第1章 空间向量与立体几何（拔高练）-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

进阶 突被 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 3.(2024·河南南阳高三期末)三阶行列式是 1.(2024·福建泉州高二月考)正多面体也称 解决复杂代数运算的算法，其运算法则如 柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构， 是所有面都只由一种正多边形构成的多面 下： a b2c3+azbac+a3b c2- 体（各面都是全等的正多边形）.数学家已 C S 经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即 ab291-a2b1c3-a1b,c.若a×b= 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面 i j k 体、正二十面体.如图，已知一个正八面体 ,则称a×b为空间向量a与b ABCDEF的棱长为2，M,N分别为棱AD,AC 2 的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为 的叉乘，其中a=x,i+y1j+xk(x1,1,1∈ R）,b=x2i+y2jtzk(x2,y2,2eR）,{i,j,k 为单位正交基底.以0为坐标原点、分别以 i了，k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建 立空间直角坐标系，已知A,B是空间直角 坐标系中异于0的不同两点。 A.S B.1 (1)①若A(1,2,1),B(0,-1,1),求 6 6 D.5 6 6 OAxOB: 2.如图所示，四边形ABCD是矩形，EF∥AB, ②证明：0A×0B+0B×0A=0. AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为 (2)记△AOB的面积为SA0B,证明：S AAOR= 2的等边三角形，G是AD上一动点，求FG ↓1Oix0B1. 的长度的范围. (3)证明：(0A×0B)2的几何意义表示以 △AOB为底面、IOA×OB1为高的三棱锥 体积的6倍. 进阶突破·拔高练阿 12空间向量基本定理 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.(2024·湖北咸宁高二月考)在四面体 1,(多选)(2024·安徽合肥高二期中)已知正 ABCD中（如图），平面ABD⊥平面ACD, 四棱柱ABCD-AB,C,D,的底面边长为1， △ABD是等边三角形，AD=CD,AD⊥CD,M AA,=2,点P,Q分别满足A,P=AAB+uAD 为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边 界)，若MN=xAB+yAC+:AD(x,y,:∈ AA,A,u∈[0,1]，C0=mCC,m∈[0,1]. R),则下列正确的是 甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立 体几何》这一章的知识对其进行研究，各自 得出一个结论： 甲：当m=2时，存在入业，使得，户10丽 乙：当m=2时，存在A,使得1A+P01= A.若x=则NN/平面ACD 23: B.若z=0,则MN⊥CD 丙：当m=7时，满足D户⊥A的X,的关 8 C.当MN最小时，x=4 系为入=μ； D.当MN最大时，x=0 2.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的 丁：当m=时，满足A,户10亦的点P围成 16 重心，点M在PG上，且PM=3MG,过点M 区域的面积为” 任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于 点D,E,F,若P元=mPA,PE=nPB,PF= 其中得出错误结论的同学有 ,元求证女女为定值，并求出该定值 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.棱长为1的正方体A142444-A,46A,4g的八 个顶点分别为A1,A2,…,Ag,记正方体12条 棱的中点分别为Ag,A0,…,A0,6个面的中 心为A1,A2,,A6,正方体的中心为A 记m,=A,A,·AA,je{1,2,…,27,其中 AA,是正方体的体对角线.则m1+m2+…+ m27日 O2黑白题数学|选择性必修第一册·RJA 1.4空间向量的应用 2.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB= 知识点一》用空间向量研究位置关系 BC=kPA,点O,D分别是AC,PC的中点， 1.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为 OP⊥底面ABC 矩形，SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=1,AB=2, (1)求证：OD∥平面PAB. SD=√3.E为CD上一点，且CE=3DE. (②)当k=时，求直线PA与平面P8C所成 (1)求证：AE⊥平面SBD 角的正弦值. (2)M.N分别是线段SB,CD上的点，是否 (3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影 存在M,N,使MN⊥CD且MN⊥SB?若 恰好为△PBC的重心？ 存在，确定M,N的位置：若不存在，说 明理由。 进阶突破·拔高练03 知识点三》用空间向量研究距离 2.异面直线1，2上分别有两点A,B,则将线 1.(2024·四川成都七中高二月考)如图，正 段AB的最小值称为直线L,与直线I2之间 四面体A,A,AA4 的距离.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ (1)找出依次排列的四个相互平行的平面 平面PBC,PB⊥PC,点D为线段AC中点， a1,a2,a3,a4,使得A,∈0(i=1,2,3, AP=BP=CP=1.点E,F分别位于线段AB, 4),且其中每相邻两个平面间的距离都 PC上（不含端点），连接EF 相等.请作出满足题意的四个平面，简 要说明并证明作图过程： (I)设点M为线段EF的中点，线段EF所 (2)若满足(1)的平面a1,a2,,&4中，每 在直线与线段AC所在直线之间距离为 相邻两个平面间的距离都为1，求该正 d,证明：lDMI>d: 四面体A,A2A,A4的体积 （2)若瓷661).用含6的式子表示 线段EF所在直线与线段BD所在直线 之间的距离 04黑白题数学|选择性必修第一册·RJA 知识点三三马》用空间向量研究夹角 2.(2024·湖北襄阳高二期末)如图，四边形 1.(2024·四川宜宾高二期末)如图，在三棱 ABCD为矩形，△ACD≌△ACE,且二面角 柱ABC-A,B,C,中，四边形ACC,A1是菱形， C-AB-E为直二面角， E,F分别是AC,A,B,的中点，A,E⊥平面 (1)求证：平面ACE⊥平面BCE: ABC,∠ABC=90° (2)设F是BE的中点，IAEI=1,IBEI=A, (1)证明：BC⊥EF: 二面角E-AC-F的平面角的大小为0， (2)若AB=2,点A1到平面BCC,B,的距离 当λ∈[2,3]时，求cos0的取值范围， 为2领 ),求直线EF与平面A,BC所成 角的正弦值 进阶突破·拔高练05进阶突破·拔高练参考答案 第一章空间向量与立体几何 1y2k-x2yk-2xj-y2i=(y12-y21,1-21,x1为-2y),将x2 与，互换，为与互换，2与互换，可得丽×0=(1 1.1空间向量及其运算 2-12x21-x),故0i×0i+0i×0i=(0.0.0)=0 (0.02 1,D解析：连接BD.如图所示： (2)证明：因为sin∠AOB=√1-os2∠A0B= 1o12102 √o212-(ō.0 IOA1OBI ,所以saw=宁010·血L408= VP102-(a:0P.故要证5am子0ix01,只 证0×0成1=√o102-(o.0)2,即证10×0成2= 030成12-(.0丽)入由(1)知0=(1，)，0成=( 由避意，可得成=-函=}花-成，F前=成+=+成： 为)，0x0丽=(-y2,2-212-2）.所以10× 号而-应，又因为正人面体CDEF的按长都是2.且各个面都是 012=(12-1)2+(1南2-2)2+(x12-21)》2=++ +++-212-21x51-2x1221又10i12=x 等边三角形，在△ABD中，由AB=AD=2,BD=22,可得AB2+AD2= 7+,10成12=好++号，(0·0丽)2=（为+方3+）》尸，所以 即所以AB140,所以应，威=（市-店）（行花-应） 010丽12-(0.0丽)2=（后+7+）（号+乃+）-(+ 12+12)2=话+好+++月+-2y12y2两 号花市.应号.花x2x2x0 221-221.则10x0成2=101210币2-(0.0市2成 立.放saw0面 √-d.√2-2x2x21-2 （3)证期：由(2)知sae宁可x0l,得(0x02=1aix0 }ix21x=5aw·2ix1,做(2= 5,=√号动--√：动 356m·可x0x6,放（可x:的几何意义表示以△OB为 √402=04=5，所以1m《成1 底面，1O×01为高的三棱锥体积的6倍 1.2空间向量基本定理 . 2 √15 11B5xw36 即直线BN和FM夹角的余弦值为 1.C解析：因为AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,平面ABD门平 面AGD=AD,CDC平面ACD,所以GD⊥平面ABD,且BDC平 万故选D 面ABD,可得CD⊥BD.又因为点N在侧面BCD上（包含边界），设 6 2.解：连接AF,过E作FH∥BF,交AB于点H,如图所示，易得四边形 B=AC+μ成，且A,Ae[0,1],A+拟≤1，可得M=亦+B EFB为平行四边形，EF=2.AB=4,.AH=2.又AE=2.EH=2. A成励：+A(花-)*加（而-=（分A 六∠EA1=60.设AG=xA币(0≤x≤1)，则F元=A-A亦=xA币-(A+ 肚+A花4又因为=x+y花+：而.可得 成)=市-正-应，成=√（成正应 ,2女-2动.花.花方 y=A. 且A丛e[0,1门，A以≤1.对于选项A:若x=2A-4 =， V44-4*4=2,(）,当=号时.成取得最 2,则A=u=0,可得点N即为点B,显然MNn平面ACD=A,放A错 小值为T:当x=0或x=1时，F元1取得最大值为23，FG的长 误：对于选项B:若：=H=0,则B=A武，可得点N在线段BC上（包 度的范围是[1T,25] 括端点)，由CD⊥平面ABD,可知当且仅当点N为点B时.AN⊥CD: 故B错误：如图，过M作ME⊥BD,垂足为E,可符BE=BM· %∠ABD= BD.ME=BM sinLABD=3 BD. 3.(1)①解：因为A(1,2,1),B(0,-1,1),所以0×0成= i广k 121 =2i+0+(-1)k-0-j-(-1)i=31-j-k=(3.-1,-1). 0-11 ②证明：设A(,,),B(,,2),则0i×0成=yd+南2+ 选择性必修第一册，RJA黑白题74 因为CD⊥平面ABD,AMEC平面ABD,则ME⊥CD,且BD∩CD=D, BD,CDC平面BCD,所以ME⊥平面BCD.可得MN▣√WE2+E2= +14(-2)×(号）0，即=0≤≤1.0≤≤.所以点 P的轨凌为△ABD中平行于边BD的中位线，当P为该中位线的中 BD+E心，对于选项C:当点N在点E位登时，MN最小，此时 W16 点时，A=4,当P不为该中位线的中点时，A≠4，故丙同学的结论错 讽：对于T同学，当m名时.Q.1,）可得=(-2 选项D:当点N在点C位置时，NE最大，即MN最大，此时A=1,4= 永=(-l1.）曲市1成.得-l)1)+=0,整 可得y=1:=0宁10：子傲D错说放法C 理得()广，(）广-士房以点P的轨迹为正方形 2.证明：如图，连接AG并延长交BC于L,由题意，可得P,PP元为空 间向量的一组基底， 的内切国，其区域的面积为（兮）广年=，放丁同学的结论错灵 2 放选ACD 2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0.0,0),A2(1.0 0),A(1,1,0),4(0.1,0),45(0,0,1).A6(1,0.1),A(1,1,1), A(0,1,1),设向量A,不=(xy,).而A1A=(1,1,1).故m=A A1A=x+:,故m,+m+…+m表示各点的坐标和的和设各点的横 坐标之和为X,纵坐标之和为Y,竖坐标之和为Z,根据对称性可得 X=Y=Z=1×9+ 2×9+0x9=27 故m…m=3号故 配成+成-成成成元 2 答案为 2 连接DM.因为点D.E,FM共面.所以存在实数A,4,满足i= AD+μD示，即P-Pi=A(P克-Pi)+μ(P序-P).因此P=(1-A u)P+aF序μP序=(1-A-u)mP+AmP+wP元，由空间向量基本 定理，知(1-Au)m=An=世= m n t 4μ=4.为定作. 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.4空间向量的应用 1.ACD解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由A,户=AA店+μ 知识点一用空间向量研究位置关系 不=币-A.Aae[0,1],可得A市=AA房+u.A,e[0,1】,所以 1.(1)证明：SD⊥AD.且SD⊥AB,AB∩AD=A,∴.SD⊥平面ABCD 点P为底面ABCD内一点（包含边界），则A,(0,0,2),Q(1,1,2m), 又AEC平面ABCD,:.SD⊥AE.在矩形ABCD中，∠DAB=∠ADE= D,(01.2.设P代.0)(0≤x≤1.0≤y≤1).对于甲同学，当m2 0E40.1 ADBF之△ADE与△ADB相似，则∠D4E=∠DB. ∴，∠DBA+∠EAB=90..AE⊥BD.又SD⊥AE.SDO BD=D..AE⊥ 时，Q(1,1,1).则4产=(x,-2).=(x1,y1.-1).若A10币 平而SBD (2)解：存在SD⊥AD,且SD⊥AB,∴.SD⊥平面ABCD.又：AD⊥ CD,,可以D为原点，分别以DA,DC.DS所在直线为x轴.y轴.：轴 然方程无解，则点P不存在，所以不存在A,以，使得A,产1Q币，故甲同 建立如图所示的空间直角坐标系， 学的结论结误：对于乙同学，当m=时，Q(1,1),点A关于平 面ABCD的对称点为A'(0,0,-2),连接AQ.A'P,则AP=A1P, 以 由题意可知D(0.0,0),B(1.2.0).A(1.0.0).C(0,2.0),S(0,0 5),=(-1,-2,5),DC=(0,2,0),假设存在M,N满足MN⊥CD 且MN⊥SB.M在线段SB上，可设B7=A=(-A,-2A,3A) (Ae[0.1]). D=Di+B7=(1,2.0)+(-A,-2,3A)=(1-A,2-2A, 3A).M的坐标为(1-A,2-2A,5A)N在线段DC上，可设N 所以A,产+P1=M+P≥1=√/个++3=，所以 (0,y,0),y∈[0,2]，则N=(1-A,2-2A-y,3A).要使MN1CD且 存在点P.使得1A,产+1P=23,即存在A4.使得1A,产1+P风1= 25,故乙同学的结论正确：对于丙同学，当m=时，Q(1,1。 元=0店=(-1，-2.5)成=(0,2.0)，可得 MN1sB.则i.=0. 子）可得0产=(1，-2)=（.1）曲0应1得 -2224-743=0.解释A-寸e0.1y=2e02. 2(2-2A-y)=0, 放存在M,N使MN⊥CD且MN⊥SB,其中M是线段SB幕近B的四 参考答案黑白题5 等分点，N是线段CD靠近C的四等分点 直线A,A,且过点0的直线为￥轴，直线00为y轴，直线OA,为：轴 2.(1)证明：因为0.D分别是AC.PC的中点，所以OD∥PA.因为0D 建立如图所示的空间直角坐标系， 平面PAB,PAC平而PAB,所以OD∥平面PAB. (2)解：因为AB=BC,0为AC的中点，所以B0⊥AC.因为OP⊥平 面ABC,以点0为坐标原点，O,O.0币的方向分别为x轴，y轴，：轴 的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 1 则(o.5)h(0）4(片0）4(0 0),因为n,B为4的三等分点，N为的中点。 设AB=2.则AC=VMB+=V2交-25，当k=号时， 6025小x(子合o小所以m( PA=2AB=4,则0P=√P-0=I6-2=4,则A(2,0,0) B(0,2,0),C(-√2,0,0)、P(0,0,14),设平面PBC的法向量 )网（尽）（女）* 为m=(x1,,),元=(-2，-2,0)，=(0，-2,4)，则 面A,PV的一个法向量n=(x,,:).则有 a…P0·即 m·成-2-2=0，取1=7则m=(7,-万，-. m.M=0. m.B前=-2y+141=0. 9-55+46:0取=1.则y=-月=-6，甲n=(,-5. (迈，0，-√14)，设直线与平面PC所成的角为0.则sin0= 3+3y=0, s(,m》=m=子=0.所以直线PA与平面P8C所 -6).又a,a,a,a4相邻平面之间的距离为1，所以点A到平 ）1+-5*0-6 4 成角的正孩值为 面A,P,N的距离为 =1,解 √1+(-3)2+(-√6)2 (3)设P0=3h(h>0).则P(0.0.3h).则△PBC的重心为G 2 得a=√0.由此可得，边长为√而的正四面体A1424A,满足条件. 3 号）则成=（子号小则成=(--i.0.成=0 所以所求正四面体的体积V=子M=,￥3 12055 3 2.(1)证明：因为在三棱锥P-ABC中，PA⊥平而PBC,PB⊥PC,所以易 -2,3孙)，若0在平而PBC内的射影为△PBC的重心.则OG⊥平而 得PA,PC,PB两两垂直，以P为原点，PA,PC,PB所在直线分别为 PBC,因为BC,BPC平面PBC,OG⊥BC,OG⊥BP,则 x轴，y轴，：轴建立如图空间直角坐标系，则P(0,0,0),A(1,0,0), 配.22=0. 11 33 601.0).0.0.).D(220故花=(-11,0).不妨设 解得h= .所以0P=3h=2,所以PA= 屁.成 3+32=0. 3 AE AB =(0<1<1),PF=r(0<r<1),则A2=1A=1(-1,0,1)=(-4.0,), VPm+0N=V2+2=2,所以k= =1,即当k=1时，0在平面PBC F(0,r,0).所以P2=D+正=(1,0.0)+(-4,0，)=(1-4,0，)，即 PA 内的射影恰好为△PBG的重心 B10.所u=-0.w(号子）m(子 知识点二用空间向量研究距离 2·2),要证D>d,只需证DW不是直线EF与4G的公垂线即 r-I t 1.解：(1)如图所示，取A44的三等分点P2,P3,A4的中点M,A4 的中点N,过2.P,M三点作平面2，过A,P,N三点作平面 因为AP2∥NP.AP∥P,且A,P2nP2=P,APONP=P, 可，假设DM是直线EF与AC的公垂线，则D⊥E序，成L花，敲 所以平面a∥平面a再过点A1,A分别作平面a1,与平面a平 -1 Di.=0. 行，那么四个平面a1,2,3,依次相互平行，由线段A,4被平行 即 2 (-1)+ 24 x(-)=0, 平而出，a:,a,a:限得的线段相等，知其中每相邻两个平面间的距 丽.A元=0， 整理得 离相等，枚四1,2，a影，a为所求平面.（注：也可将正四而体放入正方 2 *(-1)4 2×1=0, 体内说明) (-22+1+r2-r=0. 消去1.得2-2+1=0，即(r-1)2=0,所以r=1,不 L+r=1. 满足0<r<1,故假设不成立，所以D1>d. 54 (2)设正四面体的棱长为4，结合(1)有A,44的中点N,再取A4的 中点Q,连接A,Q交AN于0，则由等边三角形的性质可知0为 △A2A3A的中心，且A,0:OQ=2:1,则以0为坐标原点，以平行于 选择性必修第一册，RJA黑白题76 （a篇：不销设装-瓷=0aeD.周=之6.)得 0).励=（分子-1）底a1-,0-.因为c=c,所以 PF=PC-FC=PC-PG=1-1,则F(0,1-t,0),所以E=(t-1,1-t -),不妨设n=(,y,)是直线EF与BD的公共法向量，所以 E,n=(-1)x+(1-t)J-也=0， 配n= 令x=31-2,则y=1-2,z=21-2.故 1AD1=1AE1=1.1EB1=A,A(0.1.0),B(A.0,0).C(A.0.1). 2*+2-=0. r(分00）=01.od=(A.0.i=(1.0 n=(3-2,1-2,2-2),设直线EF与直线BD之间的距离为do.则 do=.nl 1-t2+t -2+t 因为 (分0,1）设平面C的法向量为m=.).则m:可0甲 (31-2)+(1-2)+(21-2)1472-24+12 {m.E元=0， 1,1 公01则四-（子01）设平面C约法向量为a= 1士6)，所以 Pk k-1 ,即线段EF √pf+2v12-24+ A 1424 力1).则} 0m之= nF元=0. A 2·名+1=0， 则a-（子-11)曲 所在直线与线段BD所在直线之间的℉离为一 1 (>1) √/12狄-24k+14 图可知二面角B-AC-F为锐二面角，从而有cs8=1ms(m,n)I= 知识点三用空间向量研究夹角 1.(1)证明：因为A,E⊥平面ABC,所以A1E⊥BC.取BC的中点M,连接 mm24T号小面Ae2. m·n A2+2 B.A,所以E∥AB,BW=级又因为RCLAB,.所以BC⊥m 则 1 因为EM∩A,E=E,EM,A,EC平面EWB,A1,所以BC⊥平面 EMBA1-又因为EFC平面EMB,A1,所以BC⊥EF. 105 (2)解：取BC的中点M,连接ME,MF,由(1)知MC.ME,MF两两垂 第二章 直线和圆的方程 直，如图.建立空间直角坐标系M江设A41=2a,AE=3a,BC=2h, 则A1(0,1,3a),(-b,0,0),C(b,0,0),B1(0,-1,3a).设平面 2.1直线的倾斜角与斜率+ BCC,B,的法向量为n=(,为，)，则有 n·g=0,y+5a,=0可取m=(0.5a,),由点A到平面 2.2直线的方程 m·元=0.(a,=0, 1.解：(1)设41的斜率为k,倾斜角为a,则=an,则马的斜率为 0C,月，的离为2厘..m.2602 ,设马的倾斜角为B,则-3 3 =ang.设两直线的夹角为y,则 7 ,解得a= -3 2(0.1.0).F0.0.6).F=(0,-1.6),AC=22. tan y=Itan(a-B)I tan a-tan B 1+tan atan B 1+(-3) BC=AB=2,武=(2,0,0).设平面A,BC的法向量为m=(2 3 店5，等号成立的条件是=±3，所以my的 为)，侧有} m·=0,+6=0可取m=(0,-石6,1).设直 m·BC=0.(22=0, 最小值为5，则两直线的夹角y的最小值为 31 线F与平面AC所成角为a六na=los(成.m1=立，m侧 k12=2. 1E11m (2)设直线PR,PQ,QR的斜率分别为1，，，则k=3,得 06+1,25即线EF与平面4，C所成角的正弦值为3 (kk1=6. 7x7 7 k1=2,k1=1,k3=3或61=-2.2=-1,63=-3，当k1=2,k3=1,k1=3 时，直线PR的方程为y=2(x-1),直线PQ的方程为y=x+1,联立得 P(3,4):当k1=-2,2=-1,k3=-3时，直线PR的方程为y= -2(x-1),直线PQ的方程为y=-x+1,联立得P(1,0),与点C重合， 舍去.故P(3.4). 2.解：(1)依题意直线方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0.即3mx+ 3x+my-y-6m-2=0,即(3x+y-6)m+3x-y-2=0,所以由 3x+y-6=0,解得 4 (3x-y-2=0, 了'故直线过定点r(手，2） y=2 2.(1)证明：因为二而角C-AB-E为直二面角，即平面AC⊥平而ABE, 又AB⊥BC,平面ABC门平面ABE=AB,BCC平面ABC,则BC⊥平 2)张装意设直线方程为=(。>0，>0).将P(手，2)的坐标 面ABE,又AEC平面ABE,即得BC⊥AE因为四边形ABCD为矩形 △ACD≌△ACE.则∠AEC=∠ADC=90,即AE⊥CE,BC∩CE=C. a+i+√a+0=12. 代人得4， 2=1①.则A(a,0),B(0,b),则 解 BC,CEC平面BCE,于是AE⊥平面BCE,AEC平面ACE,所以平 3a b 面ACE⊥平面BCE. (2)解：过E作EG⊥平面ABE,由(1)知AE⊥平面BCE.BEC平面 得化或名经其中化”不满足①，名满足①所以存在直 (b=4 BCE,故AE⊥BE,以E为原点，射线EB,EA,EG分别为x轴，y轴，：抽 非负半轴建立空间直角坐标系，如图. 线子号=1.即3+4-12=0满足条件 参考答案黑白题77