2.4 线段的和与差（9大题型提分练）数学新教材冀教版七年级上册

第二章 几何图形的初步认识 2.4 线段的和与差（9大题型提分练） 知识点01：线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 题型一 线段的应用 1．从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 2．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 3．已知线段，那么满足的点P的轨迹是 ． 4．从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 5．比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 6．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA=50m，CB=60m，∠ACB=145°，用1 厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB的长(精确到1毫米)，再换算出A、B间的实际距离. 题型二 线段的和与差 1．如图，点在线段上，已知，，则图中所有线段的长度之和为（   ） A．42 B．48 C．50 D．56 2．如图1，在中，，动点D 从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿到点A运动停止，设点D运动的时间为x秒，线段的长为y个单位长度，其中y随x的变化情况如图2所示．则的周长为（　）    A．10.5 B．18 C．21 D．23 3．如图，点，在线段上，已知，，，则线段长为 ． 4．根据下图填空： ．    5．如图，已知线段，，画一条线段，使． 6．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 题型三 线段中点的有关计算 1．如图，是线段的中点，是线段上一点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，A，B，C，D是直线上的顺次四点，M，N分别是线段，的中点，且，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，O是线段的中点，P是上一点．已知比长6厘米，则 ．    4．如图， 已知线段， M是的中点， P是线段上一点，N为的中点，， 则线段 ．   5．如图，点C在线段上，点M、N分别是，的中点，，，求线段的长． 6．在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示． (1)求线段的长． (2)点C是不是线段的中点？请说明理由． (3)取线段的中点D，那么点D表示什么数？ 题型四 线段n等分点的有关计算 1．七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 3．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 4．点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ． 5．如图，，点C在线段上，，点B是的中点，求线段的长度． 6．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，．    (1)比较大小： ______（填“”、“”或“”）； (2)若，，求的长． 题型五 线段之间的数量关系 1．如图，点C是线段上的一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（    ） A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米 3．点E在线段上，下面几个能判断E是中点的有 （只填序号）．①；② ；③ ；④ ；⑤ ． 4．如图，C是线段上一点，给出下列表达式：①；②；③；④，其中，能表示C是线段中点的式子有 ．（只填所有符合条件的序号）．    5．如图，比较这两条线段的长短． 6．如图，已知，是的中点，求的长度．    题型六 与线段有关的动点问题 1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 2．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 3．如图，是等边三角形，是高，且，是边的中点，点是上一动点，则的最小值是 . 4．电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 5．如图，已知点A、B、C是直线l上的三个点，线段AB＝8厘米． （1）若AB＝2BC，求线段AC的长度； （2）若点C是线段AB的中点，点P、Q是直线l上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘来？    6．如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 题型七 两点之间线段最短 1．某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（　　） A．直线的公理 B．直线的公理或线段最短公理 C．线段最短公理 D．平行公理 2．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 3．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是 ． 4．甲、乙均从A处去往E处．甲选择图中的路线①，即依次途径B，C，D，最终到达E；乙选择图中的路线②，即途径P，最终到达E．图中的A，B，C，D，P，E均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走．则两条路线中较长的是 ．（填“①”，“②”或“一样长”） 5．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池O点的位置，使它到四个村庄距离之和最小． 6．尺规作图（保留作图痕迹）： 如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M． (1)在图1中请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短； (2)在图2中连接，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足． 题型八 两点间的距离 1．台湾的省会为台北市，在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 2．下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的射线的长度叫做两点间的距离 C．连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 3．已知点A，B，C在同一条直线上，且，，则 ． 4．已知：A、B、C三个点在同一直线上，若线段，，则线段 ． 5．如图，C为线段的中点，点D分线段两部分和的比为． (1)若，求线段的长； (2)若E为线段的中点，试说明线段与线段的数量关系． 6．将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 题型九 最短路径问题 1．、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 2．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 3．最短路径问题的理论根据：“ ”“垂线段最短”“三角形的三边关系”等．在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择 4．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ． 5．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．    6．在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？ 1．将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，已知空间站与星球的距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，之间的距离为，若表示飞船与空间站的实时距离，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 5．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知线段，点为线段的三等分点，则 ． 7．往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 种车票． 8．已知线段，点在直线上，，则 ． 9．将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学道理是 ．    10．如图，某同学在做“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长．能正确解释这一现象的数学知识是 ．    11．如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    12．如图，已知：C是线段的中点，，点D在上，    (1)写出以D为端点的线段． (2)求线段的长 (3)求线段的长 (4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题． 13．如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 14．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． (1)图中共有线段 条； (2) ； (3)若D是的中点，，，求线段的长． 15．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 几何图形的初步认识 2.4 线段的和与差（9大题型提分练） 知识点01：线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 题型一 线段的应用 1．从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（　　） A．12种 B．10种 C．6种 D．4种 【答案】A 【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数． 【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票， ∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备（种）， 故选：A． 【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程票． 2．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．如图，直线PA、PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），若线段PQ与线段AB相交，则点Q落在的区域是（    ） A．① B．② C．③ D．④或⑤ 【答案】B 【分析】先根据线段PQ与线段AB有公共点确交点的位置在AB上，连结线段PS，利用线段的延长线所在区域确定点Q落在区域②即可． 【详解】解：∵线段PQ与线段AB相交，设交点为S， ∴点S在线段AB上，连结PS并延长，点Q在PS的延长线上， ∵PS的延长线在区域② ∴点Q在区域②． 故选择B． 【点睛】本题主要考查了线段、射线和直线，延长线，点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． 3．已知线段，那么满足的点P的轨迹是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的轨迹．根据点的轨迹即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点P的轨迹是线段． 故答案为：． 4．从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有 种． 【答案】10 【分析】根据题意得出共有车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价． 【详解】解：由题意可知共有5个站点， ∴共有种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有种票价， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力，本题用了排列和组合的内容． 5．比较折线AB和线段的长短，你有什么方法？需要什么工具？ 【答案】见解析 【分析】结合所给的图形，一条折线，一条线段，可以采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较即可． 【详解】解：采用细线和直尺，采用细线弯折成和折线一样长，然后拉直，用直尺分别量出其长度，然后比较． 【点睛】本题考查了长度的测量方法，采用化曲为直的方法进行比较是解题关键． 6．如图，A、B两地隔着湖水，从C地测得CA=50m，CB=60m，∠ACB=145°，用1 厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB的长(精确到1毫米)，再换算出A、B间的实际距离. 【答案】 A、B间的实际距离是105m． 【详解】本题考查了比例问题 根据比例尺的定义，1厘米代表10米，把CA=50m，CB=60m，转化为CA=5cm，CB=6cm，结合题意画图，再测量AB的长，最后换算出A、B间的实际距离． 如图，测得AB长约10.5cm，换算成实际距离约为10.5×10=105m． 即A、B间的实际距离是105m． 题型二 线段的和与差 1．如图，点在线段上，已知，，则图中所有线段的长度之和为（   ） A．42 B．48 C．50 D．56 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差，首先根据题意得到，再找到图中所有线段求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 图中所有线段的长度之和为 ， 故选：A． 2．如图1，在中，，动点D 从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿到点A运动停止，设点D运动的时间为x秒，线段的长为y个单位长度，其中y随x的变化情况如图2所示．则的周长为（　）    A．10.5 B．18 C．21 D．23 【答案】B 【分析】本题考查线段的和与差，利用数形结合的思想是解题关键．由图可知，从点B运动到点A的时间为秒，从而可求出，进而即可求出的周长． 【详解】解：由图可知，从点B运动到点A的时间为秒， 所以， 所以的周长为． 故选：B． 3．如图，点，在线段上，已知，，，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差，根据已知得，由图形可得，代入数据计算即可．正确得出是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段长为． 故答案为：． 4．根据下图填空： ．    【答案】 / / 【分析】本题考查了线段的和与差．熟练掌握线段的和与差是解题的关键． 根据线段的和与差求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：，． 5．如图，已知线段，，画一条线段，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查线段和差的计算，掌握线段的表示及和差的计算方法是解题的关键． 先在射线上依次截取，再在上截取，则线段满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 6．如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 【答案】(1)、； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查线段长度的计算，熟练掌握图形中线段的和差是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）根据线段的和差求解即可； （3）由（2）得，根据，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：由图可得， 故答案为：、； （2）解：，理由如下， ∵，． ∴， ∴， （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型三 线段中点的有关计算 1．如图，是线段的中点，是线段上一点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，与线段的中点有关的计算，正确的识图，找准线段的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ∴， ∴，，故A，B，D选项正确； 无法得到，故B选项错误； 故选：C． 2．如图，A，B，C，D是直线上的顺次四点，M，N分别是线段，的中点，且，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是找准线段之间的和差，倍数关系． 根据，求出，根据中点定义，推出，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ∴， ∴． 故选A． 3．如图，O是线段的中点，P是上一点．已知比长6厘米，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了两点间的距离，直线、线段和射线的认识．根据题意可知：是的中点，是上一点，且比大6厘米，即6厘米是长度的2倍，由此用除法即可求出的长度． 【详解】解：是线段的中点，则， 是上一点，已知比长6厘米，则比长的6厘米就是长度的2倍； （厘米） 答：长3厘米． 故答案为：3． 4．如图， 已知线段， M是的中点， P是线段上一点，N为的中点，， 则线段 ．   【答案】1 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据中点平分线段，利用线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， M是的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴； 故答案为：1 5．如图，点C在线段上，点M、N分别是，的中点，，，求线段的长． 【答案】 【分析】此题主要考查的是线段的和差及线段中点的定义，根据线段中点的性质，可得，的长，利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由点M、N分别是，的中点，得 ，， 由线段的和差，得． 6．在数轴上，点A表示，点B表示，点C表示． (1)求线段的长． (2)点C是不是线段的中点？请说明理由． (3)取线段的中点D，那么点D表示什么数？ 【答案】(1)6 (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数轴上两点间距离，线段中点的有关计算： （1）用点A表示的数减去点B表示的数即可； （2）利用中点公式判断； （3）线段中点表示的数即两端点坐标的平均数． 【详解】（1）解：点A表示，点B表示， ； （2）解：点C是线段的中点，理由如下： 线段的中点表示的数为：； （3）解：线段的中点D表示的数为：． 题型四 线段n等分点的有关计算 1．七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排（    ）场比赛． A．182 B．91 C．28 D．14 【答案】B 【分析】首先单循环制是指任何两个选手之间都要比赛一次,也就是如果有个选手,则共有场比赛，据此求解即可． 【详解】七年级共有14个班，要组织篮球单循环赛，共需要安排场比赛； 故选B 【点睛】本题考查了求两个队伍比赛之间关系，类比线段等分求线段的数量是解题的关键． 2．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段的中点， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 故选C． 3．已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 4．点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ， 则 的长为 ． 【答案】或/或 【分析】根据点是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， 是线段的中点，， ， 点是线段上的三等分点， ， ， 如图， 点是线段上的三等分点， ， 是线段的中点，， ， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，以及三等分点、中点的定义，解决本题的关键是分两种情况画图计算． 5．如图，，点C在线段上，，点B是的中点，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查线段中点和线段n等分点的有关计算．利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意可求出，再根据B是的中点，即得出． 【详解】解：因为， 所以． 因为点B是的中点， 所以． 6．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，．    (1)比较大小： ______（填“”、“”或“”）； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段之间的数量关系， （1）根据得出即可得出； （2）先根据，且，求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五 线段之间的数量关系 1．如图，点C是线段上的一点，D为的中点，且，．若P点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意求出长度，再分类讨论根据线段的和差计算即可； 本题主要考查两点间距离，分类讨论是解题关键． 【详解】解：如图所示： D为的中点，且， 如图1， 如图2， 故选：C． 2．小涵家所在的小区、小区附近的一个大型超市和新华书店均位于一条东西走向的公路两旁，且超市和书店与小涵家的距离分别为800米和300米，则超市和书店之间的距离为（    ） A．500米 B．1100米 C．300米或500米 D．500米或1100米 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，分“小涵家在超市和书店之间”“书店在超市和小涵家之间”两种情况，分别计算即可． 【详解】解：分两种情况：当小涵家在超市和书店之间时， 超市和书店之间的距离为：（米）； 当书店在超市和小涵家之间时， 超市和书店之间的距离为：（米）； 则超市和书店之间的距离为500米或1100米． 故选D． 3．点E在线段上，下面几个能判断E是中点的有 （只填序号）．①；② ；③ ；④ ；⑤ ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了线段的中点的定义，把一条线段分为两条相等线段的点叫做线段的中点． 根据， ， ，都可以判定E是中点；而时，E不一定是中点；，此种情况点E不在线段上． 【详解】点E在线段上， ①如图1，，得E是中点，故①正确； ②如图1，，得E是中点，故②正确； ③如图1，，得E是中点，故③正确； ④如图2，，E不一定是中点，故④错误； ⑤如图3，，此种情况不存在，故⑤错误． 故答案为：①②③． 【点睛】 4．如图，C是线段上一点，给出下列表达式：①；②；③；④，其中，能表示C是线段中点的式子有 ．（只填所有符合条件的序号）．    【答案】①②③ 【分析】本题考查了线段的中点即把线段分成相等的两条线段的点，线段的和与差，熟练掌握线段中点的意义，灵活运用线段的和差是解题的关键． 【详解】时，点C是线段中点， 故①正确； 时，点C是线段中点， 故②正确； 时，点C是线段中点， 故③正确； 时，点C不一定是线段中点， 故④错误， 故答案为：①②③． 5．如图，比较这两条线段的长短． 【答案】 【分析】此题考查了线段的大小比较，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合，进而求解即可． 【详解】解：如答图，把图中的线段、线段放在一条直线上，使点A和点C重合，点B和点D重合， 所以． 6．如图，已知，是的中点，求的长度．    【答案】6 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点，根据题意找出线段之间的数量关系是解题关键． 根据，求出，再根据线段中点的定义求出即可． 【详解】解：∵， ∵是的中点， 题型六 与线段有关的动点问题 1．如图，线段的长为，点为上一动点（不与，重合），为中点，为中点，随着点的运动，线段的长度（   ） A．随之变化 B．不改变，且为 C．不改变，且为 D．不改变，且为 【答案】D 【分析】把DE的长度转化为DC与CE的长度之和，转化为AB的长度即可求解． 【详解】∵为中点，为中点， ∴DC= AC，CE= BC ∴DE=DC+CE =AC+BC =AB =m 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是线段动点问题以及线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 2．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 3．如图，是等边三角形，是高，且，是边的中点，点是上一动点，则的最小值是 . 【答案】7. 【分析】作E关于AD的对称点F,连接BF则为所求最小值. 【详解】作E点关于AD的对称点F点.过点F作FG⊥BC,连接BF则BF则为所求值. ∵E为AB的中点,F为E关于AD的对称点, ∴F为AC的中点, ∵△ABC是等边三角形, ∴BF=AD=7. ∴PB+PE的最小值是7. 故答案为:7. 【点睛】本题考查”将军饮马”的题型,关键在于熟练掌握该类型的辅助线做法. 4．电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 5．如图，已知点A、B、C是直线l上的三个点，线段AB＝8厘米． （1）若AB＝2BC，求线段AC的长度； （2）若点C是线段AB的中点，点P、Q是直线l上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、B同时出发在直线上运动，则经过多少秒时线段PQ的长为5厘来？    【答案】（1）12厘米；（2），经过或1或3秒或9秒时线段PQ的长为5厘米 【分析】（1）根据线段的和差倍分即可得到结论； （2）由于BC＝4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，当线段PQ的长为5厘米时，可分四种情况进行讨论：点P向左、点Q向右运动；点P、Q都向右运动；点P、Q都向左运动；点P向右、点Q向左运动；都可以根据线段PQ的长为5厘米列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）点C在点B的左侧，如图1，    ∵AB＝8厘米，AB＝2BC， ∴BC＝4厘米， ∴AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4厘米； 点C在点B的右侧，如图2，    ∵AB＝8厘米，AB＝2BC， ∴BC＝4厘米， ∴AC＝AB+BC＝8+4＝12厘米； （2）∵点C是线段AB的中点， ∴BC＝4厘米， 设运动时间为t秒，PQ＝5厘米． ①如果点P向左、点Q向右运动时，如图3，    由题意，得：t+2t＝5﹣4， 解得t＝； ②点P、Q都向右运动时，如图4，    由题意，得：2t﹣t＝5﹣4， 解得t＝1； ③点P向右、点Q向左运动，如图5，    由题意，得：2t﹣4+t＝5， 解得t＝3； ④点P、Q都向左运动，如图6    由题意，得：2t﹣t＝5+4， 解得t＝9． 综上所述，经过或1或3秒或9秒时线段PQ的长为5厘米． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程求解. 6．如图1，点C在线段AB上，．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是______； （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别表示出AP，CQ，故可求解； （2）根据中点的性质表示出MN，再根据线段的关系得到，故可得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵P，Q两点同时从点C，B出发，分别以，的速度沿直线AB向左运动， 设运动时间为t ∴CP=t，BQ=2t ∴ ∵ ∴设BC=2a，AC=a ∴AP=AC-CP=a-t，CQ=BC-BQ=2a-2t=2（a-t） ∴AP=CQ ∴= 故答案为：； （2）如图，∵M是PQ中点，N是CQ的中点 ∴MQ=，NQ= ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段的和差问题，解题的关键是根据中点的性质表示出线段的长． 题型七 两点之间线段最短 1．某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（　　） A．直线的公理 B．直线的公理或线段最短公理 C．线段最短公理 D．平行公理 【答案】C 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短定理． 【详解】解：弯曲的道路改直，使两点处于同一条线段上，两点之间线段最短． 故选：C． 2．高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是（    ）    A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．平行线之间的距离最短 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查线段的性质，解题的关键是掌握：两点之间，线段最短． 【详解】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为：两点之间，线段最短． 故选A． 3．如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据线段的性质判断即可，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 4．甲、乙均从A处去往E处．甲选择图中的路线①，即依次途径B，C，D，最终到达E；乙选择图中的路线②，即途径P，最终到达E．图中的A，B，C，D，P，E均在格点上，且从一处到下一处均按直线行走．则两条路线中较长的是 ．（填“①”，“②”或“一样长”） 【答案】① 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短， 连接，再利用两点之间线段最短即可求解， 【详解】解：连接 有图可知： 在中， 即， 在中，， 即， ， 则路线①的距离路线②的距离， 故答案为：① 5．如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池O点的位置，使它到四个村庄距离之和最小． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用所学的知识，解决实际问题．根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它到四个村庄的距离之和最小，就要使他在与的交点处． 【详解】解:如图所示，连接、，它们的交点是O，点O就是修建水池的位置，这一点到，，，四点的距离之和最小． 6．尺规作图（保留作图痕迹）： 如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M． (1)在图1中请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短； (2)在图2中连接，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查了尺规作图，两点之间线段最短，熟练掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短可知，连接与直线的交点即为所求的点O； （2）以M为圆心的长为半径画弧，与直线的交点即为点N的位置． 【详解】（1）解：点O如图所示，作图依据：两点之间线段最短； （2）点N如图所示． 题型八 两点间的距离 1．台湾的省会为台北市，在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 【答案】A 【分析】本题考查了点与点之间的距离，根据点与点之间的距离并结合生活常识即可得出答案． 【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市， 故选：A． 2．下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的射线的长度叫做两点间的距离 C．连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间的距离．熟练掌握两点之间的距离的定义是解题的关键． 根据两点之间的距离的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离， D正确，故符合要求；A、B、C错误，故不符合要求； 故选：D． 3．已知点A，B，C在同一条直线上，且，，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况讨论：当C在线段上时；当C在线段的延长线时：然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点C在线段上时， ， ． 当C在线段的延长线时， ， ． 故答案为：2或6． 4．已知：A、B、C三个点在同一直线上，若线段，，则线段 ． 【答案】12或6 【分析】根据题意画出图形，分类讨论：①点C在之间，②点C在右边进行求解即可． 【详解】解：如图，点C在之间， 则； 如图，点C在右边， 则， 故答案为：12或6． 5．如图，C为线段的中点，点D分线段两部分和的比为． (1)若，求线段的长； (2)若E为线段的中点，试说明线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． （1）设，，则，根据线段中点的定义即可得到结论． （2）设，，则，根据线段中点的定义即可得到结论． 【详解】（1）设，，则， ∵C为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： 同（1）得：，，则，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴． 6．将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 【答案】(1)30 (2) (3)的长为或 【分析】本题考查了两点间的距离． （1）因为点，恰好重合，所以，已知，可得的长； （2）已知，，可得的长，又因，可得的长； （3）分点落在点的左侧、点落在点的右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：点，恰好重合， ， ， ， 故答案为：30； （2）解：，， ， ， ． （3）解：①当点落在点的左侧时， ，，， ， ， ， ②当点落在点的右侧时， ，，，， ， ， ， 综上，的长为或． 题型九 最短路径问题 1．、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了数学模型“费马点”，“费马点”是指三角形内部某一点到三个顶点之间的距离之和最短．当三角形的三个角都小于时，“费马点”在三角形的内部，同时“费马点”到两个顶点之间的夹角都是，当有个角大于等于时，“费马点”就是该角的顶点；但当且仅当三角形是等边三角形时，“费马点”和三角形的内角重合，而三角形的内心是三条角平线的交点．根据“费马点”的定义并结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵图中为锐角三角形，且不是等边三角形， ∴A、C、D都不符合题意． 故选：B． 2．如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 3．最短路径问题的理论根据：“ ”“垂线段最短”“三角形的三边关系”等．在解决最短路径问题时，我们通常利用 、 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择 【答案】 两点之间线段最短 轴对称 平移 【分析】根据最短路径问题的理论依据：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形的三边关系等，通长利用轴对称，平移等变化来解决，作答即可． 【详解】解：最短路径问题的理论根据：两点之间线段最短，垂线段最短，三角形的三边关系等，在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称，平移等变化来解决． 故答案为：两点之间线段最短，轴对称，平移 【点睛】本题考查最短路径问题．熟练掌握最短路径的理论依据和方法，是解题的关键． 4．如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力． 【详解】解；如图， 因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关． 故答案为：①③． 5．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．    【答案】图见解析，说明见解析 【分析】如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置． 【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置． 由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC， 在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE， 根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求； 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． 6．在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？ 【答案】能，图见解析 【分析】先展开正方形的侧面，根据两点之间线段最短即可得． 【详解】解：下图是正方体的侧面展开图（侧面展开图不唯一），蚂蚁爬到顶点B处的最短路线为线段AB；爬到顶点C处的最短路线为线段AC（路线AC不唯一）． 【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 1．将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了线段公理，根据两点之间线段最短即可求解，掌握线段公理是解题的关键． 【详解】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，依据是两点之间线段最短， 故选：． 2．如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离．根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，本题得以解决． 【详解】解：点是线段的中点， ，故选项C不符合题意； 是不是线段的中点， ， ，故选项B不符合题意； 由图形知，故选项A不符合题意； 是不是线段的中点， ，故选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，、是线段上的点，是线段中点．若，，则线段的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算．熟练掌握线段中点定义，线段的主差关系，是解决问题的关键． 根据线段的和差关系得到，根据中点定义得到，得到，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度是． 故选：C． 4．如图，已知空间站与星球的距离为，信号飞船在星球附近沿圆形轨道行驶，之间的距离为，若表示飞船与空间站的实时距离，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，由题意得出当点在的延长线上时，此时最大，再利用线段的和差计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 当点在的延长线上时，此时最大，的最大值为， 故选：C． 5．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段5条，所以出现报警次数最多5次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、， ∴发出警报的点P最多有5个． 故选：C． 6．已知线段，点为线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段之间的数量关系，分靠近点和靠近点两种情况，进行求解即可． 【详解】解：∵，点为线段的三等分点， ∴或； 故答案为：或． 7．往返于甲、乙两地的火车，途中停靠三个站，则至多要准备 种车票． 【答案】20 【分析】根据题意，作出图形，根据线段的知识解决问题即可． 【详解】如图： 共有10条线段，, 又题中是往返列车，往返的车票都不相同， 所以共有10×2＝20种车票， 故答案为20． 【点睛】本题主要考查运用直线、射线、线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． 8．已知线段，点在直线上，，则 ． 【答案】或/5或3 【分析】根据线段的倍数与和差关系分情况讨论解答即可．本题考查了线段的倍数关系及线段的和差关系，分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①当点在线段上时， ∵，， ∴， ∴； ②当点在的延长线上时 ∵，， ∴， ∴； 故答案为：或． 9．将图中的树叶沿虚线剪掉一部分，发现剩下的树叶的周长比原来的周长要小，能正确解释这一现象的数学道理是 ．    【答案】两点之间线段最短 【分析】分析剪前与剪后线段AB左侧的形状可以得解． 【详解】解：如图，设虚线与树叶边缘交于A、B两点，    则剩下的树叶周长与原来的周长相差的只是线段AB左侧的部分，原来AB左侧是一条曲线，剪后AB左侧即为线段AB， ∵线段AB的长度小于原来AB之间曲线的长度， ∴剩下的树叶的周长比原来的周长要小，其原因即为两点之间线段最短， 故答案为两点之间线段最短． 【点睛】本题考查“两点之间线段最短”原理的应用，熟练地把实际问题与几何问题联系起来思考是解题关键． 10．如图，某同学在做“剪纸”活动时发现一个有趣的现象：把一个长方形纸片沿虚线剪开得到的五边形周长小于原长方形周长．能正确解释这一现象的数学知识是 ．    【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了了线段的性质，根据两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：依题意，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 11．如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距，，，请用代表，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．    【答案】图见解析，A树距B，C两树的实际距离分别是200m，173.2m． 【分析】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是正确画出图形，进行测量和换算．画出直角三角形ABC，其中内角分别是 ，，，然后量出，的长，再根据代表进行换算即可得到答案． 【详解】解：如图，    经测量可得：，， 换算可知：A树距B树的实际距离为， A树距C树的实际距离为． 12．如图，已知：C是线段的中点，，点D在上，    (1)写出以D为端点的线段． (2)求线段的长 (3)求线段的长 (4)请你写出一个与上述3个不同的数学问题． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)求线段的长（答案不唯一） 【分析】（1）以点为端点，根据图形即可求解； （2）根据线段的中点的性质即可求得； （3）根据线段的和与差即可求得； （4）根据题意即可得到，注意答案不唯一． 【详解】（1）根据图形，以点为端点的线段有：，，． （2）∵C是线段的中点，， ∴． （3）根据图形可得：． （4）可提问：求线段的长（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了线段的性质，线段中点的性质，线段的和差倍分运算等，熟练掌握线段的相关性质是解题的关键． 13．如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 14．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，根据图形填空和解答． (1)图中共有线段 条； (2) ； (3)若D是的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)6 (2) (3)． 【分析】本题主要考查线段的和差关系及线段中点的性质，熟练掌握线段的和差关系是解题的关键； （1）根据图形可直接进行求解； （2）根据线段的和差关系可进行求解； （3）由题意可设，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：图中有线段，共6条； 故答案为：6； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵D是的中点，且， ∴， 设，则有，则有， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 15．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$