第1章 图形的相似（单元测试）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

第1章 图形的相似（单元测试）（原卷板） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 3．（本题3分）如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BD=12，AD=4，则该平行四边形的面积为（  ） A．24 B．36 C．48 D．72 4．（本题3分）正方形中，，点为边上一动点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，过作交于点．则的最小值为（    ）    A． B．4 C． D．5 5．（本题3分）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 6．（本题3分）如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（    ） A．-4 B．12- C．12+ D．+4 8．（本题3分）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(    )对 A．4 B．3 C．2 D．1 9．（本题3分）如图，在中，，于，且，那么（    ）    A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以和的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使为直角三角形（    ）．    A．9 B． C． D．1 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，D、E分别是AB和AC的中点．请完成下列探究： （1）如图1，若点M是边BC中点，则DM＝ ； （2）如图2，点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN和ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ． 12．（本题3分）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么 ． 13．（本题3分）如图，在中，，，，四边形为内接正方形，那么 ． AI 14．（本题3分）如图，在中，若，的面积为8，四边形DEFG是的内接正方形，则正方形DEFC的边长是 ． 15．（本题3分）如图，已知点A（0，0），B（，0），C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第n个等边三角形的面积等于 .    16．（本题3分）在矩形ABCD中，CD=3，BD为对角线，点E为线段BC上一点，连接DE，若∠BDE=45°，BE=5，则线段CE 的长度为 ． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，正△ABC的边长为6，点D是BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得AE，连结DE交AB于点F． （1）填空：若∠BAD=20°，则∠BDF= °； （2）若当点D在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设BD=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式； （3）若，请求出AE的长． 18．（本题6分）如图，在中，对角线，，，O为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．求证：    (1)； (2)当取何值时，四边形为矩形． 19．（本题8分）如图（1），格点△ABC（顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形），请按要求在图（2）、（3）中各画一个格点三角形，使它们都和△ABC相似。 要求：①其中有一个相似比为2；②其中有一个面积为2．      图（1）           图（2）           图（3） 20．（本题8分）如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F．    (1)求证：； (2)连接，若，，，求的长． 21．（本题10分）如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 22．（本题10分）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 23．（本题12分）如图，在中，，且，，，求的长．    24．（本题12分）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC边上一个动点（不与点B重合）．设PA=x，点D到PA的距离为y，求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 图形的相似（单元测试）（解析板） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标，即， 故选：B． 2．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 3．（本题3分）如图，已知▱ABCD中，点M是BC的中点，且AM=6，BD=12，AD=4，则该平行四边形的面积为（  ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】C 【详解】分析：由平行四边形的性质，可得△BOM∽△AOD，可得出OB⊥OM，进而可求解其面积． 解：AM、BD相交于点O， 在平行四边形ABCD中，可得△BOM∽△AOD， ∵点M是BC的中点，即=，、 ∴==， ∵AM=6，BD=12， ∴OM=2，OB=4， 在△BOM中，22+42=， ∴OB⊥OM ∴S△ABD=BD•OA =×12×4=24， ∴SABCD=2S△ABD=48． 故选C． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，能够运用相似三角形求解一些简单的计算问题． 4．（本题3分）正方形中，，点为边上一动点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到，过作交于点．则的最小值为（    ）    A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】通过证明，可得，由二次函数的性质可求的最大值，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，即， 当时，有最大值， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，证明三角形相似是解题的关键． 5．（本题3分）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，    点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 6．（本题3分）如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例逐个选项判断即可． 【详解】∵平行四边形 ∴，，，， ∵ ∴，故选项A正确，不符合题意； ，故选项B正确；，不符合题意 ∵ ∴，故选项C错误，符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，利用平行四边形得到平行进而得到比例是解题的关键． 7．（本题3分）大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP >PB），如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是（    ） A．-4 B．12- C．12+ D．+4 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义得到AP=AB，然后把AP=8代入后可求出AB的长． 【详解】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP=AB， ∴AB=（cm）， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割以及分母有理化．把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB．并且线段AB的黄金分割点有两个． 8．（本题3分）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，CF的延长线交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(    )对 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质、以及相似三角形的判定方法即可判断． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， 由AF∥CD，可以推出△AEF∽△DEC， 由AE∥BC，可以推出△AEF∽△BCF， 所以△DEC∽△BCF 所以全等的三角形一共3对. 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，属于基础题． 9．（本题3分）如图，在中，，于，且，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 故选∶B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形的判定与性质． 10．（本题3分）如图，是边长为6的等边三角形，D，E两点分别以和的速度从点A，C两点出发，沿三角形的边顺时针运动，设运动时间为t，则下列哪个t值不能使为直角三角形（    ）．    A．9 B． C． D．1 【答案】D 【分析】将四个选项分别代入，结合等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质即可判断． 【详解】解：A．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示，   ， ∴，点E与点C重合， ∴点D为中点， ∴， ∴为直角三角形，故该选项不符合题意； B．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示，    ∴，点D在上， ∴点E为中点， ∴， ∴为直角三角形，故该选项不符合题意； C．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示，过点A作，    ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即为直角三角形，故该选项不符合题意； D．当时，点D运动了，点E动了， ∴D，E两点的位置如图所示，    不能证明为直角三角形，故该选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质．将四个选项分别代入，画出图形，并利用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20，D、E分别是AB和AC的中点．请完成下列探究： （1）如图1，若点M是边BC中点，则DM＝ ； （2）如图2，点M是边BC上一点，BM＝3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN和ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据勾股定理求出AC，再由三角形的中位线定理即可得到结论； （2）分两种情形讨论即可①∠MN′O′＝90°，根据计算即可；②∠MON＝90°，利用△DOE∽△EFM，得计算即可． 【详解】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝AC，BC＝20， ∴2AC2＝BC2＝202， ∴AC＝10， ∵D，M分别是AB，BC的中点， ∴DM＝AC＝； 故答案为： （2）如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′＝90°， ∵DE是△ABC中位线， ∴DE//BC，DE＝BC＝10， ∵DN′//EF， ∴四边形DEFN′是平行四边形， ∵∠EFN′＝90°， ∴四边形DEFN′是矩形， ∴EF＝DN′，DE＝FN′＝10， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴BN′＝DN′＝EF＝FC＝5， ∴， ∴， ∴DO′＝； 当∠MON＝90°时， ∵△DOE∽△EFM， ∴， ∵MF＝BC﹣BM﹣FC＝20﹣3﹣5＝12， ∴EM＝＝13， ∴DO＝， 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 12．（本题3分）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求出AE：AC=AD：AB=3：8，求出AE：CE=3：5，根据平行线的性质得出∠A=∠EFC，∠AED=∠C，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵DE∥BC，AD：AB=3：8， ∴AE：AC=AD：AB=3：8， ∴AE：CE=3：5， ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠A=∠EFC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△EFC， ∴=（）2=（）2=， 故答案为9：25． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 13．（本题3分）如图，在中，，，，四边形为内接正方形，那么 ． AI 【答案】 【分析】由相似三角形的性质即可求出正方形的边长，同理可得出及的长，进而得出结论． 【详解】如图，作，交于点，交于点， AI 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设正方形边长为， 则，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理：，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 14．（本题3分）如图，在中，若，的面积为8，四边形DEFG是的内接正方形，则正方形DEFC的边长是 ． 【答案】2 【分析】如图，作辅助线，证明设为，得到；证明∽，列出比例式，求出x的值即可． 【详解】如图，过点A作，交DG于点M，交BC于点N， 四边形DEFG是正方形， 设为， ，的面积为8， ， ，； ， ∽， ， ， 解得：． 故答案为2． 【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答 15．（本题3分）如图，已知点A（0，0），B（，0），C（0，1），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第n个等边三角形的面积等于 .    【答案】 【分析】如图（见解析），过作于点D，则，从而可得两个三角形相似，再利用相似三角形的性质求出的边长，同理得出其他等边三角形的边长，依此类推得出第n个等边三角形的边长，最后利用面积公式即可得. 【详解】如图，过作于点D，则 由题意得： 设的边长为 由等边三角形的性质可得： 代入得：，解得： 同理得其他等边三角形的边长依次为： 依此类推，第n个等边三角形的边长为 则第n个等边三角形的面积为： 故答案为：.    【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定定理与性质，根据前几个等边三角形的边长归纳类推出第n个等边三角形的边长是解题关键. 16．（本题3分）在矩形ABCD中，CD=3，BD为对角线，点E为线段BC上一点，连接DE，若∠BDE=45°，BE=5，则线段CE 的长度为 ． 【答案】1 【分析】如图，过E作 交BD于M，过M作 交BC于H，结合矩形ABCD，证明 再结合全等三角形的性质与相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过E作 交BD于M，过M作 交BC于H， 结合矩形ABCD， 而 设 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，舍去， 故答案为：1 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形与相似三角形是解本题的关键． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）如图，正△ABC的边长为6，点D是BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得AE，连结DE交AB于点F． （1）填空：若∠BAD=20°，则∠BDF= °； （2）若当点D在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设BD=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式； （3）若，请求出AE的长． 【答案】（1）40；（2）；（3）2． 【详解】解：（1）∵AE=AD，∠DAE=60°， ∴△AED是等边三角形， ∴∠AED=∠ADE=60°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BDF=∠EAF， ∵∠BAD=20°， ∴∠EAF=40°， ∴∠BDF=40°， 故答案为：40； （2）∵∠EDA=60°， ∴∠BDF+∠ADC=120°， ∵∠ACB=60°， ∴∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDF=∠DAC， ∴△BDF∽△CAD， ∴， ∵BF=y，BD=x，AB=BC=AC=6， ∴， ∴； （3）过点D作DG⊥AC于G，如图， ∵BC=6，， ∴BD=2，CD=4， ∵∠ACB=60°， ∴CG=2，DG=2， ∴AG=4， ∴AD=2， ∵△AED是等边三角形， ∴AE=AD=2． 18．（本题6分）如图，在中，对角线，，，O为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．求证：    (1)； (2)当取何值时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)，四边形为矩形 【分析】（1）根据得到，继而得到，证明； （2）根据，，，结合四边形为矩形， 得到，继而得到，列比例式计算即可． 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的性质，熟练掌握三角形全等的判定和相似的判定是解题的关键． 【详解】（1）∵，O为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴． （2）∵，，，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故当时，四边形为矩形． 19．（本题8分）如图（1），格点△ABC（顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形），请按要求在图（2）、（3）中各画一个格点三角形，使它们都和△ABC相似。 要求：①其中有一个相似比为2；②其中有一个面积为2．      图（1）           图（2）           图（3） 【答案】①见作图；②见作图 【分析】①把△ABC的边长扩大2倍，画图；②把△ABC的边长扩大倍，画图． 【详解】①相似比为2， ②面积为2， 【点睛】本题考查了画格点三角形，熟练根据相似比算出边长是解决此类问题的关键． 20．（本题8分）如图，在矩形中，点E在边上，连结，过点B作于点F．    (1)求证：； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，利用余角的性质得到，结合即可判定； （2）过点F作，垂足为M，与BC交于N，证明，得到，再根据，得到，求出，进一步得到，，可得，，从而利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图，过点F作，垂足为M，与交于N，    ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质和勾股定理求线段的长． 21．（本题10分）如图，路灯（点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】从点走到点，身影的长度是变短了 【分析】根据题意可得，根据平行得，列出比例式，代入数据计算即可 【详解】如图， 即 解得 即 解得 从点走到点，身影的长度是变短了 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，找到相似三角形是解题的关键． 22．（本题10分）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均为格点，在该网格中画出（的顶点均在格点上），使． 【答案】见解析 【分析】把△A1B1C1的边长缩小一半，画出三角形即可． 【详解】解：如图，△A2B2C2即为所求． ∵A1C1＝4，A1B1＝2，A2C2＝2，A2B2＝， ∴＝＝2， ∵∠B1A1C1＝∠B2A2C2＝135°， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，准确作图． 23．（本题12分）如图，在中，，且，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：， ． ∵，，， ∴． 24．（本题12分）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC边上一个动点（不与点B重合）．设PA=x，点D到PA的距离为y，求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围． 【答案】6＜x≤10 【分析】首先利用相似三角形的判定与性质得出y与x之间的关系，进而求出x的取值范围． 【详解】∵在矩形ABCD中，  ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠APB， ∵∠B=∠AED=90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴ = ， ∴ = ， 故y= ， ∵AB=6，AD=8， ∴矩形对角线AC= =10， ∴x的取值范围是：6＜x≤10． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质，矩形的性质. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$