山东省淄博市张店区潘庄高级中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

1 2024年潘庄高级中学高二上学期 6 月月考 数学 本试卷共 2页，19小题，满分 150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知随机变量  23,X N  ，且  2 4P x m   ，  1 5P x n   ，则  2 5P x  的值为（ ） A． 2 m n B． 2 n m C． 1 2 m D． 1 2 n 2．设等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 3 2 15 6S a a  ，则公比q为（ ） A．1或 5 B．5 C．1或 5 D．5或 1 3．  611 1 xx       展开式中 2x 的系数为（ ） A． 5 B．5 C．15 D．35 4．曲线 3 ln 1 xy x   在点（1，0）处的切线方程为（ ） A． 1 1 2 2 y x  B． 1y x  C． 3 3 2 2 y x  D． 2 2y x  5．若函数   2 lnf x ax x  在 1,3 上不单调，则实数 a的取值范围为（ ） A． 1 1, 6 2      B． 1 1, 6 2       C． 1 1, , 6 2            D． 1 1, , 6 2              6．已知数列   n na b， 均为等差数列，其前n项和分别为 n nS T， ，满足 (2 3) (3 1)n nn S n T   ，则 7 8 9 6 10 a a a b b     （ ） A．2 B．3 C．5 D．6 7．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐 干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则 烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 8．已知不等式 22 e ln lnx x   在  0,x  上恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． 1 , e     B． 2 1 , e    C． 1 , 2e    D． 2 , e    二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分. 9．等差数列  na 的前 n 项和为 1 2 14, 0, 0nS a a a   ，则（ ） A． 8 0a  B． 1n na a  C． 7 9S S D．当 0nS  时， n 的最小值为 16 10．下列说法中正确的是（ ） A．线性回归分析中可以用决定系数 2R 来刻画回归的效果，若 2R 的值越大，则模型的拟合效果越好 B．已知随机变量 X 服从二项分布  ,B n p ，若   20E X  ，   10D X  ，则 40n  C．已知 y关于 x的回归直线方程为  0.3 0.7y x  ，则样本点  2, 3 的残差为 1.9 D．已知随机事件A， B满足   3 5 P B  ，   2 5 P AB  ，则   2| 3 P A B  11．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何 一人，下列说法正确的是（ ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 12 B．3次传球后球在乙手上的概率是 1 4 C．n次传球后球在甲手上的概率是 1 11 3 2 n          D．2024次传球后球在甲手上的概率大于 1 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 从 5名男生和 4名女生中选出 4人去参加一项创新大赛，如果 4人中必须既有男生又有女生，有 12 种选法. 13．若函数  f x 的导函数为      , ln 1 2f x f x x f x    ，则  1f  . 2 14．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 2n nS a  ，则数列   1 2 n n n a a a          的前 100项和 100T  ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知 7 2 2x x       的展开式 (1)求展开式中所有项的系数和; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 16．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 2 2 1n nS a n   ． (1)求证：数列 2na  为等比数列； (2)已知  2 3 n n n a b   ，求数列 nb 的前 n项和． 17．某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡， “年龄在 20岁到 34岁之间的会员” 为 1 号会员，占比 20%， “年龄在 35 岁到 59 岁之间的会员” 为 2 号会员，占比 50%，“年龄在 60 岁到 80 岁之间的会员” 为 3 号会 员，占比 30% ，现对会员进行水果质量满意度调查. 根据调查结果得知，1 号会员对水果质量满意的概率为 1 2 2 ， 号会 员对水果质量满意的概率为 3 3 5 ， 号会员对水果质量满意的概率为 2 3 . (1)随机选取 1 名会员， 求其对水果质量满意的概率; (2)从会员中随机抽取 2 人，记抽取的 2 人中，对水果质量满意的人数为 X ，求 X 的 分布列和数学期望. 18．某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续 10日骑电动摩托车 未佩戴头盔的人数 y与天数 x的情况，对统计得到的样本数据   , 1,2, ,10i ix y i   作了初步处理，得到下面的散点图及一 些统计量的值. x y Y 10 1 i i i x y   10 2 1 i i x   10 1 i i i xY   5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中 lni iY y ， 10 1 1 10 ii Y Y    . (1)依据散点图推断，y bx a  与 ebx ay  哪一个更适合作为未佩戴头盔人数 y与天数 x的回归方程类型？（给出判断即可， 不必说明理由） (2)依据（1）的结果和上表中的数据求出 y关于 x的回归方程. (3)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据 0.10  的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式： 1 2 2 1 ˆ n i i i n i i x y nxy b x nx        ， ˆâ y bx  ，           2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中 n a b c d    .  0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．已知函数   lnf x x x x a   ，   2 lng x x x ax   ． (1)讨论  g x 的单调性； (2)若  f x 有两个零点，求实数 a的取值范围； (3)若    2f x x g x  对任意的 1x  恒成立，求实数 a的取值范围． 2024 年潘庄高级中学高二上学期 6 月月考答题卡 姓名：______________班级：______________ 准考证号 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12 题、 13 题、 14 题、 15 题、 16 题、 17 题、 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 缺考标记 考生禁止填涂 缺考标记！只能 由监考老师负 责用黑色字迹 的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 18 题、 19 题、 1．A【详解】          1 12 5 2 3 3 5 2 4 1 5 2 2 2 m nP x P x P x P x P x                . 故选：A. 2．D【详解】由 3 2 1 1 2 35 6S a a a a a     得， 2 1 34 5a a a  ， 所以 2 1 1 14 5a q a a q  ，即 2 4 5 0q q   ， 所以 ( 5)( 1) 0q q   ，所以 5q  或 1q   . 故选：D. 3．A【详解】若要产生 2x 这一项，则 当在 11 x      中取 1时，再在  61 x 中取 2个  x 、取 4个 1， 当在 11 x      中取 1 x 时，再在  61 x 中取 3个  x 、取 3个 1， 所以  611 1 xx       展开式中 2x 的系数为    2 32 6 2 3 6 36 61 C 1 1 1 C 1 1 15 20 5          . 故选：A. 4．A【详解】解：因为 3 2 3 2 1 3 ( 1) x x lnx xy x      ，所以 1 1| 2x y   ，故所求切线方程为 1 1 2 2 y x  ． 故选：A． 5．B【详解】由题意可知：  f x 的定义域为  0,  ，且   1 2 12 axf x a x x     ， 因为  f x 在  1,3 上不单调，等价于  f x 在  1,3 上有极值点， 等价于   0f x  在  1,3 内有根，即   2 1g x ax  在  1,3 内有根， 结合  g x 的形式特征可得：原题意等价于       1 3 2 1 6 1 0g g a a    ，解得 1 1 6 2 a  ， 所以实数 a的取值范围为 1 1, 6 2       .故选：B. 6．A【详解】因为数列   ,n na b 均为等差数列，可得 7 8 9 8 8 15 1 13 15 5 5 a a a a a S      ， 且 6 10 1 15b b b b   ，又由  1 15 15 15 2 b b T   ，可得 6 10 15 2 15 b b T  ．因此 15 7 8 9 15 6 10 15 15 1 3 3 45 22 2 2 3 15 Sa a a S b b TT          .故选：A． 7．B【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有 5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有 4 4 2 2 A 12 A  种不同的排列方式. 故选：B. 8．C 【分析】将不等式变形为 22 e lnx x xx    ，根据   etf t t 的单调性得 2 ln xx   ，再用常数分离法求出 的取值范围. 【详解】由 22 e ln lnx x   得 22 e ln ln lnx xx      ， 即 22 e lnx x xx    ， 令   etf t t ，  0,t   ，则    1 e 0tf t t   ， 所以   etf t t 在  0,  上单调递增， 而 ln22 e ln ln e x x x x xx       等价于  2 ln xf x f        ， ∴ 2 ln xx   ，即 2e x x  ， 令   2e x xg x  ，  0,x   ，则   2 1 2 e x xg x   ， 所以  g x 在 10, 2 x      时，   0g x  ，  g x 递增； 在 1 , 2 x       时，   0g x  ，  g x 递减， 所以  g x 最大值为 1 1 2 2e g       ，∴ 1 2e   ． 故选：C 【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成      f g x f h x 后再利用函 数 ( )f x 单调性得到 ( )g x 与 ( )h x 的大小关系，由此得到参数范围. 9．ABD 【分析】对于 A，由等差数列性质即可判断；对于 B，由公差的定义即可判断；对于 C，作差结合公差小于 0即 可判断；对于 D，只需注意到 1 7 8 9 7 15 1 160a a a a a a a a               ，由此即可判断. 【详解】对于 A，由题意 2 148 02 a aa   ，故 A正确； 对于 B， 8 1 11 07 7n n a a ad a a        ，其中d 为等差数列的公差，即 1n na a  ，故 B正确； 对于 C，    7 9 8 9 82 0S S a a a d d          ，即 7 9S S ，故 C错误； 对于 D，由题意 1 7 8 9 7 15 1 160a a a a a a a a               ， 从而当 *15, Nn n  ， 0nS  ，且  16 1 168 0S a a   ，故 D正确. 故选：ABD. 10．ABCD 【分析】根据决定系数的性质、二项分布的期望和方差的计算公式、线性回归方程的残差以及条件概率的计算公 式，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对于 A，线性回归分析中可以用决定系数 2R 用来刻画回归的效果，若 2R 的值越大，则模型的拟合效果 越好，故 A正确； 对于 B，随机变量服从二项分布 ( , )B n p ，若 ( ) 20, ( ) 10E X D X  ， 则 20 (1 ) 10 np np p     ，解得 1 2 40 p n      ，故 B正确； 对于 C，y关于 x的线性回归方程为 ˆ 0.3 0.7y x  ，将 2x  代入回归方程中得 ˆ 0.3 1.4 1.1y     ，即残差为 3 ( 1.1) 1.9     ， 故 C正确； 对于 D，因为 3 2( ) , ( ) 5 5 P B P AB  , 所以 2 ( ) 25( | ) 3( ) 3 5 P ABP A B P B    ，故 D正确； 故选：ABCD 11．AD 【分析】列举出经过 2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算，可以判断 A、B;记 nA 为“ n次传球后球在甲 手上”,  n nP P A ,利用相互独立事件概率和条件概率探求 nP与 1nP  的关系，再用等比数列求解即可，判断 C、D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共 4个结果， 它们等可能，2次传球后球在甲手上的事件有甲乙甲和甲丙甲，2个结果，所以概率是 2 1 4 2  ，故 A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲 丙乙甲，甲丙乙丙，共 8个结果， 它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为 3 8 ，故 B错误； 记事件 nA 为“ n次传球后球在甲手上”，则有 1 1 1n n n n nA A A A A    ，令  n nP P A ，则    1 1 10, 2n n n nP A A P A A  ∣ ∣ ， 于是            1 1 1 10 1 2n n n n n n n n nP A P A P A A P A P A A P P        ∣ ∣ ，即  1 1 1 2n n P P   ， 所以 1 1 1 1 3 2 3n n P P         ，而第 1次传球后，球不可能在甲手中， 所以 1 0P  ，从而 1 1 1 3 3 P    ，数列 1 3n P     是以 1 3  为首项， 1 2  为公比的等比数列， 所以 11 1 1 3 3 2 n nP          ，即 11 11 3 2 n nP            ，故C错误； 由C知 11 11 3 2 n nP            ，令 2024n  ，代入 11 11 3 2 n nP            得 2023 2023 2024 1 1 1 1 11 1 3 2 3 2 3 P                             ，故 D正确. 故选：AD. 120 【分析】从反面考虑，考虑 4人中全是男生和全是女生的情况，从而得到答案. 【详解】从 5名男生和 4名女生中选出 4人去参加一项创新大赛，共有 49C 126 种情况， 其中 4人中全是男生的情况有 45C 5 种，全是女生的情况有 44C 1 种， 故如果 4人中必须既有男生又有女生，有126 5 1 120   种情况. 故答案为：120 13． 3 2 【分析】求函数  f x 的导数，令 1x  ，求出  1f  ，得到  f x 的解析式，再令 1x  ，即可得到  1f . 【详解】由题意得    1 1f x f x   ， 令    1, 1 1 1x f f   ，得   11 2 f   ， 则   1ln 2 2 f x x x   ，所以   1 31 2 2 2 f     . 故答案为： 3 2 . 14． 100 1 1 2 2 1   【分析】由 nS 与 na 的关系求得 2nna  ，用裂项求和法求得 100T . 【详解】因为 2 2n nS a  ， 所以 1 12 2, 2n nS a n    ， 故 2n  时，两式相减得， 12 2n n na a a   即 12 , 2n na a n  ， 因为 1 12 2S a  ，即 1 2a  ， 所以数列 na 是以 2为首项，以 2为公比的等比数列， 所以 2nna  ，       2 1 2 1 2 2 2 n n n n n n a a a        1 2 2 2 2 2 2 n n n     1 1 12 2 2 2 2n n       100 1 2 2 3 100 101 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 T               101 100 1 1 1 12 . 4 2 2 2 1 2         故答案为: 100 1 1 2 1 2   . 15．(1)2187 (2) 13 2 4 280T x ， 4 5 560 .T x (3) 1 14 【分析】（1）赋值法求出系数和； （2）二项式系数最大的项求解即可； （3）先求出有理项的个数，再应用古典概型与插空法即可得解. 【详解】（1）令 1x  可得展开式中所有项的系数和 73 2187 . （2）二项式系数最大的项为第 4项或第 5项 二项式系数最大的项为   3 1343 2 2 4 7 2C 280T x x x         4 34 2 4 5 7 2C 560 .T x x x       （3）展开式共有 8项， 展开式的通项公式为   28 572 2 1 7 7 2C 2 C , 0,1,2, ,7 k kkk k k kT x x kx              当 28 5 2 k 为整数，即 0, 2, 4,6k  时为有理项，共 4项， 由插空法得有理项不相邻的概率为 4 4 4 5 8 8 A A 1 A 14  . 16．(1)证明见解析 (2)  1 2 1nnT n    【分析】（1）由 na 与 nS 的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）当 1n  时， 1 12 1a a  ，解得 1 1a   ， 当 2n  时，由 2 2 1n nS a n   ，可得 1 12 2 3n nS a n    , 两式相减得 12 2 2n n na a a    ，所以  12 2 2n na a    ，即 1 2 2 2 n n a a     ， 又因为 1 2 3a    ，所以 2na  是首项为 3 ，公比为 2的等比数列， 所以 12 3 2nna     ，所以数列 na 的通项公式为 1 23 2nna     ； （2）由（1）知，   12 2 3 n n n n a b n      ， 所以数列  nb 的前 n项和为  0 1 2 11 2 2 2 1 2 2n nnT n n          ， 可得 1 2 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n nnT n n           ， 两式相减得 2 1 1 21 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n nT n n n                   ， 所以  1 2 1nnT n    ． 17．(1) 3 5 (2)分布列见解析；   6 5 E X  【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可求解； （2）由题意知 3(2, ) 5 X B ，利用二项分布求出对应的概率，列出 X 的分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）设事件A：随机选取 1名会员，其对水果质量满意. 则 1 3 2 3( ) 0.2 0.5 0.3 2 5 3 5 P A        ； （2） X 的可能取值为0,1, 2，则 3(2, ) 5 X B ， 0 0 2 2 3 2 4( 0) C ( ) ( ) 5 5 25 P X    ， 1 1 1 2 3 2 12( 1) C ( ) ( ) 5 5 25 P X    ， 2 2 0 2 3 2 9( 2) C ( ) ( ) 5 5 25 P X    ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 4 25 12 25 9 25 所以 3 6( ) 2 5 5 E X np    . 18．(1) ebx ay  更适合 (2) 0.3 3.55e  xy (3)能 【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为未佩戴头盔人数 y与天数 x的回归方程类型. （2）将 ebx ay  两边取对数，转化为线性回归方程，利用表中的数据和线性回归方程公式求解即可. （3）应用卡方公式求卡方值，由独立性检验的基本思想下结论即可. 【详解】（1）依据散点图可以判断， ebx ay  更适合作为未佩戴头盔人数 y与天数 x的回归方程类型. （2）由 lni iY y ，得  ln ebx aY bx a   ， 依题意得 10 1 10 2 2 2 1 10 79.75 10 5.5 1.9 24.75ˆ 0.3 385 10 5.5 82.510 i i i i i xY xY b x x                 ，  1.9ˆˆ 0.3 5.5 3.55a Y bx       ， 所以 0.3 3.55Y x   ，即 0.3 3.55e  xy . （3）零假设 0H ：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到：  22 0.10 40 8 6 14 12 40 120 120 3.636 2.706 20 20 22 18 20 20 22 18 x                 ， 根据小概率值 0.10  的独立性检验，我们推断 0H 不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联， 此推断犯错误的概率不超过 0.10. 19．(1)答案见解析 (2)  1,0 (3)  ,1 【分析】（1）求导，分 0a  和 0a  讨论判断  g x 正负，得解； （2）根据题意，问题转化为 lna x x x  有两解，令   lnh x x x x  ，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为      1 ln 1 1x x x x a x     ，对  1,x   恒成立．当 1x  时，上式显然成立；当 1x  时， 上式转化为 lna x x  ，令   lnx x x   利用导数求出最值得解. 【详解】（1）   21 2 12 x axg x x a x x       ， 0x  ， 当 0a  时，   0g x  ，所以  g x 在  0,  上单调递增． 当 0a  时，令   0g x  ，则 22 1 0x ax   ． 若 2 8 0a    ，即0 2 2a  时，   0g x  恒成立，所以  g x 在  0,  上单调递增． 若 2 8 0a    ，即 2 2a  时，方程 22 1 0x ax   的根为 2 8 4 a ax   ， 当   0g x  时， 2 80 4 a ax    或 2 8 4 a ax   ，  g x 在 2 80, 4 a a        和 2 8 , 4 a a        上单调递增； 当   0g x  时， 2 28 8 4 4 a a a ax     ，  g x 在 2 28 8, 4 4 a a a a          上单调递减． 综上所述，当 2 2a  时，  g x 在  0,  上单调递增；当 2 2a  时，  g x 在 2 80, 4 a a        和 2 8 , 4 a a        上单调 递增， 在 2 28 8, 4 4 a a a a          上单调递减． （2）令   ln 0f x x x x a    ，则 lna x x x  ． 令   lnh x x x x  ，则   lnh x x  ． 所以当 0 1x  时，   0h x  ，  h x 在  0,1 上单调递减． 当 1x  时，   0h x  ，  h x 在  1, 上单调递增． 又当 0 1x  时，    ln 1 0h x x x   ，且  1 1h   ；当 1x  时，  e 0h  ， 所以当0 ex  时，  h x 先减后增，且在 1x  处有最小值 1 ， 此时直线 y a 与   lnh x x x x  有两个交点， 所以实数 a的取值范围为  1,0 ． （3）因为     2 0g x f x x   ，即 2 ln ln 0x x x x x a ax      ， 即      1 ln 1 1x x x x a x     ，对  1,x   恒成立． 当 1x  时，上式显然成立； 当 1x  时，上式转化为 lna x x  ， 令   lnx x x   ，  1,x  ，   1 11 0xx x x       ，所以函数  x 在  1,x  上单调递增，    1 1x    ， 1a  ， 综上所述，实数 a的取值范围为  ,1 . 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为 lna x x  在  1,x  上恒成立，构造函数并利用导数研究单调 性求最值，进而确定参数范围.