江西省抚州实验学校初中部2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年江西省抚州实验学校初中部八年级（上）第一次月考数学试卷（9月份） 一．选择题（共6小题） 1．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数是（　　） （1）x2+b﹣3＝0 （2）（x﹣2）（x+2）＝x2+4x﹣1 （3）ax2+a2x＝3 （4）x2+﹣5＝0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题，其中是真命题的为（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 3．我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则点C的对应点C'的坐标为（　　） A． B．（3，1） C．（2，1） D．（1，3） 4．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 5．若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＝0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 6．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　 　． 8．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为　 　． 9．将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝　 　，p＝　 　． 10．如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为　 　． 11．关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为　 　． 12．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），有下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中说法正确的有 　 　．（填序号） 三．解答题（共11小题） 13．先化简再求值：，其中． 14．解不等式组，并将解集在图中数轴上表示出来． 15．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF． 16．解方程： （1）（x+2）2﹣x﹣2＝0； （2）2x2+4x﹣1＝0． 17．如图平行四边形ABCD，E在AD边上，且DE＝CD，仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1中，画出∠C的角平分线； （2）在图2中，画出∠A的角平分线． 18．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元． （1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率； （2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 19．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证： （1）△ABF≌△DCE； （2）四边形ABCD是矩形． 20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21．我们已学完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，观察下列式子： x2+4x+2＝x2+4x+4﹣2＝（x+2）2﹣2≥﹣2； ﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣（x2﹣2x+1+2）＝﹣[（x﹣1）2+2]＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2 ﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8≤8并完成下列问题 （1）x2+6x+12＝（x+a）2+b≥b，则a＝　 　；b＝　 　；﹣x2﹣4x+1＝﹣（x+m）2+n≤n，则m＝　 　；n＝　 　； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方形花圃，如图，为了设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：　 　； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 22．如图，在矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣9，12）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，且直线BD与OA、x轴分别交于点D、F． （1）求线段BO的长； （2）求△OBD的面积； （3）在x轴上是否存在点M，使得以A、B、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件的M点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： （1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； （2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若AB＝10，CF＝2，请直接写出DE的长． 2023-2024学年江西省抚州实验学校初中部八年级（上）第一次月考数学试卷（9月份） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：（1）符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； （2）由已知方程得到4x+3＝0，属于一元一次方程； （3）方程二次项系数可能为0，不是一元二次方程； （4）不是整式方程，不是一元二次方程． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误； B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误； C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中． 3．【分析】由已知条件得到AD′＝AD＝2，AO＝AB＝1，根据勾股定理得到OD′＝＝，于是得到结论． 【解答】解：∵AD′＝AD＝2， AO＝AB＝1， ∴OD′＝＝， ∵C′D′＝2，C′D′∥AB， ∴C′（2，）， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 4．【分析】把x＝2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值． 【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根， ∴22﹣3×2+k＝0， 解得，k＝2． 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 5．【分析】讨论：当k＝0时，方程化为﹣3x﹣＝0，方程有一个实数解；当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个种情况下的k的公共部分即可． 【解答】解：当k＝0时，方程化为﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣； 当k≠0时，Δ＝（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1， 所以k的范围为k≥﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值． 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10， ∴AO＝DO＝AC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF， ∴12＝×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF＝， 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分． 二．填空题（共6小题） 7．【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意． 【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10． 故答案为10． 【点评】本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 8．【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO＝DO，然后求出OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD，然后根据菱形的周长公式计算即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， ∵点E是BC的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴CD＝2OE＝2×3＝6， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24； 故答案为：24． 【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理；熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键． 9．【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得． 【解答】解：∵x2+8x+13＝0， ∴x2+8x＝﹣13， 则x2+8x+16＝﹣13+16，即（x+4）2＝3， ∴n＝4、p＝3， 故答案为：4、3． 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 10．【分析】利用菱形的面积公式： •AC•BD＝BC•AE，即可解决问题； 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4， ∴AB＝BC＝5， ∵•AC•BD＝BC•AE， ∴AE＝， 故答案为：， 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型． 11．【分析】根据题意可以得到b2﹣4ac＞0，又因为k≠0，从而可以解答本题． 【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0， 解得，k＞﹣1， 又∵k≠0， ∴k的最小整数值为1， 故答案为：1． 【点评】本题考查根的判别式、一元二次方程的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 12．【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确． ②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确． ③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确． ④（2ax0+b）2＝4a2+b2+4abx0，由b2﹣4ac＝4a2+b2+4abx0，得+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则+bx0+c＝0成立，那么④正确． 综上：说法正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 三．解答题（共11小题） 13．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝[+]• ＝• ＝， 当a＝+1时， 原式＝＝． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 14．【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：由不等式5x+3＞2x， 得3x＞﹣3， ∴x＞﹣1， 由不等式＜，4x﹣2＜3x， ∴x＜2， 得不等式组的解集为：﹣1＜x＜2， 其解集在数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是本题的关键． 15．【分析】先判断出DE＝BF，进而判断出△DOE≌△BOF即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF，且∠DOE＝∠BOF，∠ODE＝∠OBF， ∴△DOE≌△BOF（AAS）， ∴OE＝OF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DOE≌△BOF是本题的关键． 16．【分析】（1）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程； （2）利用公式法解出方程． 【解答】解：（1）（x+2）2﹣x﹣2＝0， 则（x+2）2﹣（x+2）＝0， ∴（x+2）（x+2﹣1）＝0， ∴x+2＝0或x+1＝0， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣1； （2）2x2+4x﹣1＝0， a＝2，b＝4，c＝﹣1， 则Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×2×（﹣1）＝24， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 17．【分析】（1）作射线CE即可． （2）连接BD，AC交于点O，作直线EO交BC于T，作射线AT即可． 【解答】解：（1）如图，射线CE即为所求， （2）如图，射线AT即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2.88，解方程即可； （2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答． 【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得 2（1+x）2＝2.88， 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2 （不合题意，舍去）． 答：这两年该企业年利润平均增长率为20%． （2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为： 2.88（1+20%）＝3.456， 3.456＞3.4 答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 19．【分析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB＝CD，AF＝DE，又因为BE＝CF，那么两边都加上EF后，BF＝CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件． （2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可． 【解答】证明：（1）∵BE＝CF，BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SSS）． （2）∵△ABF≌△DCE， ∴∠B＝∠C． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∴∠B+∠C＝180°． ∴∠B＝∠C＝90°． ∴四边形ABCD是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点． 20．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+1． ∵方程有一根小于1， ∴k+1＜1，解得：k＜0， ∴k的取值范围为k＜0． 【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式． 21．【分析】（1）仿照题中例子，把代数式配方求解； （2）①利用矩形的面积公式求解； ②把①中的代数式进行配方，再求其最值． 【解答】解：（1）∵x2+6x+12 ＝（x2+6x+9）+3 ＝（x+3）2+3≥3， ﹣x2﹣4x+1 ＝﹣（x2+4x+4）+4+1 ＝﹣（x+2）2+5≤5， 故答案为：3，3，2，5； （2）①由题意得：x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x， 故答案为：﹣2x2+60x； ②设花圃的面积的面积为y， 则y＝﹣2x2+60x ＝﹣2（x2﹣30x+225）+250 ＝﹣2（x﹣15）2+450≤450， ∴当x＝15时，花圃的面积最大，最大面积是450平方米． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟记完全平方公式是解题的关键． 22．【分析】（1）由勾股定理可求BO的长； （2）设OD＝x，由矩形的性质可得AB＝9，AD＝ED＝12﹣x，由勾股定理可得出x2＝62+（12﹣x）2，解得x＝，根据三角形的面积公式即可求解； （3）求出直线BD的解析式，可求出OF＝15，由平行四边形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵四边形AB CO是矩形， ∴∠BCO＝90°． 在Rt△BCO中， ∵BO2＝BC2+OC2， ∴BO＝＝15． （2）设OD＝x， ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠BAD＝90°． ∵矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处， ∴△BAD≌△BED， ∴BE＝BA＝9，AD＝ED＝12﹣x，∠BED＝∠BAD＝90°， ∴∠OED＝90°，EO＝BO﹣BE＝15﹣9＝6． 在Rt△DEO中，OD2＝OE2+DE2， ∴x2＝62+（12﹣x）2， 解得x＝， 即OD＝， ∴S△OBD＝OD•AB＝； （3）由（2）知，OD＝得D（0，）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， ∵B（﹣9，12），D（0，）， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣． 当y＝0时，x＝15， ∴OF＝15． 又∵AB＝9， ∴FM＝9， ∴在x轴上存在点M，使得以A、B、F、M为顶点的四边形是平行四边形．满足条件的点M的坐标为（6，0）或（24，0）． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，一次函数的性质，折叠的性质，待定系数法，利用方程思想解决问题是本题的关键． 23．【分析】（1）根据旋转变换的性质得到∠E'＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，BE'＝BE，根据正方形的判定定理证明结论； （2）过点D作DH⊥AE，垂足为H，证明△AEB≌△DHA，根据全等三角形的性质得到AH＝BE，再根据正方形的性质解答即可； （3）作DG⊥AE于G，根据勾股定理求出CE′，在根据勾股定理求出AG，进而求出GE，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形． 理由：由旋转可知：∠E'＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°， ∵∠AEB+∠FEB＝180°，∠AEB＝90°， ∴∠FEB＝90°， ∴四边形BE'FE是矩形， 由旋转可知，BE'＝BE， ∴四边形BE'FE是正方形； （2）结论：CF＝FE． 理由：如图②所示，过点D作DH⊥AE，垂足为H， 则∠DHA＝90°， ∴∠DAH+∠ADH＝90°． ∵DA＝DE， ∴AH＝AE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠DAB＝90°． ∴∠DAH+∠BAE＝90°． ∴∠BAE＝∠ADH． 在△AEB和△DHA中， ， ∴△AEB≌△DHA（AAS）． ∴AH＝BE． 由（1）知四边形BE'FE是正方形， ∴EF＝E′F． ∴AH＝E′F． 由旋转的性质可得：CE'＝AE， ∴FE'＝CE'， ∴CF＝FE'， ∴CF＝FE； （3）如图①所示，作DG⊥AE于G， ∵四边形BE'FE是正方形， ∴BE'＝BE＝E'F， 设BE′＝BE＝EF＝FE′＝x， 在Rt△CBE′中，由勾股定理得：102＝x2+（x+2）2， ∴x＝6（负根已经舍去）， ∴AE＝CE′＝8， 由（2）可知：△AEB≌△DGA， ∴AD＝AB＝15，DG＝AE＝8，AG＝BE＝6 ∴GE＝AE﹣AG＝2， 在Rt△DGE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2． 【点评】本题属于四边形综合题，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质，证明出△AEB≌△DHA是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$