第二章 轴对称图形（单元检测卷，基础）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

第二章 轴对称图形章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、“立秋”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项的图形中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50° 【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°， ∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°； ②当顶角∠A＝50°时， ∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°； 即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A＝50°时． 3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝12，DE＝3，AB＝5，则AC的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点D作DF⊥AC于F，得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD进行求解即可． 【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝3， ∵DE＝3，AB＝5，S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴， ∴AC＝3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 5．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由等边三角形的性质可求解∠BAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDB＝90°﹣75°＝15°， 故选：A． 【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，M为BC边上一点，且AM＝AN，则∠BAM与∠NMC的关系一定成立的是（　　） A．∠BAM＝∠NMC B．∠BAM+∠NMC＝∠BAC C．∠BAM+∠NMC＝∠B D．∠BAM＝2∠NMC 【分析】先证明∠B＝∠C，∠AMN＝∠ANM，再结合三角形的外角的性质进一步求解可得结论． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AM＝AN， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠NMC+∠C＝∠ANM， ∴∠NMC＝∠AMN﹣∠B， ∵∠BAM+∠B＝∠AMN+∠NMC， ∴∠BAM＝∠AMN+∠NMC﹣∠B． ∴∠BAM＝2∠NMC． 故选：D． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确记忆修改知识点是解题关键． 7．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数． 【解答】解：连接AB， 根据题意得：OB＝OA＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°． 故选：C． 【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB＝OA＝AB． 8．如图，△ABC的周长为20cm，把△ABC沿DE翻折，使点C和点A重合，若AE＝3cm，则△ABD的周长是（　　） A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm 【分析】根据垂直平分线的性质得到相等的线段AD＝CD，再把所求的三角形周长通过等量代换变为三角形的两边之和，即C△ABC＝AB+BC+AC＝AB+BC＝20﹣6＝14． 【解答】解：将△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合， ∴ED垂直平分AC， ∴AD＝CD，AE＝CE＝3cm． ∴AC＝2AE＝6cm， ∵△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC， ∵△ABC的周长为：AB+BC+AC＝20cm， ∴AB+BC＝AB+BC+AC﹣AC＝20﹣6＝14（cm）． ∴△ABD的周长为14cm， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换，线段的垂直平分线的性质等几何知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 　10　． 【分析】已知等腰三角形的周长为24，两边之差为6，但没有明确指明底边与腰谁大，因此要分两种情况，分类讨论． 【解答】解：设等腰三角形的腰长为x， ①当腰长比底边长长6时，底边长为（x﹣6），则： x﹣6+2x＝24， 解得x＝10， 此时三角形的三边长为10，10，4，满足三角形的三边关系． ②当底边长比腰长长6时，底边长为（x+6）， 则x+6+2x＝24， 解得x＝6， 此时三角形的三边长为6，6，12， ∵6+6＝12， ∴6，6，12不能组成数形，故不成立； 综上分析可知，这个等腰三角形的腰长为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 10．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则∠AEB＝　110　°． 【分析】先根据等边对等角求出底角，再根据BC＝BE，求出∠BEC，问题即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴． ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧， ∴BC＝BE， ∴∠ACB＝∠BEC＝70°． ∴∠AEB＝180°﹣∠BEC＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 11．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为　8　厘米． 【分析】根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知． 【解答】解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D， 故有MP＝MC，NP＝ND； 则CD＝CM+MN+ND＝PM+MN+PN＝8cm． 故答案为：8． 【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 12．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF．如果∠ABE＝30°，那么∠EFB＝　60　度． 【分析】根据长方形的性质求出∠A＝90°，AD∥BC，根据直角三角形的性质、平行线的性质求出∠AEB＝60°，∠DEF＝∠EFB，根据折叠的性质得，∠DEF＝∠BEF，再根据平角定义求解即可． 【解答】解：长方形纸片ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠ABE+∠AEB＝90°，∠DEF＝∠EFB， ∵∠ABE＝30°， ∴∠AEB＝60°， 根据折叠的性质得，∠DEF＝∠BEF， ∵∠AEB+∠BEF+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝60°， ∴∠EFB＝60°， 故答案为：60． 【点评】此题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练运用折叠的性质、平行线的性质是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E．若△ABD的周长等于7，则DC的长为　1　． 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD+BD+AB＝2AD+AB＝7，进而得出AD的长，即可得出答案． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∵AB＝AC＝3，△ABD的周长等于7， ∴AD+BD+AB＝2AD+AB＝7， ∴AD＝2， ∴DC＝AC﹣AD＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，得出AD的长是解题关键． 14．如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝　81°　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠C＝∠DAC＝27°，根据三角形外角性质求出∠ADB＝∠C+∠DAC＝54°，根据折叠的性质求出∠ADB＝∠ADB1＝54°，根据平角定义求出∠CDE＝72°，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵点D在AC的垂直平分线上， ∴AD＝CD， ∴∠C＝∠DAC＝27°， ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝54°， ∵将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处， ∴∠ADB＝∠ADB1＝54°， ∵∠ADB+∠ADB1+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝72°， ∴∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝81°， 故答案为：81°． 【点评】此题考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是　6　． 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到4×84×AC＝28，然后解一次方程即可． 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴4×84×AC＝28， ∴AC＝6． 故答案为6． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 16．如图，已知∠AOB＝30°，点D是边OA上一点，在射线OB上取一点C，当△OCD是等腰三角形时，∠OCD的度数为 　30°或75°或120°　． 【分析】分三种情况讨论：①当OD＝OC，②当OD＝DC，③当OC＝CD，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【解答】解：如图， ①当OD＝OC时， ∠OCD＝∠ODC75°； ②当OD＝DC时， ∠OCD＝∠COD＝30°； ③当OC＝CD时， ∠ODC＝∠COD＝40°， ∴∠OCD＝180°﹣∠ODC﹣∠COD＝120°． 综上所述，∠OCD的度数为30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 17．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…圴为等边三角形，若OA1＝1，则△A8B8A9的边长为 　128　． 【分析】利用等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，则可计算出∠A1B1O＝30°，所以A1B1＝A1A2＝OA1，利用同样的方法得到A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，利用此规律得到AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1． 【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∵∠MON＝30°，∠B1A1A2＝∠A1B1O+∠MON， ∴∠A1B1O＝30°， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1＝1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， …， ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n﹣1． ∴△A8B8A9的边长为27＝128， 故答案为：128． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 18．起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，使点A落在点A′的位置上，A′E与DC交于点F（如图2）．第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分别落在直线EF的右侧点B′，C′的位置上（如图3）．若∠AED＝34°，ED∥B′C′，则∠EGF＝　28°　． 【分析】由长方形的性质及平行线的性质可证得∠EDF＝34°，由长方形的性质，轴对称的性质及平行线的性质可证得∠DEB′＝90°，∠EGF＝∠GEB′，然后根据△EDG的内角和等于180°即可求得∠EGF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∴∠EDF＝∠AED＝34°，∠EGF＝∠GEB， 根据轴对称的性质可知：∠B′＝∠B＝90°，∠GEB′＝∠GEB， ∴∠EGF＝∠GEB′， ∵ED∥B′C′， ∴∠DEB′＝∠B′＝90°， ∵在△EDG中，∠EDF+∠DEB′+∠GEB′+∠EGF＝180°， 即34°+90°+∠EGF+∠EGF＝180°， ∴， 故答案为：28°． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分64分） 19．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度数． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝50°，∠ACP＝28°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝180°﹣50°﹣28°＝102°， ∴3∠ABP＝102°， ∴∠ABP＝34°． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 20．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，E为线段AB的中点，点F在边BC上，连接EF，沿EF将△BEF折叠，使点B的对应点D落在AC上，求∠ADF的度数． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝80°，根据折叠的性质求出AE＝BE＝DE，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠ADE＝80°，再根据角的和差求解即可． 【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠A＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵E为线段AB的中点， ∴AE＝BE， 由折叠可知，∠B＝∠EDF＝40°，BE＝ED， ∴AE＝DE， ∴∠A＝∠ADE＝80°， ∴∠ADF＝∠EDF+∠ADE＝40°+80°＝120°． 【点评】此题考查了折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 21．（6分）如图，BF平分∠ABC，，且∠BEC＝∠A，请确定△ABC的形状并说明理由． 【分析】根据角平分线定义及三角形外角性质求出∠A＝∠ABC，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【解答】解：△ABC是等腰三角形，理由如下： 设∠ACE＝x， ∵∠ACE∠ACD， ∴∠ACD＝4x， ∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝3x， ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBE∠ABC， ∵∠A+∠ABC＝∠ACD＝4x，∠BEC+∠CBE＝∠ECD＝3x， ∴∠A＝4x﹣∠ABC，∠BEC＝3x∠ABC， ∵∠BEC＝∠A， ∴4x﹣∠ABC＝3x∠ABC， ∴∠ABC＝2x， ∴∠A＝4x﹣∠ABC＝2x， ∴∠A＝∠ABC， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键． 22．（6分）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形最少三种不同方法． 【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 23．（8分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1； （2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积． 【分析】（1）利用网格特点和对称轴的性质，分别画出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积． 【解答】解：（1 ） 如图，△A1B1C1为所作； （2）△ABC的面积＝3×32×13×23×1＝3.5． 【点评】本题考查了轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是AB边上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，∠CDG＝15°． （1）求证：AD＝AG； （2）试判断△CDE的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据已知条件，根据三线合一以及三角形内角和定理得出CD⊥AB，∠A＝∠B（180°﹣∠ACB）＝30°，AD＝DB，进而根据∠CDG＝15°，得出∠AGD＝∠ADG，根据等角对等边即可得证； （2）根据EF是B的垂直平分线，得出DE＝EB，根据等边对等角得出∠EDB＝∠B＝30°，进而得出∠DCE＝∠CDE＝60°，可得△CDE是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是BC边上的中线， ∴CD⊥AB，∠A＝∠B（180°﹣∠ACB）＝30°，AD＝BD， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠CDG＝15°， ∴∠ADG＝90°﹣∠CDG＝75°， ∴∠AGD＝180°﹣∠A﹣∠ADG＝75°， ∴∠AGD＝∠ADG， ∴AG＝AD； （2）△CDE是等边三角形．理由如下： ∵EF垂直平分线段BD， ∴DE＝EB， ∵∠B＝30°， ∴∠EDB＝∠B＝30°， ∴∠CDE＝90°﹣∠EDB＝60°， 又∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是BC边上的中线， ∴∠DCB∠ACB＝60°， ∴∠DCE＝∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 25．（8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC于点H，DM＝DN． （1）在线段AB上找一点P，使AP＝AN，连接DP，求证：DP＝DM； （2）若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积． 【分析】（1）由AD是∠BAC的平分线，得到∠DAP＝∠DAN，推出△APD≌△AND，得到PD＝ND，等量代换即可得到结论； （2）过D作DG⊥AB于G，根据角平分线的性质得到DH＝DG，证得Rt△DHN≌Rt△DPG，由已知条件得到△DPM的面积等于20，根据等腰三角形的性质得到PGPM，于是得到结果． 【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAP＝∠DAN， 在△APD与△AND中，， ∴△APD≌△AND， ∴PD＝ND， ∵DM＝DN， ∴DP＝DM， （2）过D作DG⊥AB于G， ∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC， ∴DH＝DG， 在Rt△DHN与Rt△DPG中，， ∴Rt△DHN≌Rt△DPG， ∵△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80， ∴△DPM的面积等于20， ∵DP＝DM，DG⊥PM， ∴PGPM， ∴△DHN的面积＝△DPG的面积△DPM的面积＝10． 【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 26．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是边AB上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点G是AC上一点，且∠CDG＝15°． （1）求证：AG＝BD； （2）若EF＝1，求AC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形性质得∠A＝∠B＝30°，CD⊥AB，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝60°，由此可得∠ADG＝∠AGD＝75°，进而得AG＝AD，据此可得出结论； （2）根据线段垂直平分线性质得DE＝BE，EF⊥BD，则∠EDB＝∠B＝30°，进而得∠CED＝60°，从而得△CDE为等边三角形，则CE＝DE＝BE，在Rt△BEF中根据EF＝1，∠B＝30°得BE＝4，由此得BC＝4，进而可得AC的长． 【解答】（1）证明：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝∠B（180°﹣∠ACB）＝30°， ∵CD是边AB上的中线， ∴CD⊥AB，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD∠ACB＝60°， ∴∠ADC＝90°， ∵∠CDG＝15°， ∴∠ADG＝∠ADC﹣∠CDG＝75°， ∴∠AGD＝180°﹣（∠A+∠ADG）＝180°﹣（30°+75°）＝75°， ∴∠ADG＝∠AGD＝75°， ∴AG＝AD， ∴AG＝BD； （2）解：∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴DE＝BE，EF⊥BD， ∴∠EDB＝∠B＝30°， ∴∠CED＝∠EDB+∠B＝60°， ∵∠BCD＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CE＝DE， ∴CE＝BE， 在Rt△BEF中，EF＝1，∠B＝30°， ∴BE＝2EF＝4， ∴CE＝BE＝4， ∴BC＝CE+BE＝4， ∴AC＝BC＝4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键． 27．（8分）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边AB，碰到AB上的点P后反弹而滚向桌边CD，碰到CD上的点Q后反弹而滚向点R．如果AB∥CD，OP，PQ，QR都是直线，且∠OPQ的平分线PM垂直于AB，∠PQR的平分线QN垂直于CD． （1）判断并直接写出PM和QN的位置关系． （2）猜想QR是否平行于OP？说明理由． （3）若∠RQD＝α，求∠OPQ的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）根据平行线的判断方法判断即可； （2）根据平行线的判断方法判断即可； （3）根据平行线的性质即可得出答案； 【解答】解：（1）∵AB∥CD，PM⊥AB，QN⊥CD． ∴PM∥QN； （2）QR∥OP， 理由：∵PM∥QN， ∴∠MPQ＝∠NQP， ∵PM平分∠OPQ，QN平分∠RQP， ∴∠OPQ＝2∠MPQ，∠PQR＝2∠NQP， ∴∠OPQ＝∠PQR， ∴QR∥OP； （3）∵∠RQD＝α， ∴∠RQN＝90°﹣α， ∴∠PQR＝2∠RQN＝180°﹣2α， ∵QR∥OP， ∴∠OPQ＝∠PQR＝180°﹣2α． 【点评】本题考查生活中的轴对称现象，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 轴对称图形章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．二十四节气作为中国人特有的时间知识体系，在国际气象界，这一观天察地、认知自然所创造的时间知识体系被誉为“中国的第五大发明”．下列四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、“芒种”、“立秋”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（　　） A．65°，65° B．50°，80° C．65°，65°或50°，80° D．50°，50° 3．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝12，DE＝3，AB＝5，则AC的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为角平分线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，M为BC边上一点，且AM＝AN，则∠BAM与∠NMC的关系一定成立的是（　　） A．∠BAM＝∠NMC B．∠BAM+∠NMC＝∠BAC C．∠BAM+∠NMC＝∠B D．∠BAM＝2∠NMC 7．如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．如图，△ABC的周长为20cm，把△ABC沿DE翻折，使点C和点A重合，若AE＝3cm，则△ABD的周长是（　　） A．14cm B．15cm C．16cm D．17cm 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 　 　． 10．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，则∠AEB＝　 　°． 11．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若PMN的周长＝8厘米，则CD为　 　厘米． 12．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF．如果∠ABE＝30°，那么∠EFB＝　 　度． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E．若△ABD的周长等于7，则DC的长为　 　． 14．如图，在△ABC中，∠C＝27°，点D在AC的垂直平分线上，将△ABD沿AD翻折后，使点B落在点B1处，线段B1D与AC相交于点E，则∠CED＝　 　． 15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC的长是　 　． 16．如图，已知∠AOB＝30°，点D是边OA上一点，在射线OB上取一点C，当△OCD是等腰三角形时，∠OCD的度数为 　 　． 17．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…圴为等边三角形，若OA1＝1，则△A8B8A9的边长为 　 　． 18．起源于中国的折纸艺术，不仅具有艺术审美价值，还蕴含着数学运算和空间几何原理．图1是一朵用长方形纸条折制的玫瑰花，其前两步的折制过程如下：第一步将长方形纸条ABCD沿DE折叠，使点A落在点A′的位置上，A′E与DC交于点F（如图2）．第二步将纸条沿EG折叠，使点B，C分别落在直线EF的右侧点B′，C′的位置上（如图3）．若∠AED＝34°，ED∥B′C′，则∠EGF＝　 　． 三．解答题（共9小题，满分64分） 19．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度数． 20．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，E为线段AB的中点，点F在边BC上，连接EF，沿EF将△BEF折叠，使点B的对应点D落在AC上，求∠ADF的度数． 21．（6分）如图，BF平分∠ABC，，且∠BEC＝∠A，请确定△ABC的形状并说明理由． 22．（6分）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形最少三种不同方法． 23．（8分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1； （2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积． 24．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是AB边上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，∠CDG＝15°． （1）求证：AD＝AG； （2）试判断△CDE的形状，并说明理由． 25．（8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DH⊥AC于点H，DM＝DN． （1）在线段AB上找一点P，使AP＝AN，连接DP，求证：DP＝DM； （2）若△AMD的面积等于100，△AND的面积等于80，求△DHN的面积． 26．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CD是边AB上的中线，BD的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点G是AC上一点，且∠CDG＝15°． （1）求证：AG＝BD； （2）若EF＝1，求AC的长． 27．（8分）一个台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点O滚向桌边AB，碰到AB上的点P后反弹而滚向桌边CD，碰到CD上的点Q后反弹而滚向点R．如果AB∥CD，OP，PQ，QR都是直线，且∠OPQ的平分线PM垂直于AB，∠PQR的平分线QN垂直于CD． （1）判断并直接写出PM和QN的位置关系． （2）猜想QR是否平行于OP？说明理由． （3）若∠RQD＝α，求∠OPQ的度数（用含α的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$