第2章 专项提优2 直线中的最值问题&专项提优3 隐圆问题-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

专项提优2直线中的最值问题 黑题 专项提优 限时：45min 题组1与距离有关的最值问题 题组2与面积有关的最值问题 1.(2024·河南南阳高二期末)点P为两条直 7.(2024·安徽六安高二期中)过定点A的直线 线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点，则点P (a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+ 到直线1：kx-y+k+2=0的最大距离为( 1)y-5a-2=0交于点P(P与A,B不重合)， A 则△PAB的面积的最大值为 () B.5 c. 6w5 D.5 A.4 C.2 2.直线1，：x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交 B.2 0.2 于点Q,m是实数，0为坐标原点，则10Q1的 8.如图，将一块等腰直角三角板AB0置于平面 最大值是 ( 直角坐标系中，已知AB=OB=1,AB⊥OB,点 A.2 B.22 C.23 D.4 P(兮，4)是三角板肉一点，现因三角板中部 3.(2024·湖南常德高二期中)唐代诗人李颀的 分（△POB内部，不含边界）受损坏，要把损坏 诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火， 的部分锯掉，可用经过P的任意一直线MN将 黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数 其锯成△AMN 学问题一“将军饮马”，即将军白天观望烽 (1)求直线MN的斜率的取值范围： 火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮 马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？ (2)若点P满足M心=PN,这样的直线MN是 3 在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的 否存在？若不存在，请说明理由：若存在， 点A(2,0)处出发，军营所在的位置为B(2, 求出此时直线MN的方程： 3),河岸线所在直线的方程为y=3x+2,则“将 (3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的 军饮马”的最短总路程为 ( △AMN的面积取得最小值？并求出最 A.3 B.4 C.5 D.6 小值 4.(2024·山东枣庄高二月考)已知点A(4,1), B(0,4),直线l:3x-y-1=0,点P在直线1上， 则1IPB1-IPA1I的最大值为 ( A.2 B.22 C.5 D.2 5.(2024·河南省实验中学高二月考)函数 f(x)=√x2+8.x+20+√x2+4x+20的最小 值为 6.(2024·辽宁省实验中学高二期中)已知0< x<2,0<y<1,则2+y2+2+(1-y)2+ √(2-x)+y2+√(2-x)2+(1-y)2的最小 值是 第二章黑白题057 专项提优3隐圆问题 黑题 专项提优 时：45min 题组1阿波罗尼斯圆 题组2其他常见隐圆 1.(2024·河北沧州高二期末)已知平面上两定 4.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0), 点AA.满起阳=0，且1)的点P的 B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在 点M,使得1MA12+1MB12=12,则实数a的值 轨迹是一个圆这个轨迹最先由古希腊数学家 不可能是 阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆利用上述结论， A.-1 B.0 解决下面的问题：若直线x+2y-6=0与x,y轴 C.I+22 D.-2 分别交于A,B两点，点M,N满足IOM1= 5.(2024·四川南充高二期中)已知点A(2,3), IONI=2,1MA1=2IMB1,INA1=21WB1,则直 点B(6,-3),点P在直线3x-4y+3=0上，若 线MN的方程为 ( 满足等式AP·BP+2入=0的点P有两个，则实 A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 数入的取值范围是 C.x+2y-1=0 D.x+2y+1=0 6.(2024·广东佛山高二期末)已知点A(2,0), 2.(2024·浙江杭州二中高二期末)若平面内两 圆0：x2+y2=10上两动点B,C满足AB⊥BC. 定点A,B间的距离为3，动点P满足PA=2, IPBI 且四边形ABCD是矩形 则△PAB的面积的最大值为 (1)当点B在第一象限且横坐标为3时，求 3.(2024·广东肇庆高二期末)在平面直角坐标 边AD所在直线的方程： 系中，0为坐标原点，A(0,1)(t>0),圆M: (2)求点D的轨迹方程 (x-2)2+y2=1 (1)若t=1,过点A作圆M的切线，求此切线 的方程； (2)若在圆M上存在唯一一点P,使IPA1= 21P01,求t的值 选择性必修第-册：RJA黑白题058专项提优2 直线中的最值问题 题 y=0.所以直线过定点A(-1.2),所以当直线AP与直线7垂直时,此 可得V+V+(1-y)+V(2-)+(2-x)+(1-y) 时点P到直线1的距离最大,且最大值为1AP1= 1OPI+1CP1+1AP1+1BP|=(10P1+1BP1)+(1CPI+1AP1) (1+1)+(1-2)=5.故选B. 2.B 解析:因为1.:x-my-2=0与1:mx+y+2=0的交点坐标为 #(2) ).所以1001-、 (2-2)(--2)- 成立,故答案为2/5. 7. B 解析:动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2.可知定点 8(1+m)22 A(0.2).动直线x+(a+1)v-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0.令 1-5-2-0.解得y-5.x-3,可知定点B(-3.5).又(a+1)x1-1x 1-5=0. 大值是22.故选B. (a+1)=0.所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0垂 3. C 解析:若A'(x.y)是A关于y=3x+2的对称点,则 直,P为交点,PA1.PB1PA1}+1PB1AB1(0+3)}+ (2-5)*=18.则$-1PA1·1PB1 1 1PA1+1PBl 9 12-) 114 -5 设饮马点为C.如图所示. 一 -3 故选1. 当且仅当1PA1=1PB1=3时,等号成立.即△PAB的面积的最大值为 2 8(1)题意,得y>-(-) ·AB10B,1AB1=10B1-1..直线0A方程为y-t,直线AB方程为 一():#() r-1.联立 _. ).联立 -3c+2/0 可知1ACI+IBCI=1A'CI+1BCI-1A'BI,当且仅当A'.C.B共线时等 号成立,所以(LAC1+1BCl) =1AB1= (2)(3-)-5.故选C. 解得 4.C 解析:如图,作出点B关于直线7的对称点B',连接AB'延长交直 # 线1于点P,此时点P使11PB-1PA口取得最大值.根据点关于直线 (2)若得(1),得听 的对称图形特征,知|PB|=|PB |,此时1PB!-|PA||=||PB1 IPA1|=1B'A1.在直线1上另取点P.连接P、A.PB.PB',则 $ $BI= P$B$ $ B- AI= PB'$1- A1 BA= [n_41 n 3 11PBl-1PA11.不妨设点B'(m,n),则有 {3410 解得 2-):[-1]-[4(1-*14].其中1-[ 22 fm=3.即B(3.3),故11PB1-1 PA1=1B"A1= ln=3 V(4-3)+(1-3)*-5.故选C ($04)(4 专项提优3 隐圆问题 题 提忧 1.A 解析:由题意得A(6.0).B(0.3).设M(t.y).10M1=2..点M 在园C:+=4上1MA1=21MB1.(x-6)+=4[+ (3)],整理得+}+4x-8y=0.:点M也在C:r}++4x- 5.210 解析:因为fx)=V(x+4)+(0+2)+(x+2)+(0-4). 8=0上.同理点N也在这两个圆上...MV是这两圆的公共弦,两圆 所以,函数/(x)的几何意义为;轴上的点P(x.0)到点A(-4.-2). 方程作差,得x-2y+1=0.即直线MV的方程为x-2y+1=0.故选A. B(-2.4)的距离之和,即/(x)=1PA1+1PBl,如图所示: 2.3 解析:如图,以AB所在直线为;轴,以线段AB的中垂线为,轴建 立平面直角坐标系,设P(x):A(-.0) :a(.0).因为 1P2.即1PA1-21PB1. 所以 IP1 、()#,理为()#-4# 由图可知,当点A.P.B三点共线时,f(x)取最小值,且f(x)= IABI=(-4+2)+(-2-4)=210.故答案为2v10 6.2/5 解析:设P(x.y).0(0.0).A(2.0).B(2.1).C(0.1).因为0< x2.0v1.则点P(x.y)在矩形0AC内部.如图所示。 选择性必修第-册·PJA 黑白题38 (.o)为因心半径为2的回,所以点P 则点P的轨迹是以点 2.A 解析:设该园的因心为(a,b),则圆的方程为(x-a)2+(y-b) 1.·该罔过点(3,4).(3-a)2+(4-b)}=1,此式子表示点(a.b)在 到AB距离的最大值是2,所以△PAB的面积的最大值是-x3x2=3. 以(3.4)为圆心,1为半径的圆上,则点(a.b)到原点的最小值为 V3+4-1=4.故选A. 故答案为3. 3.解:(1)由题意得M(2.0).圆M的半径为1.A(0.1)在圆M外,过 3.(-1)+(y+1)=5 解析:点M在直线2x+y-1=0上 点A作圆M的切线,则切线斜率存在,设为t.则切线方程为y=k+ .设点M为(a.1-2a).又·点(3.0)和(0.1)均在M上. -1.解得 --或k-0.故切线方程 1.即&r-y+1=0.所以12^+11 2.点M到两点的距离相等且为半径R. +1 . (a-3)}+(1-2a)-+(-2a)'=B 为4x+3-3=0或v-1 即?-6a+9+4a?-4a+1=5a},解得a=1..W(1.-1),R=$5 (2)设P(x.y).由于PA1=21P0l,所以v+(y-t)=2+?} .M的方程为(x-1)2+(y+1)=5.故答案为(x-1)24(y+1)?-5 4.(x-2)2+(y-3)}-13(答案不唯一) 解析:设点A(0.0).B(4.0).C(-1.1).D(4.2). (o.)为圆心,2为半径的圆上,由题意可知P是唯一的,只有 (1)若圆过A.B.C三点,圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2.a). 则4+a?}=9+(a-1)?→a=3,r= 4+a=13,所以圆的方程为 (x-2)2+(y-3)?-13. (2)若园过A.B,D三点,设园心坐标为(2.a),则4+a?=4+(a-2) a=1.r=4+a”=5,所以圆的方程为(x-2)? (y-1)?=5. 0.解得:=-2+v13(t=-2-13含去),故:--2+13;当两圆内切 (3)若圆过A.C.D三点,则线段AC的中垂线方程为y=x+1.线段AV 时,。(2-0) (0)-2 47 ,整理得r*-4-9=0.解得 3所以圆 的方程为(-4)(-)-6 =2+13(t=2-13含去),即/=2+13.综上所述,:的值为-2+ 13或2+13 (4)若圆过B.C.D三点,则线段BD的中垂线方程为y=1.线段BC 4.D 解析:设M(x.y),由题意可知1MAì?+1MB1=12=(x-2)} $(y-2)?→(x-1)+(y-1)-4,即M(x.y)是园C:(x-a)?+=1 的中垂线方程为y=5r-7.联立得--8 与圆D:(x-1)+(v-1)=4的交点,由两则位置关系可知圆心距满 ##)# 足:2-11cDl1+2.即 (a-1)+(0-1)[1.3]-ae[1-2v/2. 1+221.故选D 故答案可以为(x-2)2+(y-3)2=13 5.(-x.2)解析:设P(x.y),则AP=(x-2.-3).BP=(x-6.y+3)代 5.A 解析:由题意可知圆心为(a.0),因为直线是罔的对称轴,所以罔 A·B+2=0得(x-2)(x-6)+(y-3)(y+3)+2=0.化简得 (r-4)2+y}=13-2A,所以13-2A=0.A< 6.ABD 解析:圆心C(0.0)到直线/的距离d-- ,2 2 若点A(a.6)在c上,则a?+62=2.所以a=- -1pt. 则直线/与例C相切,故A正确; 以3<v13-2,解得A<2.故答案为(-x,2). 6.解:(1)设点B(3.t) 0.由3^=10.得1=1.直线AB的斜率k= 1-0. 则直线/与囤C相离,故B正确; -2=0. V r. (2)如图,由于线段BC是罔0:x2+y2=10的弦,则线段BC的中垂线 必过圆心0.又线段BC的中垂线是矩形ABCD的对称轴,因此该对 则直线1与因C相交,故C错误; 称轴垂直平分线段AD.即10D1=10A1=2(然B.C不重合,当B.( 若点A(a,b)在直线/上,则a}+b--?}=0.即a}+6}-}. 重合时,点A.D重含),则点D的轨迹是以0为圆心,2为半径的圆 所以__ (除点A外),所以点D的轨迹方程是+^}=4(a2) {} -=1r1.则直线7与圆C相切,故D正确 故选APD 7.B 解析:如图,因为x+-4x-1=0.即(x-2)+=5.可得圆心$$ C(2.0),半径r-5.过点P(0.-2)作圆C的切线,切点为A.B.因为 IP$I=2+2=2v.则1PA1=1PCl-=③.可得sin乙AP 510 ##40.ApC 22” 2.则sin AP=sin2/APc 真题演练 直线和圆的方程 2sin/APCcos/APC=2 x /15 4 4 4.cos乙APB: 1.D 解析:由题意知园的半径r=v2.:.圆的方程为(x-1)2+(y- (2)-()0. cos 2LAPC=cos}L APC-sin}LAPC= 1)2=2.故选D 参考答案 黑白题39