山东省济南市东南片区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学试题 第 1 页（共 8 页） 绝密★启用前 2023—2024 学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 说明:本试题全部作答在答题卡上，写在本试卷上无效 一、选择题（本题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．） 1．实数 2 的相反数是（ ） A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 1 2 2．下列图案中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2024 年 3 月 25 日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其天线由精细的镀金钼丝编织而成， 这些钼丝的直径仅为 0.0000015 米，其中 0.0000015 用科学记数法表示为（ ） A．1.5×105 B．1.5×106 C．1.5×10 ﹣6 D．0.15×10 ﹣5 4．下列运算正确的是（ ） A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．（ab）3＝a3b3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 5．下列事件属于必然事件的是（ ） A．负数大于正数 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．抛掷硬币时，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是 180° 6．满足下列条件时，△ 𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是（ ） A．∠𝐴:∠𝐵: ∠𝐶 = 3:4:5 B．𝐴𝐵：𝐵𝐶：𝐴𝐶 = 3：4：5 C．𝐴𝐵 = 1，𝐵𝐶 = 4，𝐴𝐶 = 5 D．∠𝐴 = 30°，∠𝐵 = 75° 7． 已知 x2+kx+25=(x-5)2，则 k 的值为( ) A．-10 B．5 C．10 D．±10 七年级数学试题 第 2 页（共 8 页） A B C D E 第 10 题图 8． 绿色出行，健康出行，你我同行．图①是共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图， 其中𝐴𝐵，𝐶𝐷都与地面平行，∠1 = 52°，∠𝐵𝐴𝐶 = 48°，已知𝐵𝐶∥ 𝐴𝑀，则∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ） A．50° B．60° C．68° D．80° 9．如图 1，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 A 出发，沿 AB﹣BC﹣CD 运动，至点 D 处停止．点 P 运动的路程为 x，△ADP 的面积为 y，且 y 与 x 之间满足的关系如图 2 所示，则当 y＝8 时，对应的 x 的值是（ ） A．4 B．4 或 12 C．4 或 16 D．5 或 12 10．如图，已知Rt △ 𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶 = 90°，𝐴𝐵 = 5，𝐵𝐶 =7，点𝐷，𝐸分别是𝐴𝐵，𝐵𝐶边上的动点，满 足𝐴𝐷 = 𝐵𝐸．连接𝐴𝐸，𝐶𝐷，则𝐴𝐸 + 𝐶𝐷的最小值为（ ）． A．12 B．13 C．14 D．15 二、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，共 24分．） 11．9 的平方根是 ． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上， 那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 13．已知等腰三角形一内角是 40°，则该三角形的顶角是 °． 第 12 题图 七年级数学试题 第 3 页（共 8 页） 14．如图，已知 AB＝AC＝5，BC＝3，分别以 A，B 两点为圆心，大于 1 2 AB的长为半径画圆弧，两 弧相交于点 M，N，作直线 MN 与 AC 相交于点 D，则△BDC 的周长为 ． 15． 由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为 4，两直角边 的和为 6，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，△ABC 中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐸是𝐴𝐷上一点，连接𝐵𝐸并延长交𝐴𝐶于𝐹．若𝐵𝐸 = 𝐴𝐶， 𝐴𝐹 = 2， 𝐶𝐹 = 8，那么𝐵𝐹的长度为___________． 三、解答题（本题共 9小题，共 86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 计算：（每小题 4 分，共 16 分） （1）a•a7+（﹣3a4）2﹣ a10÷a2； （2）(4𝑎3𝑏 − 6𝑎2𝑏2 + 12𝑎𝑏3 + 2𝑎2𝑏2) ÷ 2𝑎𝑏； （3）（x+2）（x﹣5）﹣2x（x+4）； （4）   2 0 1 2 3 3             ． 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 七年级数学试题 第 4 页（共 8 页） 18．先化简，再求值：（本小题 6 分） [(𝑥 + 3𝑦)2 + (2𝑥 − 3𝑦)(2𝑥 + 3𝑦) − 𝑥𝑦] ÷ 𝑥．其中𝑥 = −1，𝑦 = 2． 19．（本小题 6 分）如图，点 E 在线段 AC 上，AB＝CE，AC＝CD，AB∥CD． 求证：∠ACB＝∠CDE． 20．（本小题 8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形 的顶点叫格点．已知△ABC 的顶点均在格点上． （1）画出格点三角形 ABC 关于直线 DE 对称的△ 𝐴′𝐵′𝐶′； （2）△ 𝐴′𝐵′𝐶′的面积是 ; （3）在直线 DE 上找出点 P，使 |PA-PC| 最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹） 七年级数学试题 第 5 页（共 8 页） 21．（本小题 8 分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共 20 个，小颖做摸球 试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上 述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为 3 5 ，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22．（本小题 8 分）如图所示，在△ABC 中： （1）下列操作中，作∠ABC 的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线 上）． ①分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径作圆弧，在∠ABC 内，两弧交于点 P； ②以点 B 为圆心，适当长为半径作圆弧，交 AB 于点 M，交 BC 于点 N； ③画射线 BP，交 AC 于点 D． （2）能说明∠ABD＝∠CBD 的依据是 （填序号）． ① SSS． ②ASA． ③AAS． ④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，若 BC＝12，△BCD 的面积是 24，△ADE 的周长为 12，求 AD 的长． 七年级数学试题 第 6 页（共 8 页） 23．（本小题 10 分）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素 材 1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或 缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和， 其中调节扣的长度忽略不计） 素 材 2 对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是 x（cm），双层部分的长度是 y（cm），得 到如下数据： 单层部分的长度 x （cm） 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度 y （cm） 75 74 73 72 … 0 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为________； （2）请写出双层部分的长度 y（cm）与单层部分长度 x（cm）之间的关系式 ________； （3）根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为 110 cm 时，背起来最舒适，请求出此时单层部分 的长度． 七年级数学试题 第 7 页（共 8 页） 24．（本小题 12 分）如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D 是 AC 上的一点， CD＝ 3 2 ．点 P 从 B 点出发沿射线 BC 方向以每秒 1 个单位的速度向右运动．设点 P 的运动时间为 t，连接 AP． （1）当 t＝3 秒时，求 AP 的长度； （2）当点 P 在线段 AB 的垂直平分线上时，求 t 的值； （3）过点 D 作 DE⊥AP 于点 E．在点 P 的运动过程中，当 t 为何值时，能使 DE＝CD ?请直接写 出 t 的值． 七年级数学试题 第 8 页（共 8 页） 25．（本小题 12 分） 【发现问题】如图 1，在△ABC 和△AEF 中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接 BE， CF，延长 BE 交 CF 于点 D，则 BE 与 CF 的数量关系是 ， ∠BDC= °． 【类比探究】如图 2，在△ABC 和△AEF 中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接 BE， CF，延长 BE，FC 相交于点 D，请猜想 BE 与 CF 的数量关系及∠BDC 的度数，并说明理由． 【解决问题】如图 3，四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，已知 AB＝ 5 ，BC＝1， 求 BD 的长． 绝密★启用前 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 说明:本试题全部作答在答题卡上，写在本试卷上无效 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 2．下列图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为0.0000015 米，其中0.0000015用科学记数法表示为（　　） A．1.5×105 B．1.5×106 C．1.5×10﹣6 D．0.15×10﹣5 4．下列运算正确的是（　　） A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．（ab）3＝a3b3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2 5．下列事件属于必然事件的是（　　） A．负数大于正数 B．经过红绿灯路口，遇到红灯 C．抛掷硬币时，正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 6．满足下列条件时，是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 7． 已知x2+kx+25=(x-5)2，则k的值为( ) A．-10 B．5 C．10 D．±10 8． 绿色出行，健康出行，你我同行．图是共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当y＝8时，对应的x的值是（　　） A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12 10．如图，已知，，7，点，分别是边上的动点，满足．连接，则的最小值为（ ）．A B C D E 第10题图 A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．9的平方根是　 　． 12．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上， 那么它最终停留在阴影区域的概率是 　 　．第12题图 13．已知等腰三角形一内角是40°，则该三角形的顶角是　 　°． 14．如图，已知AB＝AC＝5，BC＝3，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，作直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为 　 　． 第14题图 第15题图 15． 由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若每个直角三角形的面积为4，两直角边的和为6，则图中阴影部分的面积为 　 　． 16．如图，△ABC中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为___________．第16题图 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 计算：（每小题4分，共16分） （1）a•a7+（﹣3a4）2﹣ a10÷a2； （2）； （3）（x+2）（x﹣5）﹣2x（x+4）； （4）． 18．先化简，再求值：（本小题6分） ．其中，． 19．（本小题6分）如图，点E在线段AC上，AB＝CE，AC＝CD，AB∥CD． 求证：∠ACB＝∠CDE． 20．（本小题8分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上． （1）画出格点三角形ABC关于直线DE对称的； （2）的面积是　 　; （3）在直线DE上找出点P，使 |PA-PC| 最大，并求出最大值为　 　．（保留作图痕迹） 21．（本小题8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20 个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22．（本小题8分）如图所示，在△ABC中： （1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　 　（将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点N； ③画射线BP，交AC于点D． （2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是　 　（填序号）． ① SSS． ②ASA． ③AAS． ④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）如图，过点D作DE⊥AB于点E，若BC＝12，△BCD的面积是24，△ADE的周长为12，求AD的长． 23．（本小题10分）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度 素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计） 素材2 对该背包的背带长度进行测量，该单层的部分长度是x（cm），双层部分的长度是y（cm），得到如下数据： 单层部分的长度x（cm） 0 2 4 6 8 … 150 双层部分的长度y（cm） 75 74 73 72 　 　 … 0 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据上表中数据的规律，表格中空白处的数据为________； （2）请写出双层部分的长度y（cm）与单层部分长度x（cm）之间的关系式　 　________； （3）根据成成同学的身高和习惯，背带的总长度为110 cm时，背起来最舒适，请求出此时单层部分的长度． 24．（本小题12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D是AC上的一点，CD＝．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒1个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t，连接AP． （1）当t＝3 秒时，求AP的长度； （2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD ?请直接写出t的值． 25．（本小题12分） 【发现问题】如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 　 　， ∠BDC= 　 °． 【类比探究】如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【解决问题】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，已知AB＝，BC＝1，求BD的长． 七年级数学试题 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023——2024学年第二学期期末质量检测 七年级数学试题 答案 1、 选择题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 2、 填空题 11． 12． 13． 14．8 15．4 16．12 3、 解答题 17．（每小题4分，共16分） （1）a•a7+（﹣3a4）2﹣a10÷a2 ＝a8+9a8-a8…………………………………….3分 ＝9a8；…………………………………….4分 (2) ……………………………………1分 ……………………………………4分 (3) …………………………………….3分 ．…………………………………….4分 （4） ＝2+1﹣9…………………………………….3分 ＝﹣6；…………………………………….4分 18．（本小题6分） 解：， ＝，…………………………………….3分 ＝，…………………………………….4分 ，…………………………………….5分 当，时，原式．………………….6分 19．（本小题6分） 证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DCE，…………………………………….1分 在△ABC和△CED中， ， ∴△ABC≌△CED（SAS），…………………………………….5分 ∴∠ACB＝∠CDE．…………………………………….6分 20．（本小题8分） 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；…………………………………….3分 (2) 5…………………………………….5分 （3）如图，点P即为所求,．…………………………………….8分 21. （本小题8分） 解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.50；………….2分 （2）20×0.5＝10（个），20﹣10＝10（个）；…………………………………….4分 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个；…………………………5分 （3）∵摸到白球概率为 ∴摸到黑球概率为…………………………………….6分 ，…………………………………….7分 ； 答：需要往盒子里再放入5个白球．…………………………………….8分 22. （本小题8分） 解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③， 故答案为：②①③；…………………………………….2分 （2）在△MBP和△NBP中， ， ∴△MBP≌△NBP（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， 故答案为：①；…………………………………….3分 （3）过点D作DF⊥BC于F， ∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF，…………………………………….4分 ∵S△BDC＝24，即×BC×DF=24 ∴DF＝4， DE＝4，…………………………………….5分 ∵△ADE的周长为12 ∴AE+DE+AD=12， ∴AE+AD=8…………………………………….6分 设AD=x，则AE=8-x 在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2 ∴x2＝（8﹣x）2+42…………………………………….7分 ∴x=5 ∴AD＝5．…………………………………….8分 23. （本小题10分） （1）71；…………………………………….2分 （2）y＝﹣x+75；…………………………………….6分 （3）根据题意得：，……………………………….8分 解得x＝70．……………………………….9分 答：背带的长度为110cm时，单层部分的长度为70cm．…………………………10分 24. （本小题12分） 解：（1）根据题意，得BP＝t，PC＝8﹣t＝8﹣3＝5，AC＝4，…………………2分 在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝．…………………4分 （2）BP＝t，PC＝8﹣t，AC＝4， 当点P在线段AB的垂直平分线上时，即PA＝PB=t, …………………………5分 在Rt△APC中，根据勾股定理，得， 则t2＝（8﹣t）2+42，…………………………7分 解得t＝5．…………………………8分 （3）在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．………………12分 25. （本小题12分） 解：（1）BE＝CF（或填写“相等”），∠BDC＝30°；…………………………2分 （2）BE＝CF，∠BDC＝60°， 理由如下：如图2， ∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF，…………………………3分 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS），…………………………5分 ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，…………………………6分 ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∵∠BCF=∠ACF+∠ACB ∠DBC=∠ABE-∠ABC ∴∠BDC＝∠BCF-∠DBC=（∠ACF+∠ACB）-（∠ABE-∠ABC）=∠ACB+∠ABC…………………………7分 ∴∠BDC＝∠ABC +∠ACB ＝30°+30°＝60°；…………………………8分 （3）如图3，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC． ∵∠ACD＝∠ADC＝45°， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD＝CE． ∵AE＝AB＝， ∴BE＝，∠ABE＝∠AEB＝45°， 又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC+∠ABE＝45°+45°＝90°， ∴EC＝， ∴BD＝CE＝．…………………………12分 答案第4页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$