第4章 指数与对数 单元同步练习卷-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第4章指数与对数同步练习卷-高一数学上学期苏教版（2019）必修第一册 一、单选题 1．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．求值：（    ） A．1 B． C．2 D． 3．设，，则（　　） A． B． C． D． 4．若“，使得”为假命题，则m的最大值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 6．已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B．的值为4或8 C． D．的值为 7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，设，则N所在的区间为（    ）（） A． B． C． D． 8．“喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：分贝），即.若某处“喊泉”的声强级（单位：分贝）与喷出的泉水高度（单位：分米）满足关系式，两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若“喊泉”喷出泉水的高度比“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则“喊泉”的声强是“喊泉”声强的（    ） A．5倍 B．10倍 C．20倍 D．100倍 二、多选题 9．若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（    ） A． B． C． D． 11．以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 三、填空题 12．若，则 ． 13．若对数有意义，则的取值范围是 ． 14．已知（，，），且，则 ． 四、解答题 15．（1）计算：； （2）已知，求的值． 16．已知方程的两根为，（）. (1)求的值； (2)求的值. 17．已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 18．（1）已知，求的值； （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据分数指数幂的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，当，即时，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：D 2．C 【分析】根据对数运算公式，即可求解. 【详解】． 故选：C 3．A 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【详解】，，则 ， 即. 故选：. 4．B 【分析】根据条件，先将问题转化为“，”，然后通过对数运算性质化简并计算出的值，由此可求的最大值. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，”为真命题； 因为， 设，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以， 即，， 所以，所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是：化简时要注意到. 5．D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 6．B 【分析】由，且可得或，后验证各选项即可得答案. 【详解】因，则，又， 则或. 则或，结合，得或. A选项，当时，；当时，，故A错误； B选项，当时，；当时，，故B正确； C选项，当时，；当时，，故C错误； D选项，当时，；当时，，故D错误. 故选：B 7．C 【分析】因需要判断范围的是幂的乘积形式，故可考虑两边取对数化简，先求出对数值，再转化成指数式即得. 【详解】由两边取常用对数，， 则. 故选：C. 8．D 【分析】根据对数的运算性质可求. 【详解】设的声强分别为“喊泉”喷出泉水的高度分别为， 则，即， 从而，即，所以. 故“喊泉”的声强是“喊泉”声强的100倍. 故选：D 9．AB 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 10．BCD 【分析】先由等式，得出；对于选项A和B，分析的情形即可；对于选项C，分析的情形即可；对于选项D，分析的情形即可. 【详解】因为，所以． 对于选项A和B，当时，，只能，选项A不成立，选项B正确； 对于选项C，当时，，只能，选项C正确； 对于选项D，当时，且，只能，等式成立，选项D正确； 故选：BCD． 11．AC 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误， 故选：AC． 12．4 【分析】由已知结合对数运算法则可得，接着先由解得和，再由舍去即可得解. 【详解】因为，故， 所以，由得或， 又，所以舍去，故，则. 故答案为：. 13． 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】利用对数的运算性质计算即得. 【详解】由，可得； 则． 故答案为：. 15．（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 16．(1)； (2). 【分析】（1）（2）求出，再利用指数幂运算求值. 【详解】（1）依题意，， 由，得 . （2）由（1）知，. 17．(1)， (2) 【分析】（1）利用指数运算法则和对数运算法则计算出答案； （2）将指数式化为对数式，结合换底公式求出，结合得到方程，求出答案. 【详解】（1） ， ； （2）因为，所以， 由换底公式得， 则， 由于，故， 所以. 18．（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）利用对数运算计算即可. （2）利用基本不等式求出最大值即得. （3）根据已知，利用指数运算计算即得. 【详解】（1）由，得，即， 所以. （2）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. （3）由，两边平方得：，即， 两边再次平方得，解得， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$