3a4,则m的值为 () 14.已知数列1an}为等比数列，a1=1,q=2,且 A.3 B.9 C.-9 D.-3 第m项至第n(m<n)项的和为112，则m+n 7.(2024·四川绵阳一模)公差不为0的等差数 的值为 学霸高专白题数学 ☑考点自测强化速度，自主加练限时：20min 五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大 一、单选题 老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度 1.(2023·福建漳州三模)已知数列{a,1为递减 是前一天的2倍：小老鼠第一天也打进一尺， 的等比数列，n∈N',且a2a,=32,a3+a6=18, 以后每天打进的长度是前一天的一半问第几 则1an}的公比为 天两鼠相逢？ A.3 B.4 C.5 D.6 A.月 B. C.2 D.2 二、多选题 2.（2023·山西运城模拟)已知等比数列|an1满 9.已知等比数列{an{的公比为q,前n项和 足a1+a2ta+a4=2,a3ta+a,+a6=4,则a1+ 为S。,且满足a6=8a3,则 () a12ta13+a14= ( A.9=2 A.32 B.64 C.96 D.128 3.(2024·湖北黄冈模拟)已知数列{an1是正项 等比数列，数列b满足bn=loga,若 C.S3,S6,S,成等比数列 a2a5g=22,则b1+b2+b3+…+b,= ( ) D.S,=2a-a A.24 B.32 C.36 D.40 10.(2024·江苏南通模拟)已知数列1a.}的前 4.在等比数列{an+1}中，a2=8,a,=26,则a5= n项和S。=2×3+9,则 ( ) A.a1=15 B.{an}是等比数列 A.80 B.242 C.219 D.244 8 C.{a.}是递增数列 5.已知数列 为等比数列，且a3=1,a,=21, D.So-S,S5-So,S0-S1s成等比 11.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公 则ag三 ( 比为g,则g可能的值有 ( ) A.63 B.±63 C.81 D.±81 C. 3 6.(2024·湖北武汉模拟)设等比数列|a,}的前 A.2 B.2 4 n项和为Sn,已知Sn1=3Sn+2,neN',则S= 三、填空题 ( ) 12.数列|an}中，an=n·2”,则数列{an}的前 A.80 B.160 C.121 D.242 9项和为 7.若数列1an}满足an1=3an+2,则称{an为 13.(2023·江苏南京模拟)已知等比数列a. “梦想数列”，已知正项数列{b-1}为“梦想 数列”，且b=2,则bn= ( 的首项为4=-1，其前n项和为3，若 Ss A.b.=2×39 B.bn=2×3- 2且数列6，}满足6，=口，则数列6的前 C.bn=2×3"+1 D.bn=2×3m-1+1 8.《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有 n项和为 这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿大 14.已知等比数列{an}的前n项和为S,若a,+ 鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小 a3=5,S4=20,则 Ss-25 鼠日自半问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚 。-S4-S2 第八章数列学霸高吉 滚动训练1 滚动第13节 数列的概念及其表示，等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和 ☑阶段提升 阶段强化，巩固提升|限时：45min 5.(2024·四川雅安模拟)若数列{a}的前n项 一、单选题 和为Sn,且an+1+an=2",则So= ) 1.在等差数列{a,}中，a2=4,且a1,a,,构成 A.684 B.682 等比数列，则公差d= C.342 D.341 ( 6.(2023·江苏南通模拟)意大利著名数学家斐 A.0或2 B.2 波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样 C.0 D.0或-2 列数：1,1,2,3,5，…，其中a1=a2=1,且从 3n 2已知数列1a,的通项公式是a,42那么 第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即 这个数列是 ( an+2=a+1+a,后来人们把这样的一列数组成 的数列{a。称为“斐波那契数列”，则斐波那 A.摆动数列 契数列{an中，ana+2+aa+2a。+4三 B.递减数列 A.dan5 B.di3 C.递增数列 C.ddn+3 D.3a22 D.常数列 7.(2024·江苏南通模拟)在数列1an|中，a1= 2 3在数列a,中，4，=l,a,2n（n≥2， 1,4,=3,且”2=2+(-1)(neN),S.为数 neN'),则a4 列{an的前n项和，则Sm= 30-1 A. +50 2 C.2 D.6 B31-3 +50 4.(2023·广东广州期末)我国古代数学名著 2 《算法统宗》是明代数学家程大位(1533~ c.3(3-D+50 2 1606年)所著.该书中有如下问题：“远望巍 巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十 D. 3(3m-1)+50 2 一，请问尖头几盏灯？”其大意是：“一座7层 8.数列an,b,满足a,=b,=2,a1-an 塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层 的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”若 =2,nN,则数列6的前10项和为 b. 改为“求塔的最底层有几盏灯？”则最底层灯有 ( ( ) (4-1) . A.192盏 B.128盏 C.3盏 D.1盏 C.3（4-10 D.34-1) 学霸高专白题数学 二、多选题 13.已知an是等比数列，且公比为g,S。为其 9.已知an}为等差数列，满足2a2-a4=1,1bn} 前n项和，若2是a1,S2的等差中项，S4= 为等比数列，满足，=-8，b。=64,则下列说 15,则9= ,a1= 法正确的是 ( 14.(2023·陕西西安模拟)已知数列|a。}和数 A.数列{a,}的首项比公差多1 列1bn},an=2n-1,bn=2".设cn=a。·b.,则 B.数列{an{的首项比公差少1 数列{cn}的前n项和S。= C.数列b,的首项为2 ☑高考新趋势对接高考，拓展思维限时：10mim D.数列bn}的公比为-2 1.新文化中国剩余定理(2023·河南驻马店模 10.等差数列1an}的前n项和记为S.,若a1> 拟)“中国剩余定理”又称“孙子定理”， 1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算 0,S1o=S20,则 法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲 A.d<0 1874年，英国数学家马西森指出此法符合 B.a16<0 1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般 C.Sn≤Ss 性定理，因而西方称之为“中国剩余定理” D.当且仅当Sn<0时，n≥32 “中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问 11.(2024·浙江杭州模拟)设数列{an},{bn}都 题，现有这样一个整除问题：将1至2022这 是等比数列，则 () 2022个数中，能被5除余1且被7除余1的 A.若c.=a,bn,则数列{cn|也是等比数列 数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 取若d-会则数列d也是等比数列 a,则此数列的项数为 A.58 B.57 C.若1an的前n项和为Sn,则Sn,Sn C.56 D.55 S.,S-S2也成等比数列 2.新情境费马素数猜想(2023·江苏南京模拟) D.在数列{a}中，每隔k项取出一项，组成 数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马 个新数列，则这个新数列仍是等比数列 通过观察计算曾提出猜想：形如F。=22”+1 三、填空题 (n=0,1,2,…)的数都是质数，这就是费马素 12.(2024·山东德州模拟)对于数列{a,},由 数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5 b,=a1-an作通项得到的数列bn},称b, 个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想 为数列a.}的差分数列.已知数列1b。}为数 现设：an=mlog2(F.-1)(n=1,2,3,…),m为 列{an|的差分数列，且{b,是以1为首项，2 常数，S。表示数列{an}的前n项和，若S6= 为公差的等差数列，则ao-a5= 126,则a5= 第八章数列学霸高吉 第4节数列的综合问题 考点归纳 数列与函数、向量、不等式、复数的结合 ☑基础过关 考点全面，查漏补块|限时：20min B.是递减数列 一、单选题 C.从第3项往后各项均为负数 1.如图，在杨辉三角中，斜线1及上方，从1开始 D.有两项为1 箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,3,3， 三、填空题 4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S22= 6.(2024·江西南昌月考)我国古代的《洛书》中 记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将 1,2,3,…,9填人3×3的方格内，使三行、三列 和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 13步31 14%41 一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填人 5101051 n×n个方格中，使得每行，每列和两条对角线 A.361 B.374 上的数的和都相等，这个正方形叫做n阶幻 C.385 D.395 方.记n阶幻方的每列的数的和为N。,如图， 2.(2024·湖北黄冈模拟)若复数a=1-i+2 三阶幻方的N3=15,那么N= 子+…+22-22，则z= ( A.0 B.2 C.1 D.2 6 3.已知数列{a}的首项a,=1,若向量a=(an+ 1,an+1),向量b=(1,1),且满足a∥b,则数列 7.某牧场2024年初牛的存栏数为1200，计划以 an|的通项公式为 () 后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年 (1,n是奇数， 底卖出100头牛，按照该计划预计 A.a =1 B.a= -2,n是偶数 年初存栏数首次突破8900.（参考数 C.a=-n D.a=n 据：lg2≈0.3010，lg3=0.4771) 4.(2024·浙江名校联盟模拟)已知数列{a}的 8.(2023·湖南师大附中一模)科拉茨是德国数 前n项和S。=n2+5n+t,则“t=0”是“数列 学家，他在1937年提出了一个著名的猜想： an为等差数列”的 ( 任给一个正整数n,如果n是偶数，就将它减 A.充分不必要条件 半（即？）：如果n是奇数，则将它乘3加1 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 (即3n+1),不断重复这样的运算，经过有限 D.既不充分也不必要条件 步后，一定可以得到1.这是一个很有趣的猜 二、多选题 想，但目前还没有被证明或否定.如果对正整 5.已知函数f八x)=-x2+2x+1,设数列an}的通项 数n(首项)按照上述规则施行变换后的第 公式为an=f(n)(n∈N"),则此数列( 8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件 A.图象是二次函数y=-x2+2x+1的图象 的n的所有不同值的和为 学霸高专引白题数学 滚动训练2 滚动第4节 数列的综合问题 ☑阶段提升阶段强化，巩围提升1限时：45mim 5.(2023·安徽黄山模拟)南宋数学家在《详解 一、单选题 九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些 1.(2024·河北保定月考)已知等差数列{an} 新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一 中，a,+a,+a3=4r,则tan(a2+a2)的值为 般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项 ( 之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次 A.-√3 B.3 差成等差数列.现有一个高阶等差数列，其前 C.3 7项分别为1,2,4,7,11,16,22，则该数列的 n 第30项为 () 2.已知2是2m与n的等差中项，1是m与2n A.379 B.407 的等比中项，则，2 ( C.436 D.466 m n A.2 B.4 6.(2024·湖南郴州一模)设数列{a.}满 C.6 D.8 足2an=a+1+a-1(n≥2且n∈N）,Sn是前 3.我国古代数学著作《张丘建算经》记载如下问 n项和，且S,=6,4=3,则 题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四 2023 钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与 A.2024 B.2023 讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几 C.1012 D.1011 何？”大意是：“某人赠予若干人钱，第一人赠 7.已知{a.}为等比数列，下面结论中正确的是 予3钱，第二人赠予4钱，第三人赠予5钱，继 续依次递增1钱赠予其他人，若将所赠钱数 A.a1ta3≥2a 加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共 B.a+a≥2a 赠钱给多少人？”在上述问题中，获得赠予的 C.若a1=a3,则a1=a2 人数为 ( D.若a>a1,则a>2 A.191 B.193 8.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和 C.195 D.197 为S,等比数列{b的公比为q,前n项和为 4.已知等差数列{a.的公差d为正数，等比数 列1bn}的公比为g,若a,=b,=1,a2=b2,a14= T若5T=n231-2n·3-3n2+2n,则 b4,则d+q= ( ( A.4 B.5 A.a1=-1 B.d=-6 C.6 D.7 C.b1=-8 D.q=9 第八章数列学霸高春 二、多选题 ☑高考新趋势对接高考，拓展思维限时：10mim 9.(2023·广东广州模拟)已知函数f代x)=lgx, 1.新文化三分损益法(2024·湖南永州模拟) 则 “三分损益法”是古代中国发明的制定音律时 A.f(2),f(√10)，f(5)成等差数列 所用的声律法.例如：假设能发出第一个基准 B.f(2),f(4)f8)成等差数列 音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基 C.f(2),f(12)(72)成等比数列 准音的乐器的长度为36×(1-3)=24，能发 D.f(2),f(4)f八16)成等比数列 出第三个基准音的乐器的长度为24×1+ 10.无穷数列{an}的前n项和Sn=an2+bm+c,其 中a,b,c为实数，则 号)=32…，也就是依次先减少三分之-，后 A.an可能为等差数列 增加三分之一，以此类推现有一兴趣小组采 B.{an可能为等比数列 用此规律构造了一个共12项的数列{a。}用 C.1a.中一定存在连续三项构成等差数列 来研究数据的变化.已知ag=192,则a= D.{an中一定存在连续三项构成等比数列 ( 11,(2024·广东广州期中)已知数列{a}满足 A.324 B.297 C.256 D.168 a,+2a2+…+2"-an=n·21,则 2.新情社会生活某校有一社团专门研究密码 问题，社团活动室用的也是一把密码锁，且定 A.a,=2n+2 期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为 B.{an}的前n项和为n(n+3) C.{(-1)"a}的前100项和为-100 依据编码的，吉马均为的小数点后前6位 D.{1a,-101}的前20项和为284 数字，编码方式如下： 三、填空题 ①x为某社员的首拼声母对应的英文字母 12.已知数列{a为等比数列，若数列10°-an} 在26个英文字母中的位置： 也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以 ②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入 为 .(填一个即可) 数值为3的项得到新数列{an},即2,3,4,6， 8,32,10,12,14,;若x为奇数，则在正奇数 13.设neN”,a1,a2,…,an是一组平面向量， 数列中依次插入数值为2”的项得到新数列 记sn=a,+a2+…+a,若向量an=(4-n,1), {an,即1,2,3,22,5,7,2,9,11,13，… 且a。⊥sn,则n= ③N为数列{an的前x项和. 14.(2024·陕西宝鸡模拟)已知等差数列{an 如当值社员姓康，则k在26个英文字母中排 是递增数列，且满足a4·a,=15,a3+ag=8, 第11位，所以x=11,前11项中有2,22,23，所 (n≥2)，且6，=了则数列6， 以有8个奇数，N=1+3+…+15+2+22+23= 令b.29an-a 78,所以密码为282051，若今天当值社员姓 的前n项和为 徐，则当日密码为之放选区 2生告k）-se.曲5即 2 3 5.C解析：，：=2-i,∴，：=2+i,故：(：+i)=(2-i)(2+2i=4+4i- 1og2(n+1)>5,即n+1>25,n>3引.满足5，>5的n的最小值为32 2i-22=6+2i故选C. 故选C 1-i(1-i)(1-i)-2i1 6.A解析：2+221+)(1-)4 2,即- 9.BCD解析：由Sn=11n-n2得当n=1时，a1=10,当n≥2时， a。=S。-5.1=11n-2-11(a-1)+(-1)2▣-2n+12,m=1时也满是， -i,做选A 故a。=-2n+12,a2=8,A错误，B正确：由二次函数y=11x-x2图象 7.B解折：由题意有：=3-=3--。-4-3新.放1：1 i·(-i) 的对称轴为直线x=】知当n=5或=6时5，最大，故C正确：2 √（-4)+(-3)下=5.故选B. 8.B解析：由题意可得严记4F“1行 2+ 24.i240.2i-.1-2i. 满足S,>0,则0<n<11.最大的正整数n为10.故D正确故选BCD 重难点拨 2 -1 木则考查了数列前m项和与第n项的关系，a.=S。-51,若用该关 则：=1+2i故选B. 系式求数列通项时，要注意验证第一项是否满是关系式. 9.D解析：=1+i.∴，i+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i.∴，1i+31 √4+4=22.故选D. 10.BC解析：对于A,6是偶数，期46=2-12=-10，A错误：对于B, 10.C解析：(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(1-a3)i=2, a7=22>a6,B正确：对于C,5=4+(-2)+10+(-6)+16=22.C正 (2a=2,。解得a=1.故选C 确：对于D,5=S3+6=12,Sg=S。+a,+as=12+22+(-14)= 1-g20, 20,S。<Sg,D错误放选BC 11.A解析：：(1+3)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,则此复数在复平而内 11.2 对应的点为(6,8)，位于第一象限故选A. {2+1,≥2解析：由题意易得41=S=2,当n≥2时. (2.n=1. 12.D解析：：在复平面对应的点是(-1，万)，根据复数的几何意 a=S。-5-=(n2+2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1门=2n+1.而 义.：=-1+√3i,由共轭复数的定义可知.=-1-√3i,故选D. 02*3%,={2a=l, 2n+1,m≥2 315特折产出"令2点1故答案为 2m+1,m≥2故答案为2：，n=1, 易错提醒 1-5i 、本题考查数列通项公求的求法，注意公式4，=代，2的合 高考新动向 A解析：x2-4x+5=0.4=(-4)2-4×1×5=-4c0,,方程x2-4x+5=0 理应用，注意41的险证不能清景 的两个虚根为a=44i=24i,B=44i=2-1或=2-1.日=24i,不妨 11 1 12.4解析：， 2 2 n+元n15=1-2+234/ n 取a=2+i,B=2-i,则1a1=√22+下=5,1B1=/2+(-1)下=5. nn+l n la1+l5+55 at8 24*22故选人 *11人 2… n+23→m= 4.故答案为4. 第八章数列 第2节等差数列及其前n项和 基础过关 第1节数列的概念及其表示 1,B解析：若“数列1a。1为等差数列”成立，必有“2a2=a1+a1“,面仅 基础过关 由“2a,=41+3”成立，不能断定“数列a,为等差数列”成立，必须 1.B解析：对于①.{1.2.31是集合，不是数列故选项①带误：对于 满足对任何的neN.都有2a=a。+a2成立才可以，故“2a2三 ②2.数列是有序的，故数列-1.0,1与数列1.0.-1是不同的数列.故 a1+,”是“数列{nI为等差数列”的必要不充分条件故选B. 法项2错误：对于3.数列日}的第1项是 2.D解析：在等差数列14.1中.S。为数列1a。的的n项和.1=1. .故选项③正确： 由3，=5a,可得7a,+75d=5(a,+4d),即7+21d=5+20d,解得 对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关.故 2 选项④正确.故选B. d=-2故选D. 2.D解析：a1=3,41=2a,-n+1,4=2a1-1+1=6,4=2a2-2+ 3.C解析：6,1g是方程2-8x-17=0的两个根，a6+0g=8, 1=11,44=203-3+1=20.2+0y+a4=6+11+20=37.故送D. 23(a1+aza）23(a6*a1g） ÷a.1的前23项的和Ss =92.故选C. 3.C解析：|a.满足对一切正整数n均有a1<0.且an三-n2+An 2 2 恒成这.即-(n+1)2+A(m+1)<-m2+An恒成立，化为A<2n+1.可知 4.C解析：方法一：设数列an的公差为d(d>0),au=8,3(m+ A<2n+1对一切正整数n恒城立.∴，A<3,故远C. 4.C解析：对于A,B选项，对应数列是递减数列对于C选项，1 %）=4·a6.则{+3=8， a.=4n-3>0,故数列a。是递增数列.对于D选项，2>数列 3(a,t+a+5=(a,+d(a,+5d.解得 a1=2, 1a,不是递增数列.故选C {d=2.424=2+2×(2024-1)=4048.故选C 5.C解析：规律是将原数列的每一项加4.再除以10，故第8项为19.6， 方法二：设数列|a。1的公差为d(d>0),由3(42+a6)=a2·a。得 故选C 3×2au=(n4-2d)(04+2d),又：a4=8,即48=(8-2d0(8+2d),解得 6.B解析：根据题意，数列}g。1中，a。=(3n-19)·5,当n6时，有 a。<0,当n≥7时，有a,>0,则当m=6时，S。最小.故选B. =2,0m4=a4+2×(2024-4)=8+2×2020=4048.故选C 方法总结 7.B解析：依题意，a=2.011- 1+. 2 1-3 1-2 -3.=1+3 等差数列常用性质：从第二项起，每一项是与它相邻两项的等差 中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项。 1 1- 21 1+3 5.B解析：等差数列1a,的前n项和为S。,满足Sg>0,Sm<0, 20 1 =2=a1,∴.数列a,1是周期为4的 1 19×(a:+a9 1+ 六.Sg= 2 >0,3=20x(atnn 2 <0.a1+a1p=2a0+ 周期数到.a=2x(-3)×()×号=1,2023=505x4+3 ao>≥0.a1+0=0+a1,a,<0,故a1o·a11<0,故m=10.故 选B. 数列1a,的前2023项积为2x(-3)×(7 =3故选B 6.D解析：设该数列为1“，I.公差为d,由题意可知 1+a=237, 。∫0，+a1+d=237. /a1=122. a 8.C解析：由a,=g, 1+1 2+1 3+1 a,t0.ta,=261→a,+4h+a,+5d+a,+6d=261{de-7, n ,得=lg:+iog:2+log3 41+4d=122-4×7=94,即戊有94钱.放选D. 一学霸高考·白题·数学·40一 11(a1tan） 7.B解析：由等差数列的性质可得.2_+ 2 公差为nah=h之=h-h-h之放 a 6626s61+b111(b,+bm】 选D. 2 5.B解析：a1=+n+1,可得西-1=2，a2=3,…,40-1= 六号故选 n又a,=1,累加可得a。-a-1+a1-an-2++a2-a1+a1=1+2+ 3计+n,则0，=1+2+3+…+a=(n, 2 8.B解析：假设①a1=-1不城立，②d=1成立，则由a1+a=0→1+ 2 a.n(n+1) ≠3.故本假设不 21 1 1 +…+ -=2 2 122 ）(日 成立：假设2d=1不成立，①a1=-1成立.则由a1+a2=0=a1+a1+ 111 d=0→d=2,此时a:=41+2d=-1+2×2=3显然成立.故本假设成立， 符合题意；假设3a,+a2=0不成立，即a,+n1+d≠0一d≠-2a1.则由 6.A解析：数列1a,1为等差数列，∴a0+a2=2a1<0,1<0 ①a1=-1,②d=1,可知3=a1+2d=1≠3.故本假设不成立：假设④ o+1:>0,0>0,则S。收最大值时，n=10.放选A a1=3不成立，即1*3，由①a1=-1,②d=1.可得a1+a2=a+e,+ 7.C解析：“三角形数”可以写为1.3=1+2.6=1+2+3,10=1+2+3+ d=-10,故本假设不成立故选B 4.15=1+2+3+4+5,…,六.第n层“三角形数”为1+2+3+4+…+n= 9.AD解折：由猫意8m,:兰（号），义8≤ d n(n+1)nn 2十2n层时，操球的总个数为1+3+6+10++ 2 2 2￥ d -1+22+32+…+n◆1+2*3ttn.n(m+1)(2n+）,n(a+1 2 2 12 4 ∴若一“落一形“”三角锥垜有20层，则该锥垛球的总个数为 -5d≤a1≤-6d,a。=a1+5de[0,-d],Ss=78d+13am1e[13d,0].综 20×(20+1)×(2×20+1),20x(20+1-1540.故选C 上，A,B.D正确，C错误.故选ABD 12 4 解析：由已知得S。=+”),A选项，=6a1+ 10.BCD 8.ACD解析：S1m=Sm,则1o+0=0.:>0,1o<0,m>0,a1< 15d,S,=4a1+6d,S2=2a1+d,2S,-S=6a1+11d≠%，A选项错 0,A正确，B错误S如g×202=m@×202=04m<0, 2 深：B选项，3(S,-5=6a1+15d=S6,B选项正确：C选项，S2 m>0,.在S。中，S最小，C和D都正确.故选ACD. 21+n(2n-1)d=2a1r+(2n2-n)d,Sn=4e1n+2n(4n-1)d,5n= 9.AC解析：a,为等差数列，且a=10.公差d=-2,a。=10- 601n+3n(6n-1)d.S-S 2an+(6n2-n)d,Sm-5u=2an+ 2a-）=-2n+12.8=n（a1,2_n0-20+12=-n2+11n六3 (10n2-n)d,则s+son-Sn=4a1+(12n2-2n)d=2[2a1n+(6n2- 2 2 m)d]=2(5-5n),C选项正确：D选项，2 S2 2a+d d Sa -16+44=28,S1=-49+77=28,∴选项A正确：，S。=-42+11n= 2 =+24 401+6d 3 d,.6a+15. 5 -(豐）)一丹根据三衣两数的对称性及其瑞象开日向下可 4 a+24.6 6 1211 3-2x产D选项正确放话CD 知，S,取得最大值为5=5。=4430故选项B错讽：记1a,山 的前10项和为T。.,。=-2n+12,,当，=-2n+12≥0时.解得 方法总结 n≤6，当a。=-2n+12<0时，解得n>6,,To=1a1|+a21+…+10g1+ 1a1o1=a1+a:+…+a6-ay-ax-ag-a0=S6-(S0-S6)=2S6-S1n 已如等差数列前n项和为5。，则S,5-S。,Sn-S也成等差数列 女S.=-2+11nSo=10,.To=2×30-10=50.故选项C正确：记 bn=3m+10,a,=-2n+12,n≤2023.×2m=-4034,当n≤ 11,111(答案不一）解析：设等差数列{a.的公差为d.由S。= 2023时，0。≥-4034，由。=-2n+12,n≤2023，可知a。为偶数，若 3a,+a4+a)可得9u,+9X83[4,+2+a,+(k-1)d+44+ bn与a。互为相反数，则6.≤4034，且6.为偶数，由6n=3m+10, ,∴，b-0为偶数，即3m为偶数.即m为偶数，即3m≤4024，即m≤ (-1)d],解得k+l=12,故可填入k=1.1=11或4=2.1=10（满足+ 4024 =12.k.1GN·即可).故答案可以为1,11.（答紫不1一） 3m≤1341，且m为偶数，故这样的m有670个.故选项D错 12.8。=n+1 解析：由题意得*a,+2=6, 解得 误故选AC 5a,+10d=3a1+3l+11, 10.7解析：若公差为d且d≠0，则a6=2a,→m1+5d=2a1+4d→1=d, 0,=2, ,=2+n-1=+1,故答案为a。=n+. d=1, 兴 2+M3过7故答案为7 13.57解析：VneN,,=20-3n,a+1-,=-3,数列1a,|为 11.-180解析：当n多2时，4，-a-1=-2,则am=18-2(n-1)= 差数列，令a,=20-3≥0，解得m≤，1,42，…，6>0， -2n+20,则a10m=-2×100+20=-180.故答案为-180. 12.110解析：依题意.有(a1+6d)2=(a1+2)(a1+8),又d=-2. 4,“4,<0.则3.的最大值为S。.6x(17+20-3x6.57,故答案 2 (a,-12)2=(a1-4)(a1-16),a-24a1+122=a-201+64.解 为57. 得a1=20,∴.So=10m1 10x9 2d=10x20-90=110.故答案为110. 考点自测 第3节等比数列及其前n项和 1.A解折：曲}为等差数列得子 1 2,解得 基础过关 1.B解析：若1，m,9成等比数列，期有m2=1×9,解得m=±3：面m=3 %=子放选入 是m=±3的充分不必要条件，等价于“m=3”是“1，m,9成等比数 列"的充分不必要条件，故选B, 2.A解析：设数列的公差为d,由a5=4,c4·6=12,得(4-)(4+)= 12.解得d=±2.又，数列递增，，d=2,a:=4-2=2,∴S,=7a4=14 2.C解折：10，为等比数列，a1四=a,故 11_“ 故选A 3.B解析：…等差数列t。1中，1+2u4+1=120,4和4=120，即44= 1.+m,+.18 =2,=9.义a>0=3.故选C 30,.5,-6a4= _7ua）-64=7a4-60,=a4=30.故选B 2 3.C解析：设这13个数构成的等比数列的公比为q,则2=g2,,橘入 4.D解析：lna1,lna3,na6是等差数列∴.2lna3=na+lnao一 的第四个数应为=23，故选C na=lna16,…a=106,即(a1+2d)2=a1(a,+5d).又d≠0，可得4.D解析：a:+n3=2,9=2,02+:=4,S=a1+a2+y+a4=6故 一学霸高考·白题·数学·41一 选D. 考点自测 方法总结 在第比纸列中，若a0a=C,划daap=: 1A解析：“1a,为递减的等比数列，0：。=32解得 (a3ta6=18. 5.A解析：由4n为等比数列.得26=5=6，又3+a5=5, 5为方程x2-5x+6=0的两个根.解得01=2,5=3或m3=3,45=2, =2(含去)或=2.1口的公比qF√ (a6=16 2放选A 心为递减数列得心，>0心3,2了么： 2.B解析：设a。的公比为g,则+a:tay+a%=2(a,+a2+a+a), 得g2=2,.a,+an+an+aH=(a,+m2+a,+a4)×g=(a1+a2+a1+ 4)×2=64.故选B. 3.C解析：a。是正项等比数列，2s=2,号-22-(2)3， 6.B解析：m2,a。是方程x2-8x+m=0两根，a2+a6=8,a2a6=m, as=2b1+b2+++=log:+loga+logds++log2ag= 4=64-4m>0,即m<16在等比数列{a.|中，aa6=a3a5=,又 log241023y=lkg2m=log2(24)”=g226=36.故选C a30=304a7=304a≠0，a4=3,m=a2=9.故选B. 7.A解析：设等差数列1a,的公差为d(d≠0)，由条件得 4B都标：等北数列的公比g=2召31=a S3=-l即a,+3a+-l:则故5.=n× 1)92=9×33=2435=242.故选B. aj=a0.(atd)2=a(ai+sd).4=3. 2 3故毒人 5.C解折：数列侣}为等比数列，设公比为，且，1，=2引. 21 8.C解析：1,2，，a%,成公比为3的等比数列.可得a 301心43=1·3对=81a又：数列1a,为等差数列小公差d=a2 a1 923…g=9.4=9x a1=2aa4,=a1t(k与-1)d=a1+2(-1)a1=(2k3-1)a1(2k 33 81,故选C. 1)a1=81a1,解得k1=4.故选C 6.D解析：由S1=3S。+2.得Sn=3S-1+2(n≥2)，S+4-5.=35, 9.AC解析：：等比数列引a.的公比为g(9>0)且T,>T。>Tg,,T。= 3S-1,得a1=3a。,.等比数列a。|的公比=3，.由S1= aeaa,aa=afy2=ag5>0.-7>1.aas=71又 3戏*2，得11-3 =3.0(1-3) 1-3 1-3 +2,41(31-1)=3a1(3"- aag=a>0.则0<，4<1<∴a,>1>g>0,从面1>0，故对任 2×(1-33) 意的neN”,an=14->0.由a>0g=a,g>0可得0<g<L,A对B错. 1)+4,解得a1=2,S,= 1-3 =35-1=242.故选D. Tu=aazap=a3>1.Tu=adzau=(aus)'<1.T>1>Tu. 7.B解析：依题意，(b1-1)=3(6.-1)+2,.b1=3h,即|b,1是 C对D错.故远AC 首项为2，公比为3的等比数列.6=2×3-，故选B. 10.BD解析：6.=a+4.∴an=b。-4:数列16.1有连续4项在集合 8.A解析：大老鼠每天打洞的长度是首项为1，公比为2的等比数列： 1-50,-20,22,40,851中，∴数列0.1有连续4项在集合 1-54,-24,18,36,81中.又数列a。1是公比为g的等比数列。 小老鼠每天打洞的长度是首项为1，公比为，的等比数列设5，是 .在集合-54.-24.18,36,811中.数列1a。I的连续4项只能 1- 1 -24 是-2436，-54,81或81，-54,36，-249=4-)或4=6 -2 2 前n天两只老鼠打洞长度的和，测S。= 十 ■2 1-2 2- 子故选即， 2 11.BC解析：1a.为等比数列S2,S,-S2,S。-54也构成等比数 1,计算可知S2=4 5,=83 >5,第3天两鼠相逢.故选入 列.“52=1,56=91，(54-1)2=1×(91-5)，得号-S-90=($4 a1(1-g) 10)(S+9)=0.>0.S>0.解得S4=10.8。-52=10-1=9. ÷5,-56=1×9'=729,、,=729+91=820,故A错误，B正确：g2= 9.AD解折，=a,即2==8则9=2.A正确：交a $-5 =9,且a>0,∴g=3,故C正确，D错误 1-g 12.9解析：设等比数列{a.的公比为9，且9>0，：a1=8,45=32, -可1+=9，B正确：号-58=[12】(1-) 1-g" 2-0=4g=24.=4,2=23-212）=2l-2 1-g 03 1-2 S>511,即2+1>513，当n=8时，2=2°=512：当n=9时， ）--u-1-2 1-g(1-g)2 2=2=1024.正整数n的最小值为9.故答案为9 83解折45=5，+35，即55。=35 =g-4 (1g)·(1)2*0. -5),即a1=32…数列a,从第2项开始是公比为了的 8≠$，即：不成等比数列，C错误：8=12 1-g a1(2”-1)=2a1·2-1-a1=2a,-a1,D正确.故逃ABD, 1 等比数列，由a,1得a=3=9=3心，是首项 10.AD解析：当n=1时，41=S,=2×3+9=15,A正确. 当n≥2.n后N时，a,=S。-5-4=2x3"+9-(2×3-1+9)=4×3-1 为9，公比为的等比数列，故1=9× ,2.故兰会a不是等北数列，B错灵 =12<a,a,不是递增数列，C错误 13 2x3赦答案为，3”-1 3"-1 S=2×33+9,50=2×3"+9,55=2×35+9.52n=2×3”+9. 81'2x3可 S0-S5=2×33×(3-1),S5-5m=2x310×(35-1),5w-55=2× 35×(33-1), 14.12解析：由已知得22).11-2=12.即24. 1-2 1-2 则-55s-S。 SeS03p-8S0.S6-Sm-5s成等比数列，D正 (2m-1)=2×7,则2m1157解得/m=5,. n=7,六m+n=12.故答 确，故选AD. 案为12. 11.BC解析：由题意可设三角形的三边分别为”，，4（四≠0）.：三 一学霸高考·白题·数学·42一 角形的两边之和大于第三边①当1时.加>ag,即矿-Tk 44:手40-1)，即数到16，的前10项和为行4-1 1-4 0,解得1g1+5 故选B. 2:②当0<g<1时，a+四>。.即92+g-1>0,解得 9.AD解析：设a,1的公差为d,由2a2-a4=1,得2(a1+d)-(a+ 经c1综上的取值意围是(5)）u(,5） -1+w5 3d)=1,化简得a,-d=1.A正确，B错误设b。的公比为g,由 则，可能的值是与？故选C 么==-8，得g=-2.化简得=-2C错误，D正魂故选D 10。ABC解析：设等差数列0。|的公差为d,,So=S0,,10m1+ 12,8194解析：数列1a.1的前9项和5=1×2+2×22+3×23++ 45d=20,+190d,.2n1+29=0a1>0,.d<0,故A正确..a1+ 9×2°，.25。=1×22+2×23+3×2+…+9×20，两式相减得-S。= 14d4a1+15d=0,即a15+ao=0.d<0.a15>a16,.a5>0,a6<0, 2+2+2+…+20-9×20=21-2）-9×20=-8×20-2.,= 故B正确S.≤Ss,故C正确又S3引(a,m 2 -=31a16< 1-2 8×20+2=8194.故答案为8194. 0.S0 30(aan）=15(a6+0)=0当且仅当S<0时，n≥3引. 2 过即分。故 故D错误.故选ABC 11.ABD解析：数列a,,16.都是等比数列，设公比分别为91,92 g分6-2：分又子做数 （≠0)，对于A,由，=a,,得2.6=数列 canbn 列6.为等比数列，公比为子，故6的前n项和为 。+1 】号 6为等化数列A正确：对于由么会利受受- ”d。0。am b 1- 4 1=,数列d,为等比数列，B正确：对于C,令 14.10解析：设等比数列1a.的公比为g,:S,=a1+42+4,+a4=a1+ 3+2+au=a1+3tg(a1+:)=(1+0)(a1+a3)=5(1+g)=20,.g= a,=(-1)”,则S2=8:-S2=。-8=0,不减等比数列，C错误：对于 3则-2-8-)--+1=10故答米 D,=1为常数，D正确，故选ABD. 56-5-52(Sa-52)-54925-54g2-1 0。 为10. 12.65解析：由题意得6n=aet-a,=2n-1→a。-0-1=21-3,,a2 滚动训练1 1=1.累加得4，-4，=+2a-(D=(-1)2,即，=0，+ 2 1.A解析：？在等差数列a,中，=4，且，1，，构成等比数列， 六a=a1ag,即(0+d)2=(02-d)(a2+7d),(4+d)2=(4-d)(4+ (n-1)2(n≥2)，则a0-05=92-42=65.枚答案为65. 13.21解析：由题意可得242=a1+5=2a1+a2,2=2a1.则q= 7d),解得d=0或d=2故选A 2c紫折：，82704n2>0数到a 6 9=2841 -=15,=15,解得a1=1.故答案为2.1 a 1-9 是递增数列，故选C 14.32n+3解桥a,=2-16,=2”,6=a.b,=(2m-1)·2 2 2 3D解折4l2a22aeN2n-2 8=121+3245…234+(2-102”①，2 22 2 六2a产亏，期4“2a6故选D 1·22+3·23+5·24+…+(2m-1)·2m2,①-②得 4.A解析：设这个塔顶层有x盏灯，则何烟等价于一个首项为x,公比 25,=21+2(24242++2*)-(2m-1)2,即25.= 为2的等比数列的前7项和为381，÷=381，解得=3， 六这个塔的最底层有3×2-=192（盏）灯.故选八 5.B解析：2+a1=2,a4+a3=23,a6+a5=2,ag+a,=2’,0n+a=2”, 2*2, -(2a-1）·2r1.变形化简可 Sw=2+2+25+27+2.2(14）=62故选R 1-4 得3=32如+3，放答案为320+3 6.D解析：由题意知，a2=a1+.则=…3++2,3=n+ 2 2 高考新趋势 a.a,02++24n4=0-2(aata4)=a2(a2-0l+a*2t an-3}=mn2(2aat3-a1)=3n22放选D 1.A解析：：能被5除余1且被7除余1.即能被35除余1的数。 1=1,2=36.=71,…,即“。是以1为首项，35为公差的等差 7.C解析：由题意2=2+(-)(neN),当n为偶数时，可得 数列，即4.=35n-34,由题意知4n=35n-34e[1,2022]且neN 。 .1≤35n-34≤2022，解得1≤n≤58，n∈N·,此数列的项数为 2=3:当n为奇数时，可得”2.1，即数列的偶数项成公比为3的 58.故选A. d, 2.32解析：Fn=22”+1,则a.=m1g(F。-1)=m·2",显然m≠0. 等比数列，奇数项都为1，由求和公式可得Sm3一》，0 3-1 8m…2 3(3”-1)+50.故选C m·2”2数列1a.是以2m为首项，2为公比的等比数 2 列又S。=2加(12)=126m=126,m=1.54=2°=32故答案 1-2 8.B解析：数列a,1,16,满足1=b1=2,a1-=6 为32 nEN”,一数列1，|是等差数列，首项是2且公差是2，数列1b。是 第4节数列的综合问题 基础过关 等比数列，首项是2且公比是2.，数列a,的通项公式为a。=,+ 1,B解析：根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1,3， (4-1)d=2m,数列6，}的通项公式为6，=6，·2-1=2”，则数列 3.4.6.5.10.6.15.7.21,8.28.9,36.10.45,11.55.12.66,13,.5m= 16,为6=24，设c.=b则6，=2产=4，三=4六数列16，是 (1+3+6+10+15+21+28+36+45+55+66)+(3+4+5+6+7+8+9+10+ 'c1 等比数列，且公比为4，首项为4则数列1c的前10项和为5n= 11+12+13)=286+(3+13)X=374,故选R. 2 一学霸高考·白题·数学·43一 2.A解桥：=1-i+2-+…+2m-2m=1-(-i)2@。1-3@ 1-(-i) 1+i +13g.09p19-1 4.B解斩：由a2=b2,4=么得hg 91 1-(H) 一=0.故选A 13.2+g-12=0.解得g=3(负值已合去)，d=2d+g=5.故选B 1+i 5.C解析：由题知高阶等差数列前7项分别为1,2.4,7,11,16,22 3.D解析：a∥b, 心-”，即41=0，+1心数列4，是首项 2-1=1,4-2=2,7-4=3,…,22-16=6,记第n项为4。，则有0。 "-1+(n-1)=a-2+(-2)+(n-1)=a.-3+(n-3)+(n-2)+(n-1)= 为1，公差为1的等差数列，an=a1+(n-1)d=1+n-1=m故选D. 4.C解析：当n=1时可得a1=1+5+1=6+t,当n≥2时可得a。= 4+12+…+(n-2)+(n-1)=1+nn》.2-2 2 3-51=m2+5m-(-)2-5(4-0=2m+4.a,-{2n+4,n≥2 {6+1.n=1, 302-30+2=436.做选C 1=0时，S=a1=6,又a1=2+4=6,an=2n+4.a+1-a,=2(n+ 6.C解析：由题意，2a+1=an+an2,neN',.a1-m=a+2-t, 1)+4-2n-4=2,数列1,1为公差为2的等差数列：若数列1.1为 ∈N,则数列a,为等差数列，设公差为d,S=3a,=6,a3=3,即 等差数列.则a1=6+1=2+4,可得1=0..“1=0”是“数列a.|为等差 数列”的充要条件，故选G 了43=3，g=2则d=1.则a.=a,+d(n-3)=n,则5。=+2一d 5.BC解析：由题意得，=-n2+2n+1.由数列与函数的关系可知，数 列。的图象是分布在二次函数y=-x2+2x+1图象上的离撒的点 也为等差数列.则 如图所示，故A错误：结合二次函数的性质，可知该数列是一个递减 数列，且前两项为正数，只有第2项为1，从第3项往后各项为负数 数列{倍}的公为 S.Si (-)×=1 1 2 22 所以B正确，C正确，D错误故选BC 52吧2023+L=1012.故选C 20232 7.B解析：设|a。|的首项为a1,公比为g,当a,<0,g<0时，可知a,<0 a1<0,2>0.A选项不正确：当q=-1时，C选项错误：当g<0时 a>1→a9<a1→a4<aD选项不正确.因此根据基本不等式可 知B选项正确故选B -3 8D解折：若g=1.则元=面8m,:号(a 2 -6 兰)人此时7=兽6号)广，这与题设不许故g1.故 -7- I-g 6.65解析：由n阶幻方填入1.2,3.….n2,共n列.这n2个数的和为 1+2+3+…+n2.由这n列数的和都相等，则每一列数的和N。= n2(1+n) 1+2+3+…+n2 2a1+n21放N,-5x1+25）=5x13=6. 2. 2 放答案为65. -,而87.=3n9-2n·9少-3加+2.故2-3.4=9 7.2038解析：设牧场从2024年起每年年初的计划存栏数依次 为12，…，…，其中n∈N”,由题意得e1=1200,并且c1 -=-2,故b,=48,1b,=8,此时d,,a1不确定故 【.2em-100,设c1-x=1.2(c,-x),则c4=1.2-02x,则02x= 100,则x=500.÷c1-500=1.2(c,-500).即数列1c。-5001是首项 选D, 为c1-500=700,公比为1.2的等比数列，则6，-500=700×1.21， 9.ABD解析：f(2)+f(5)=g2+1g5=1,2f(√10)=2lg√T0= 则c,=500+700x1.2-,令cn=500+700x1.2-l>8900,则1.2-'>12， 21g102=1,则2)+5)=2/10)，由等差中项的应用知，(2) 2lg 2+lg 3 即-12二即-1243136422之n≥15.2024 f升√10)八5)成等差数列，A正确：八2)=g2f4)=lg4=2g2, 八8)=1g8=3g2,则f(2)+f(8)=2f(4),由等差中项的应用知， 14=2038.即2038年初存栏数首次突破8900.枚答案为2038. 8.190解析：设对正整数n按照上述变换，得到数列：a1,a2,…,7 2),八4)，f(8)成等差数列，.B正确：f(2)+f(72)=g144= 4g,则ag=1→a,=2a6=4→ 2g12=212),则2)，代12)，八72)成等差数列，又八2)≠八12) a1=128. 六.C错误：2)=1g2.f(4)=g4=2g2.f(16)=1g16=4g2,则 a5=32→82=64= [4)]2=f八2)八16)，由等比中项的应用知，f八2)，(4)，八16)成等 （a1=21 5=8→44=16→ 比数列..D正确.故选ABD. 3=5=a2=10-=3 则n的所有可能取 10.ABC解桥：当n=1时，a1=S,=a+b+e当n≥2时，a,=S。-S-1= an2+bn+e-a(n-1)2-b(n-1)-c=2an-a+h当n▣1时，上式=a+a a5=1→0u=2→0，=4 ∫a2=8→a1=16, 六若1a.是等差数列，则a+b=a+b+c,c=0∴当c=0时，a,是 (a2=1→a1=2. 等差数列，当a=c=0且b≠0时，a是常数列，也是等比数列： 值为2.3,16,20.21,128，共6个.其和为2+3+16+20+21+128=190 当c≠0时，1a.}从第二项开始是等差数列故选AIBC 故答案为190 11.ABD解析：当n=1时，a1=22=4,当n≥2时，1+2m2+…+22. 镶动调练2 1=(n-1)·2“.两式相减可得21a,=n·21-(n-1)·2"= A解析在等差数列a,中，a,+n,+a=3,=4行，可得4=”，因 (n+1)·2”,=2n+2.当n=1时，a1=4满足上式，放a。=2n+2, 故A正确： 此m(aag)=m(2a,=mg=m(-子）-m号=-5 ,的前m项和为(4+2+2。n2+3n,故B正确： 2 故选A 令bn=(-1)"a。=(-1)(2n+2),16.1的前100项和为-4+6-8+ 2.D解析：由题可知2m*n=4,2mn=1,2.2+=8赦选D 10+…+202=2×50=100.放C错误： 街n 令c。={a。-101=12n-81,.11a。-101的前20项和为6+4+2+ 3.C解析：设有n人，第：人被赠予钱数为a。,e。是等差数列，a,= 0+2+4+6++32=12+16x(2+32）-12+8×34=284,放D正确.枚 3,公差d1.则8=3n+,=10m,m=195.故选C 2 2 选ABD, 一学霸高考·白题·数学·44一 12,4,=-10(答案不唯一）解桥：取a,=-10,则”.-10 3.C解析：h题意可得当n=1时，2=2a1+2,即a19=24,+2①：当 -=10 a。 -10 n=2时，1=2(a1+1)+2,即a1g2=2(a1+19)+22;联立①②可 101-a-4.2x10 得a1=2,9=3,则a4=a19=54.放选C =10.数列10-B.和an都是等比数列。 10"-a。 2×10° 4B解折：依题盒，等差数列1，中，=4+(a-)·行 故答案可以为：。=-10. 13.5或6解析：设数列！b|满足6=4-n,则数列b,{的前n项和为 (a）:显然函数y=m[子+(a,号)门的周期为3，面 元临6a(）小a1 n后N”,即eo%an最多有3个不同的取值，又cos a IneN|=a, (4-.l),·a,=7-m）g（4-n+n=0,p2-n+30=0. b,则在csa1,c2,eow,中，cowa1=cosa2≠owa3或cwa1子 解得n=5或n=6.故答案为5或6. =m,于是有m0=(0:号），即有0：(：智) 14解折：曲题意，递增等差数列1a,满足·a=15,+a,一 2n,ke五解得0=细-子k后乙=m(km号） a,+,=8.可得a4,,是方程x2-8x+15=0的两根，且a4<a,解得 3,=5设数列，的会老为，可得4号数列 [(a号）智](om(km)-w(ka)on号 a的适项公式为a,aa一4a-4×号-2，可得 5.C解析：若要使4尽可能大，则递增幅度要尽可能小，义|a,各项 2-2a"2m-2n"x( 1 均为整数且41≥3，不妨设数列a。1是首项为3，公差为1的等差数 列，其脑n项和为5，则a=n+2,Sn=344 2 ×12=102>100.S1= 3 ）汉写-写)及+6号 1 3+13x11=88<100n≤1，n的最大值为1.放选C 2 [）小（（( 6.C解析：由题意，五种规格党旗的长a1,a2,,44,a5(单位：m)成 差数列，设公差为d.4=28,5=96,可得d=? 2)2故答案为2 1 96-28。-48.可得a,=28+(3-1)×(-48)=192又由长与宽之比 高考新趋势 4 1.A解桥：由损益规律可知0，（1-3）×(1+）×(1) 都相等，且6，=192，可得= 么=b1-92x12=128故 288 选C 即e,（)）(写）x(写）192，部得a,=324做选 7.D解析：设等比数列1a的公比为9,90，若q=1,则a-,=0,与 2.199600解析：当值社员姓徐，，x在26个英文字母中排第24位， 41(1-g） x=24,前24项中有3,32,33，有21个偶数，N=2+4+…+42+ 题意矛盾，六？≠1，则 1+0+u3= 1-q =168,解得 3+3+3_21×(2+42)+3+9+27=501.10-Q199608.则当日密 42-0s=419-19=42。 2 501 4,=96. 码为199600.故答案为199600. 1六a6=a13=3放选D. 真题演练 1.C解析：方法一：甲：a,|为等差数列，设其首项为1，公差为d, 8.-2解析：设1a.的公比为g(g≠0)，则a,4s=3w=29·as9.是 然a。≠0，则a,=g2,即a1q八=d2,则19=l.aam=-8,.1g· 2 419=-8,则g5=(g3)2=-8=(-2)3,则g=-2,则1=19· 因此（一}为等装数列，周甲是乙的光分条件 g3=-2故答案为-2. 9.2解析：由2S=352+6可得2(a1+a:+m)=3(a1+a,)+6,化简 反之.乙：{}为等差数列8 得23=1+2+6.即2(n1+2)=241+d+6.解得d=2.故答案为2. n+1 n n(n+1) 10.48384解析：方法一：设前3项的公差为d,后7项的公比为g> 为常数，设为1，即 n(n+1) n(n+1) =k.则S,=nm1-t·n(n+1) 0,则。192 4716,且9>0，可得g=2.则0=1+2=5，即 有S-=(n-1)a,t·n(n-1),n≥2，两式相减得a,=mo1-(t-1)· 1+2d=3,可得d=1, a,-21n,即a1-a。=21,对=1也成立，因此a。为等差数列，则甲 空1：可得3=3,4y=9=48. 是乙的必婴条件，∴甲是乙的充要条件，C正确. 空2：a,+a+…tng=1+23+3x2++3x20=3+3x(1-2）=384.故 方法二：甲：口，为等差数列，设数列4n1的首项山1.公差为d, 1-2 答案为48.384 即8m,少，则于=a,+4=号+a,受因此 2 2 方法二：空1：a,1,3≤n≤7为等比数列，则码=45g=12×192= (会}为等差数列，即甲是乙的充分条件。 482,且0.>0,7=48 空2：a=aya1,∴.a3= 三-3.设后7项公比为g>0,则g=:4, 反之，乙：（倍}为等差数列治兰4：为容.片-S a+l n 3(a1+1) 解得g=2,可得a1+@3+a3= =6.0x+a+as+as+az+as+ (m-1)t.即Sn=nS,+n(n-1)l.S.-=(n-1)S,+(n-1)(n-2)t. 2 当m≥2时.上两式相减得S.-S。,=S,+2(n-1)L,当n=1时，上式成 立，于是an=a1+2(n-1),义a1-4,=a1+2m-[a1+2(n-1): ="g.322=3814+n++a=6+381-0=384故 ]=2,因此1a|为等差数列，则甲是乙的必要条件，∴甲是乙的充 答案为48,384. 要条件故选C. 高考新动向 2.C解析：由题知1+g+g2+g+g=5(1+g+g2)-4,即g3+g=4g+4q2, 1.BC解析：对于A,由，=2+n.得△a。=(n+1)2+(n+1)-(n2+ 即d+g2-4g-4=0,即(g-2)(g+1)(g+2)=0.由题知9>0，六9=2 n)=2m+2,显然△.有最小值4，无最大值，因此不存在M>0.使得 .S,=1+2+4+8=15.放选C △a.<M饵成立，A错误：对于B,由选项A知，△a.=2n+2,则△2an 一学霸高考·白题·数学·45一 2(n+1)+2-(2n+2)=2,显然当M>2时，△2a。<M恒成立，B正确：对 2.3L.故选C 于C,由4b。=(n+2)·2一，得b1-6。=(n+2)·2"-,当n≥2时， bn=b1+(h2-b1)+(b3-b2)+(b-b3）+++(b。-b。-1).即bn=1+ 3×20+4×2+5×22+…+(n+1)×2-2,于是2h。=2×2+3×2+4× 22+…+n×2-2+(1+1)×2"-,两式相减得-6。=1+1+2+22+…+ 22-(a1×21-(a+1)x2-×2调此么 n·2-1,显然b,=1满足上式，则6，=n·2r1,由61-bn=(n+2)· 6.B解析：如图是所求的几何体，该几何体上部分为圆锥.下部分为 21>0,得数列16.1是递增数列.b。有最小值1，无最大值，从面对任 在圆柱内挖去一个与上部分相同的圆锥，其中圆柱的高为CD=2,点 意M>0,总存在程∈N·,使得b.>M,C正确：对于D,△b。=(n+3)· 2”-(a+2),2=(a+4)2,由选项C得4 =1+4,显然数列 D到AB的距离为2LBA0=2x?3,该几何体的体积为行 b。 月 (3)2×2=6π.故选B {:}是改数列，01： ≤5，因此对任意M>0,不存在n eN·,使得 >M成立D错误赦选C ba 2.13,4,5122解析：当m=3,k=2时，A2表示有2个元素的集 合，N=|1.2.3,因为A2CN,且A2有2个元素，所以A2=11,2 或1,3引或2.3，所以T2=3.4,5:由题中定义可知：T3=6, 7,8.…,3m-3引.于是由5(73)≤2024=（6+3m-3(3m-3-5》 7.A解析：设直角圆锥底面半径为r,则其母线为2r顶点到底面 2 20249m2-15m-4072≤0=5V163 ≤m≤5+V163 ,面 圆圆心的距离为√(2r)'-子=r,底而圆的圆心即为外接球的球 6 6 心，.外接球半径为， S等。叫_2配-三赦选A /16129<16313<w16384→127<√16313<128，故22< S球w47234r24 5+63那<2.2，又圆为m∈N,所以m的最大值为2，放答案为 6 C解析：由题意可知该几何体的体积为F=子··A仍= 3,4,51,22 TR2(9-3R)=π(-R3+3R2). 第九章立体儿何与空间向量 令f尺R)=(-R3+3R2),则(R)=T(-3R2+6R), 令(R)=0.得R=2(R=0舍去). 第1节空间儿何体的结构特征，表面积与体积 则0<R<2时(R)>0,八R)单递增，R>2时(R)<0,八R)单调 基础过关 递减，故当R=2时，八R)取得最大值，此时该几何体的体积最大则 1.D 解析：作出原米的平面图形OABC,如图，牛 0C=20C'=22,BC=BC=1,在等腰梯形0M'BCC 以2为半径的球的体积为号-专x2:严故选C 9.BD解析：设内外球半径分别为r,R,则正方体的棱长为2，体对角 中，0=2x2 ×2+1=3.因此04=3， 线长为2说R=5又有题知=1A=正 S#ea2(1+3)×22=42.放选D 方体的棱长为3+1，体对角线长为3+3，∴，外接球表面积为 2.A解析：由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为 π(3+3)2=(12+63)m.故选BD. ,√侣一侣)号瓜，则这个直袋柱的侧断积为4： 10.BD解析：A选项.设下面圆锥的母线长为1.则1■√3+6= 3w5(em).故下面圆锥的侧面积为S■l=3×35π=95r(m2). 2网x5=0vg 故沙漏的侧而积为25=18、5πcm2,故A错误： 3.书解析：由题得树面三角形的斜高为，√)2一（子】 =2 B选项，：细沙全部在上部时，高度为圆维高度的子细沙形成 =4(cm),故底面积 .该四棱锥的全面积为22+4× 2×2×2=12.故选B 的圆锥底面半径为子X3=2(m).高为6x 3 4.D解析：由题意可得底面正三角形的边长为3，.V= 113 为·2=沙漏中的第沙体积为了×4行×4：(m B正确： 3x3=95赦选n C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为 4 5.C解析：根据题意画出正四棱台的直观图.，如图，其中底而ABCD是 3x16 16 3 边长为20m的正方形，底面AB,C,D,是边长为10cm的正方形， 3 m,其中此锥体的底面积为·3=9，故高度为 则棱C,C=5石，记底面ABCD和底面A,B,C,D,的中心分别为O和 16 ✉1.8(em),C错误： 0,则010是正四棱台的高. 9 过C,作平面ABCD的垂线，垂足为E,则EaAC且C,E∥O,O, 16x3.14 =837(秒)，放该沙漏的一个沙时大约 C,E=0,0,所以四边形00，C,E是平行四边形，0E=0,C,= D选项，402 3×0.02 是837秒.D正确故选BD, 2161=2×y2×10=52(am).0C=24C=7×2×20= 11,ABD解断：正三按驻A-4,B,G,的体积为Vc46,=Sa46·AM 10N2(cm),故CE=0C-0E=102-52▣52(cm).∴，棱台的高h= C,E=√(56)-(52)=10(em).由棱台的体积公式得V= 2×333 ，由题图可知飞+5+5<c4 3(5+5"+V)h=3×(400+100+200)×10=23x103(em)= 33 六++<。心A正确：如图，沿着侧棱4，将棱柱展开得到 一学霸高考·白题·数学·46一