第1章 空间向量与立体几何 真题演练&综合训练-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

真题演练空间向量与立体儿何 黑题 真题演练 限时：60min 考点空间向量的应用 3.(2023·新课标全国Ⅱ)如图，在三棱锥 1.(2022·全国甲理)在四棱锥P-ABCD中， A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB= PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB= ∠ADC=60°，E为BC的中点. 1,AB=2,DP=√3. (1)证明：BC⊥DA: (1)证明：BD⊥PA: (2)若点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F (2)求PD与平面PAB所成角的正弦值 的正弦值 2.(2023·新课标全国I)如图，在正四棱 4.(2023·全国乙理)如图，在三棱锥P-ABC 柱ABCD-A,B,C,D,中，AB=2,AA1=4,点A, 中，AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=√6， B2,C2,D2分别在棱AA1,BB,CC1,DD1上， BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD= 且AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. 5DO,点F在AC上，且BF⊥AO. (1)证明：B2C2∥A2D2; (1)证明：EF∥平面ADO: (2)点P在棱BB,上，当二面角P-A,C2-D (2)证明：平面ADO⊥平面BEF: 为150时，求B,P的长， (3)求二面角D-AO-C的正弦值 D 第一章黑白题027 第一章综合训练 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 中的元素个数是 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.(2024·河南洛阳高二月考)在空间直角坐 标系Oxyz中，点(3，-4,5)关于x轴对称的 点为 ( ) A.7 B.5 C.3 D.1 A.(-3,4,-5) B.(3,4,-5) 6.(2024·河北沧州高二月考)如 C.(3,-4,-5) D.(-3,-4,-5) 图，在四棱锥P-ABCD中。 2.(2024·湖北武汉高二期末)设a=(m+1, PA⊥平面ABCD,∠BAD=90° 0,2m),b=(6,2n-1,2),若a∥b,则m的值为 ( PA=AB BC =2AD 1. A.5 B 3 D.- BC∥AD,已知Q是棱PD上靠近点P的四等 分点，则CQ与平面PAB所成角的正弦值为 3.(2024·山西大同高二期中)在平行六面 体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是AB,B,C, 25 的中点，则下列结论错误的是 ( 4.⑤ B. c.2v29 5 5 29 0.6 A.AC:=AB+AD+AA 7.(2024·四川内江高二期中)设三棱锥S-ABC B.BD'=-AB+AD+AA, 的三条侧棱SA,SB,SC两两相互垂直，AB=2, C.AF=AB-2AD+AA BC=3,AC=√7，其顶点都在球0的球面上，则 球心O到平面ABC的距离为 ( n.萨=)++ A.6 D.v6 6 B 4.(2024·广东深圳高二期末)已知A(1,1,1), B(1,0,1),BC=(1,-1,1),则点A到直线BC 8.(2024·安徽合肥高二期 的距离为 中)在如图所示的结构对称 ( 的实验装置中，底面框架四 B.23 C.6 边形ABCD是边长为2的正 5.(2024·福建福州高二期中)如图，四个棱长 方形，两等腰三角形框架△ADE,△BCF的腰 为1的正方体摆成一个正四棱柱，AB是一条 长均为3，EF∥框架ABCD所在的平面，EF= 侧棱，P.(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八 1,活动弹子M,N分别在EF,AC上移动，M,N 个点，则集合yly=AB·AP,i=1,2,3,…,8 之间用有弹性的细线连接，且3MF=2AN始 选择性必修第-册：RJA黑白题028 终成立，则当MN的长度取得最小值时，MF= ( 10 17 G31 34 D11 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 A.AE⊥BD 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 B.A,E⊥平面BDD,B, 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 C.BD,=2 选错的得0分。 9.(2024·湖北荆州中学高二期末)下列说法正 D.直线BD,与平面AC,A所成角为 确的是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 A.若有空间非零向量a,b,a∥b,则存在唯一 15分. 的实数入，使得b=入a 12.(2024·山东临沂高二期末)已知空间向量 B.A,B,C三点不共线，空间中任意一点O,若 a=(2,1,2),b=(1,1,-1),则a在b上的投 OP=3O+0B+0元，则P,A,B,C四点 8 8 影向量的坐标是 共面 13.(2024·福建福州高二月考)已知在一个二 C.a=(x,2,1),b=(4,-2+xx),若a∥b,则 面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在 x=-2 这个二面角的两个面内，并且都垂直于 D.若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，则 棱AB,AB=5,AC=3,BD=4,CD=52,则这 O,A,B,C四点共面，但不共线 个二面角的大小为 10.(2024·河南濮阳高二月考)如图，在四棱锥 14.(2024·河北沧州高二月考)某公园有一个 P-ABCD中，底面是边长为2的菱形， 坐落在水平地面上的大型石雕，如图是该石 ∠ABC=,PH⊥平面ABCD.PA=2,P店=D, 雕的直观图.已知该石雕是正方体截去一个 三棱锥后的剩余部分，△ABC是该石雕与地 则 面的接触面，其中A是该石雕所在正方体的 A服--d 一个顶点.某兴趣小组通过测量△ABC的三 边长度，来计算该正方体石雕的相关数据.已 B.IBEI=/7 知测得AB=2√13m,BC=25m,AC= C.BP.BD=6 210m,则该石雕最高点P到地面的距离 D.点E到平面PAB的距离为1 11.(2024·江苏苏州高二期末)如图，在平行六 为 m 面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=AM,=1, ∠A,AD=∠A,AB=∠BAD=60°，E为棱CC 上一点，且C,E=2E元，则 ( 第-章黑白题029 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出17.(15分)(2024·浙江金华高二月考)如图， 文字说明、证明过程或演算步骤 在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角 15.(13分)(2024·河南开封高二期末)如图， 形且垂直于底面ABCD,四边形ABCD为梯 在空间四边形ABCD中，AB=3,BC=4,AD= 形，AD=2BC=2,∠BAD=∠ABC=90° 5,∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC. (1)若M为PA的中点，求证：BM∥平 (1)求B函·BC: 面PCD: (2)求CD的长 (2)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值 为5 ,求AB的长 16.(15分)(2024·广东惠州高二月考)如图，平 行六面体ABCD-A,B,C,D,的底面是菱形，且 ∠C,CB=∠C,CD=∠BCD=60°，CD=CC,=2. (1)求AC的长： (2)求异面直线CA,与DC,所成的角， 选择性必修第-册：RJA黑白题030 18.(17分)(2024·山西运城高二月考)如图， 19.(17分)(2024·福建厦门高二月考)如图， 在三棱柱ABC-A,B,C,中，底面三角形ABC 已知向量0A=a,0B=b,0元=c可构成空间向 是边长为4的正三角形，侧面ACC,A,是菱 量的一个基底，若a=(a1,a2,a),b=(b1,b2, 形，且平面ACC,A,⊥平面ABC,E,F分别是 b3),c=(c,c2,c3),在向量已有的运算法则 棱A,C1,BC的中点，C,G=2G元 的基础上，新定义一种运算a×b=(a,b (1)证明：EF∥平面ABB1A1; ab2,a3b,-a,b,a,b2-a,b,),显然axb的结果 (2)若①三棱锥C,-ABC的体积为8：②C,C 仍为一向量，记作p. 与底面ABC所成角为60°：③异面直线 (I)求证：向量p为平面OAB的法向量： BB与AE所成的角的大小为30°.请选 (2)若a=(1,-1,7),b=(0,-3,0),求以 择一个条件，求平面EFG与平面ABB,A1 OA,OB为边的平行四边形OADB的面 所成角（锐角）的余弦值， 积，并比较四边形OADB的面积与|axb1 的大小； (3)将四边形OADB按向量OC=c平移，得到 一个平行六面体OADB-CA,D,B,试判 断平行六面体的体积V与1(a×b)·cl的 大小.（注：第(2）小题的结论可以直接 应用)】 第一章黑白题031√年X+年i6+18+764wm63,2ms -324 4 /⑨+4+18+6-18-12m√/7.即A0的长为万 9.C解析：建立以D为坐标原点的空间直角坐 标系如图所示，则B(2.2.0),E(0,2.V2) A(2.0.22).C(0,2,0),4(2.0,0).可得 =(-2.0.2).A1C=(-2.2.-22).易知 (2)存在点P,使得B,P∥平面EFG,点P在DB的延长线上，且 cos a=I eos(BE.AC)I= 成·A,亡 B·iMC P=7p服由题意得B(2.2.0).B店=(0,0，-2).成=(2.2.0).设 0,且0°≤a≤90，所以a=90°，易得平面 =(2A.2A,0).eR,=(2A.2A,-2),AE BDD,B,的一个法向量为AC=(-2,2,0).因此可得snB=lo%(A元， RB,P∥平面EFG.B1产1n,即B,产·n=2A+2A-2=0,解得A= 元·元 A,乙1= M·元22x42又0°≤B≤0.可得日 8V2 =2DB. 45°，因此a+8=135°.故选C. 13.解：(1)因为平面ABCD⊥平面ABEF,又平面ABCD∩平面 10.BC解析：由底面ABCD是正方形，故AB⊥AD,由PA⊥平面 ABEF=AB.CB⊥AB,CBC平面ABCD.所以CB⊥平面ABEF,义 ABCD,AB.ADC平面ABCD.故PA⊥AB,PA⊥AD,故AB,AD.PA两 AB⊥BE,如图，以B为原点.BA.BE.BC所在直线分别为x轴 两垂直，故以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示，有4(0,0， y轴，：轴，建立空间直角坐标系 0),B(2.0,0).C(2,2,0).P0,0.4),E(1,0,2),F(0,1.2),故A元= (2.2,0).E=(-1.1.0).A元≠2E京.故A错误：C正=(-1，-2,2). C=(-2,-1,2),故C2.C序=2+2+4=8，故B正确：A=(2,0,0). 故es(AB.CE= V×1+4+了，肉为B与C优的夹角是锐 -2 、/ 角，所以直线A裙与CB夹角的余弦值为了故C正确：成=(2.0， 因为两个正方形的边长都为1，所以A(1,0,0),B(0,0,0),C(0,0, -4).币=(0,0,4)，设平面PC的法向量为n=(x,),则 .又6w=w=1.则a后：（后0后）释v(停0， ·0,即2+2=0令=1.则y=-1=0.故平面PC的法 n·A亿=0.(4=0， 1小同理可得N(停..0）所以11 2 向量为H=(1,-1.0),则0s(n.P3》= √2+4×1+I 0,故直 10 线PB与平面PAC所咸角的正独值为0，其余弦值为 0c1c,万，所以当1=受时，心的长最小，最小值为受 (2)由(1)知，当MN的长最小时，M,N分别为正方形对角线AC和 10 F的中点，可特N(行Q,子)（合子0）设平面v的 法向量为m=().又可=（分0，）=(0 取x1=1.可得m=(1.1.1).设 m· 22=0, 11.反解析：由题知，Q⊥NQ,则以Q为原点， QM,QN所在直线分别为x轴、y轴.该圆柱过 平面BN的法向量为n=(a,6c).又应：（分0.） 0 Q的母线为：轴，建立空间直角坐标系如图所 1 示.则Q(0.0.0),(2.0.0).N(0.2.0).P(2 =2+2=0 取a=-1.可得n=(-1. 0,2).所以0尔=(0,2,0)，0币=(2,0,2)，= 1 (0.0,2).设平而PVQ的法向量为m=(x, ),则/m·0=2y=0. 1.1),则cs(m.n）= 令x=1,则：= m1,1m=3,所以n(m,n）= m· (m·0币=2x+2z=0, -1,y=0.所以m=(1.0,-1),所以点M到平而PNQ的距离为 个-m用之2识因此，二面角-B的正弦值为 3 1m·1x0+0x0-1x2=2.故答案为2. 真题演练空间向量与立体几何 m1√个+02+(-1下 12.(1)证明：以D为原点，DA.DC,DD,所在的直线分别为x轴.y轴 黑题 真题演练 x轴，建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0),B,(2,2,2), 1,(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E.CF⊥AB于F.因为 E(2.0,1).F1.2.0).G(0,12).DB=(2.2.2).E7=(-1,2,-1). CD∥AB,AD=CD=CB=1,AB=2,所以四边形ABCD为等腰梯形，所 E元=(-2,1,1).设平面EFG的法向量为n=(x,,:),则 2,D=VDE+BE=3,所以D+ a…2=0取x=1.则y=1,=1,得n=(.. 以E==子，故优= BD=AB,所以AD⊥BD.因为PD⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所 n.EG=-2x+y+:=0. 以PD⊥BD.又PD∩AD=D.所以BD⊥平面PAD.因为PAC平面 DB,∥n,∴，B,D⊥平面EFG PAD.所以BD⊥PA. 选择性必修第一册，RJA黑白题18 (2)解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，BD=5,则A(1,0,4.(1)证明：如图①，连接DE,0R设AF=4C,则成=+=(1- 0),B(0,50),P(0,0.5).则币=(-1,0.5)，=(0.-3,3). D亦=(0,0,3).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,),则有 )成市=-威+成：BF上A0,AB1BC成，市=0， n…=-+50.令=1，则x=5y=1,此时n=(5,1,0 应.成=0，则亦.材=[(-)+成·（+成=( m.B=-3y+3z=0, 则cus(n,币=·成 ,所以PD与平面PAB所成角的正弦值 )+宁成=4(-)+4=0，解得1=子则F为4C的中点由 为ma成1写 D,E0.F分别为PB,PA,BC,4C的中点，得DE/B,DE=B 0F/AB,OF=2AB.即DE∥0F,DE=0F,则四边形0DEF为平行四 边形，EF∥D),EF=D0.又EF￠平面AD0,D0C平面ADO,所以 EF∥平面ADO, 2.(1)证明：以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在 直线分别为x轴、y轴：轴，建立空间直角坐标 系.如图.则C(0.0.0),G2(0.0,3),2(0,2,2),D D(2,0,2),A(2,2,1)B2C=(0,-2,1). ① A元=(0，-2.1).B,C∥Ad又 (2)证明：因为AB⊥BC.过点B作：轴⊥平面BAC,建立如图②所示 BC2,AD不在同一条直线上，B,C2月 A2D2. 的空间直角坐标系.A(2.0.0),B(0.0.0).C(0.22.0),0(02. (2)解：设P(0,2.A)(0≤A≤4)，则AC= 0).00=1 2,0=50= 2 .在△BDA中，s∠PBA= (-2,-2,2),PC2=(0.-2.3-A）,D2C2=(-2, 3 15 0,1).设平而PA2C1的一个法问量为#=(x,y,:),则 DB+AB-DA .24 n·4C2=-2x-2y+2z=0, .6 在△PBA中.P12=PB2+AB2 2DB·AB 6 n·PC2=-2y+(3-A):=0. 令=2，得y=3-A,x=A-1,n=(入-1， 26 *2 3-A,2).设平面AC,D3的一个法向量为m=(a,6,).则 6 =14.设P(x,y,),由 m·A2C2=-2a-2h+2r=0. 2PB·ABs∠PB4=6+4-26×2×-6 令a=1.得b=1.c=2,.m=(l,1 (m·DC=-2a+e=0, P1=I4, (x-2)2+y2+2=14 2)1cms(m,m）1=n:m 6 PB=6,可得x2+y2+:2=6. 取x=-1.则y=2,:=/3. mm6×4*(A-2+(3-A了 PC=6 x2+(y-22)2+2=6. 3 1eos150°1= ,化简得A2-4M+3=0,解得A=1或A=3P(0,2. 所以1则（号）所以（分受） 1)或P(0,2,3),B,P=1. 3.(1)证明：如图，连接AE,DE.因为E为BC的中点，DB=DC,所以 1动-2a.o.-(号号）底-（分 DE⊥BC.因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与 △ABD均为等边三角形.∴，AC=AB,从而AE⊥BC.又AE∩DE= 25）.成=(1.2.0).设平面00的一个法向量为m=( 2·2 E,AE,DEC平面ADE,所以BC⊥平面ADE,而ADC平面ADE所以 BC⊥DA. (2)解：不妨设DA=DB=DC=2.:BD⊥CD,+BC=22,DE=AE ),则/%·而=0. (-2x1+/2y1=0, 得 53 令x1=1,则y1= (n1·i=0, V2,AE2+DE2=4=AD..AE⊥DE又，AE⊥BC,DEOBC=E,DE 21+2+21=0, BCC平面BCD,AE⊥平面BCD.以E为原点，ED,EB,EA所在直线 2,1=3,所以n1=(1,2,5).设平面BEF的一个法向量为2= 分别为x轴、y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 n:·B=0,L23 m2·E= 0得2+2+2=0.令3=2，则 (x+w2为=0， 2=-√2,2=0，所以2=(2，-√2,0)，m1·n1=2x1+√2x(-√2)+0= 0,所以平面AD0⊥平面BEF, 则D(2,0.0).A(0.0.2).B(0.2.0),E(0,0.0),设平面D4B与 平面ABF的一个法向量分别为n1=(x1为)，n2=(x22,):二 而角D-AB-F的平而角为8，面店=(0,2.-2).因为E录=D= (-20,2).所以F(-2,0,2),即有=(-2,0,0)， 六{一2+2=0取，=1，所以m,=(1.l.-2=0取 2y1-21=0 -√2x2=0. (3)解：平面AD0的一个法向量为m,=(1,2,3),平面AC0的一个 为=1.所以1=(0.1,1)，所以1091= m,1山n'3xw23,从 法向量为m=(0.0,),所以ms(n4,》=”: 面血：√否停所以二商角-F的正孩值为号 1n,·3+2+3 参考答案黑白题19 因为m,e[0,],所以n(.〉=-(，：= 2 冬，放二面角0-G的正装值为号 第一章综合训练 1.B解析：在空间直角坐标系0xz中，点(3，-4.5)关于x轴对称的点 则A(0.0.0).B(3,0.1).C(0.6,1),S(0.0.1).F(3.6,0).可 为(3,4.-5).故远B 2.C解析：因为a∥b.则a=Ab,即(m+1,0,2m)=A(6,2n-1,2),所以 知啡60是的中点，则o(停5）可特=5.0， m+1=6A, A花=(0,6,1)，4i= 0=A(2-).解符m=了放选C 停誓；）设平省c的一个法向量为 2m=2入， n=(x,,2,则 n·访=3t:=0令x=2,则y=1,-6,可得 3.C解析：如图所示，由空间向量加法运算可知G=市+市+不， m.元=6y+=0. 6 故A正确：BD=+Ad+DD=-A正++国，故B正确：=A+ 丽+B-而+，故c格误成-+丽+B+ n=(5,山，-6)，所以球心0到平面BC的距离=石.n1. 3 6故选1 丽+BC.放D正确故选C 8.C解析：如图.取BC,AD的中点H,G,连接GH,与AC交于点O.因为 四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF是等腰三角形.所以GH⊥ BC,连接FH,EG.则FH⊥BC.又GH∩FH=H.GH,FHC平面EFHG 所以BC⊥平面EFHG,又BCC平而ABCD,所以平面ABCD⊥平面 EFHG.以0为坐标原点，过O作平行于AD的直线为x轴，在平面 EFIG内过O作垂直于平面ABCD的直线为：轴，O川所在直线为 y轴，建立空间直角坐标系 4.C解析：因为A(1.1,1).B(1.0.1),BC=(1,-1,1).所以B=(0,1. 0).所以瓜在成上投影的长度d=·应-山.区 33所以点A 列直线c的距离为V园P-子√于-故选C G-00 5.D解析：由题图可知A正=A+即，则店·AP=A店.(A亦+丽)= 设Fem0≤m≤1).则N:m在等腰三角形F中，m A应+店，B.因为正方体的棱长为1，AB1BP,所以A店·B配=0， √3-I=√2，易知梯形EFHG为等腰梯形，过点F作Q⊥GH,则 A店.Ap=+.B丽=1+0=1，故集合yy=A店.证，=1,2,3， …,8中的元素个数为1.故选D. 6.C解析：，PA⊥平面ABCD,∠BAD=90,,以A为坐标原点， 3 AD.AB,AP所在直线分别为x轴y轴：轴，建立空间直角坐标系.则 -1.小则时-（号。三，牙）两以 c11.0.0(分0，）d-(1.)易知平面P ((g 2m+5 的一个法向量为n=(L,0,0).设CQ与平面PAB所成角为0，则 1 √侣气出)欲所等致，数得最小值故选c n9=lmd.m1=可.22散选C 9.ABC解析：对于A,若有空间非零向量a,b,a∥b,则存在唯一的实 1C011mlV2四 29 数A,使得6=a,放A正确：对于B,亦：号可g成：g元 4 a成i成，+成.即。成成 故P,A,B,C四点共面，故B正确；对于C,因为a∥b,则存在实数A, 4=Ax, 使8a.即22以，新得化子故c正确：对于D,若可，应 x=A. 元是空间的一个基底.则0.A,B,C四点不共而，故D错误故 选ABC 7.A解析：因为三棱锥S-ABC的三条侧棱5M,SB,SC两两相互垂直， 10.AC解析：对于A,由店=河知E是PD的中点，故底=（丽 且AB=2.C=3,AC=7.所以以SA.SB,SC为棱构造长方体 S42+.SB2=4, (SA=1. 励=（市-=号办-位，放1正确：对于B AEFG-SBDC,则 S2+SC2=7,解得 SB=√3，如图.以A为原 不妨取4店=a,A心=b,币=c,则1a1=1b1=1c1=2,因为PA⊥平 SB2+5C2=9, 5C=6, 面ACD.底面是边长为2的菱形，LABC=号，放ab=-2.ae 点，AE,AG,AS所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐 标系， b:e=0,于是由选瑰A知成：c-a+号6，放1成1 选择性必修第一册，RJA黑白题20 bc.ab.atzb.c= 平面C的一个法向量为m=(,,则：方0即 m.A亿=0， √8=22，故B错误：对于C,仿照选项B的向最取法，丽.币=(c a)(b-a)=1a12-a·b=6,故C正确：对于D,如图，过点D作直 {6+=0,令x=2,可得m=(2,3,6),所以点P到平面ABC的距 -6x+2:=0. 线AB的垂线DH,垂足为H.则由PA⊥平面ABCD得PA⊥DH.故 D⊥平面PAB,即DH为点D到平面PAB的臣离.在△AHD中， 离d=A泸，mL186一=，，即该石雕最药点P到地面的路」 m 33.又因为E是PD的中点，故点E到平面PB的距 DH=2sin 放答案为 南为 离为气，放D错误放选C 15.解：(1)因为AB=3,BC=4,LABC=120,所以B.B屁-1Bi. IB元1ee(B,BC=3x4×os120°=-6. 1山A0D解折：由题意知，，市=店，可=市·可=子4正 (2)因为Ci=C成++A,所以1C2=(C成+Bi+2=1C12+ B12+i12+2(C,B+B·Ai+C丽·A币)=16+9+25+2(4× 店-杯花+店-不=动杯-=+而-子杯扇 3×s60°+3×5xe0=60°+4×5xes90°)=77，所以CD=1CD1=√T7. 16.解：(1)设C=a,C=b,CC=c,a,b,c构成空间的一个基底因 -成.则店成亦-办号不应号不…市0， 为AC=CC-(Ci+C店)=c-(a+b),所以1AG2=AC= 在，丽=店，不=店，不+而.不号号0 c-(a+b)]2=c2+a2+b2-2a·c-2b·c+2a·b=12-2×2×2× cs60°=8，所以AC1=2w2. 故A正确，B错误：BD=AD-A店=市+A-A成.则1BD1 (2)因为CM=a+b+c,DC=c-a,所以cM·DC=(a+b+e)·(c- √T+1+1-=2,故C正确：显然有BD1AC,且D=1,又配· a)=c2-a2+b·c-a·b=0.所以C⊥DC,所以异面直线C4,与 DC,所成的角为90. A=(A-·d=而.Ad-店.A=0,故BD1AM1从面易 17.(1)证明：如图①，取PD的中点N,连接MN,CN,因为M为PA的中 得币是平面ACC,A,的一个法向量，B丽.励=(A+国-A)· (-加1宁号子11，设m与平面0c所我 点，所以N/AD,MN=2D,由∠BD=∠ABC=90,故BC/AD, BC=三D,所以MN∥BC,MN=BC,放四边形BCNM为平行四边 角为6，则血=1m(丽，励)1：受所以直线m,与平面 形.所以BM∥CN,BMt平面PCD.CNC平面PCD.所以BM∥平 面PCD. AC,4,所成角为子，放D正确放选ACD 解析：a·b=(2,1,2)·(1,1.-1)=2+1-2= ① (2)解：如图②2.取AD的中点D.连接PO,C0.由A0∥C.A0=BG= ()故案为（行） 号0，即四边形AB00为平行因边形，又∠BD=90.则∠G0A 13.90°解析：如图，设(A元.B励)=(0°≤0≤180).则二面角的大小 0,即C0⊥AD,△PAD为等边三角形，则PO⊥AD,由平面PAD1 平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD=AD.POC平面PAD.所以PO⊥ 为8， 平面ABCD.以0为坐标原点O元，O品，O币分别为x轴、y轴z轴的正 方向，建立空间直角坐标系， CA1AB.AB⊥BD,A元.A=币.A=0.(C.B)=180-8.故 Ci12=(C+A成+2=C2+12+B面2+21C11i1· D e0s(180°-8).故(52)=32+52+42+2×3×4×(-w0).故cwg0= 0,8=90°.因此所求二面角的度数为90°.故答案为90°. 14.4 解析：如图，补齐为正方体，设AD=a,BD=b,CD=e,则 设AB=m(m>0).则A(0.-1,0),B(m.-1,0),C(m.0,0).P(0,0 AB2=n2+62=52. 3).D(0,1,0),所以币=(0,1,3)，=(m,0,0).币=(0,1， AC2=a2+2■40解得a=6.b=4.e=2.即该石雅所在正方体的棱 -3),P元=(m,0,-3).设平面PAB的一个法向量为n=(y,), BC2=2+e2=20. 期m+3:=0令=-1，则n=(0,5,-1),所以1m元。 长为6m以D为原点，DA,DB.DC所在直线分别为x轴、y轴，：轴： (n·A=m=0, 建立空间直角坐标系，则D(0,0.0),A(6.0.0).B(0.4.0),C(0. nI= P元·n 5佰 0,2),P(6.6,6),A=(0.6.6),A=(-6.4.0).A元=(-6,0,2).设 成m20可得m=2.,即B的张为2 参考答案黑白题21 18.(1)证明：如图，取A,B,的中点D,连接DB,DE,则DE∥B,C1∥BC, )1.7v26 DE=BC=BF,所以四边形DEFB为平行四边形，故EF∥DB. 265 选择条件2：在平面ACC,A,中，过点C,作C,0⊥AC于D,连接 又：EFC平面ABB,A,DBC平面ABB,A,所以EF∥平面ABB,A, OB.平面ACC,A,⊥平面ABC,且交线为AC..G,O⊥平面ABC 3 (2)解：选择条件①：Sac=子x4=45,设C,到平面BC的距离 又：C,C与底面ABC所成的角为60，，∠C,C0=60°，从而求得 C,0=2√3，C0=2,如图，以0B,0C,0C,所在直线分别为x轴 为A,则e了45=h=25.取C的中点0，连接G0, y轴z轴.建立空间直角坐标系，后续步骤和①相同. 选择条件③：取AC的中点0，连接C0.0B.则EC1=AO=(0C=2,且 OB,如图，以OB.OC.OC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴.建立空 EC1∥AO,∴.四边形AEC,O是平行四边形，∴.AE∥C,O.又：C,C∥ 间直角坐标系， B,B,∴.∠OC,C即为异面直线BB1与AE所成的角，即∠OC,C= 30.在△G,0c中，由正弦定理可知，nL0c,cm∠Cc即 im30°“m∠C00m∠C,0C=1dLC,0C=90,从而可得 2 4 C,0=23,如图.以OB,0C,0C,所在直线分别为x轴y轴：轴，建 立空间直角坐标系，后续步骤和①相同. 19.(1)证明：因为p·a=1(2b-a3)+a2(asb1-a1b)+a(a1b- a,b,)=a:a3b-01a3b+a203b1-3a1b3+a3,b-a3a3b1=0,所以p1 则A(0,-2.0),B(25.0,0).A1(0,-4,23).E(0,-2,23). a,即p10i因为p·b=b(b,-a3b2)+(a3b,-m1bg)+b(ab F51.0.c0号2）=252.0.=0.-2.2 a2b1)=b1azb3-b1a32+h23b1-h31b3+ba1b2-b32b1=0,所以p⊥ b,即p1OB.又因为OA∩OB,所以向量p为平面04B的法向量 (525).成(0智）设平面4，的个 (2)解：∠0B=a·6 3 法向量为“=(x,),则 0。即25t20。令 u·Ad=0,(-2x,+23:1=0. =25m=lalIbisinLAOB=3x3x2 3 =62.由a=(1, 1=1,则a=(1,-5,-1),设平面EFG的一个法向量为=(2， -1,7),b=(0,-3,0),得a×b=(37,0,-3),所以1a×b1= ),则…立-0 (3x2+3y2-25a=0, √63+0+9=62，所以SW边0wn=a×b1. 即 lv·EC=0, 104W3 (3)解：设点C到平面OAB的离为，0元与平面O4B所成的角为 33=0, a,则=S可边形4om·4=aXb1 lelsin a,由(1)得向量p为平面OAB 即5+5之0令=2.=（么5，号 的法向量，则1cs(axh,c)|=sina,又I(axb)·c=la×h1tcl· .cos 0=Icos(. eos(a×b,c〉，所以V=I(axb)·cl. (102-452=0, 第二章 直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 5.C解析：由直线经过A(2,0),B(1,3)两点，可得直线AB的斜率 5-0 2.1.1倾斜角与斜率+ 为k=1-2 =-3设直线AB的顺斜角为8，则n8=-√5.又 2.12两条直线平行和垂直的判定 0°≤8<180°.所以9=120.故选C. 白题 基础过关 4 1.B解析：对于A,垂直于x轴的直线没有斜率.A错误：对于B.直线 =4或 、6B解析：设(x,0)或0，).则a或=子，即三4 倾斜角的取值范围为[0，π)，B正确：对于C,垂直于y轴的直线的倾 斜角都为0，C错误：对于D,直线的顿斜角为a,则inae[0,1], 4与=4，解得x=2或y=-8,赦点B的坐标为(2.0)或(0，-8).放选B 3 D错误故选B, 7,D解析：设直线1的倾斜角为a,则a@[0.π).由直线1的方向向量 2.BC解析：直线1，山，3，的斜率分别是k1,k,,,&:,倾斜角分别 是a02,a,由倾斜角定义知0<<a<2a>2,a=0 行 可知直线的斜率=■a=百.所以。一怎放选D ,g2<1<a<a3,故C正确：由k=tna.知k2=0.43<0.0<k1<k: 8.D解析：因为直线1经过点A(-1,2),且不经过第三象限，所 .k,<k2<k1<,故B正确.故选BC. 以u≤≤Q又m-号-2.所以-2≤≤0放选n 3.BC解析因为直线的顿斜角的取值范围为[0，T),所以当开≤a< 9,A解析：由题意点A(2,-1),B(3.m),则直线AB的斜率为k= 年时，直线么的倾斜角为。牙：当0≤a<时，直线的颜斜角为 alme厚1店-可小ua1e【厚s]设 m+1 (行小-平a故选C 直线AB的倾斜角为《，：直线倾斜角的取值范围是[0，示).∴当 4.不存在或1k≤-1或k≥1解析：当倾斜角a=0时，直线1的料 3 ≤6n<0时，≤a<:当0≤km≤3时，0≤a≤综上，直 6 率不存在：当《e[45°，90°)时，直线1的斜率k=ana爸[1，+0)：当 a∈(0°，135]时，直线1的斜率k=n在e(-,-1]. 四重难点拔 载仙的倾斜角的取有面明为]心[侣)放选入 10.(-x,2)U(3.+x）解析：根据题意得m-11,即m2,且斜 1.由直线领样角的取值范国求斜率的取值范围或由斜率的取值范图 求直线顺斜角的取值范图时，常借助正切函数y=anx在[0，π)上的 率k=3m<0,即(3-m)(m-2)<0,解得m<2或m>3.实数m的 单调性求解，这里特别是注意，正切函数在[0，T)上并不是单调的： m-2 2.拉一定点作直线与已知线授相交，求直线斜率的取值范围时，应注 取值范围是(-x,2)U(3,+x).故答案为(-x,2)U(3,+x) 意顿斜角为行时，直战的斜率不存在 1+23 11, 4) 餐折：知调n吕-4n得 选择性必修第一册，RUA黑白题22