1.2 空间向量基本定理-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.2空间向量基本定理 白题 基础过关 限时：30min 题组1空间向量基本定理的理解 b,AM=c,点M是A,D,的中点，点N是CA, 1.(2024·江苏南京高二月考)在正方体 ABCD-A,B,C,D1中，可以作为空间向量的一 上的点，且C=c,若爪=a+b+c,则x+ 组基底的是 ( y+z= A.A店，A元，A B.AB,AA;,AB C.DA,D,Cr,D D D.AC,.A.C.CC 2.下列说法中正确的是 ( A.任何三个不共面的向量都可构成空间的一 个单位正交基底 (第5题) (第6题) B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正 题组3空间向量基本定理的应用 交基底 6.(2024·广东深圳高二期中)正四面体ABCD C.单位正交基底中的基向量的模为1，且互相 各棱长均为2，E,F,G分别是AB,AD,DC的 垂直 中点，则c.G示= ( D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单 位正交基底 号 B.2 C.1 3.已知e,e2,e,}是空间的一个基底，若Ae,+ 7.(2024·江苏无锡高二期中)在棱长为a的正 ue2te3=0,则入2+u2+w2= 四面体OABC中，点M在OA上，且OM= 题组2用基底表示空间向量 2MA.N为BC中点，则1M12为 ( 4.(2024·河南新乡高二月考)如图，在直三棱 柱ABC-A,B,C,中，E为棱A,C,的中点.设 BA=a,BB=b,BC=c,则BE= ) 8.如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，E,F分别 B 是BB1,D1B的中点，求证：EF⊥平面B,AC 1 A.2atb+ B. btc 29× 11 1 C.a+2b+2 D.atb+c 5.(2024·河北石家庄高二期末)如图所示，在 平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=a,AD= 选择性必修第-册：RJA黑白题006 黑题 应用提优 很时：35min 1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的5.已知i,j,k是空间的一个基底，设a,=2i- 一个基底，则一定有 ( jtk,a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a,=3i+2j+ A.a与b共线 B.a与b同向 5k.试问：是否存在实数入，以，v,使a4=a1+ C.a与b反向 D.a与b共面 :a2+ua3成立？如果存在，求出入，，v的值： 2.(多选)(2024·山东烟台一中高二月考)已 如果不存在，请给出证明。 知M,A,B,C四点互不重合且任意三点不共 线，则下列式子中能使M,M正，M元成为空 间的一个基底的是 ( A.o 4 B.MA=MB+MC C.0M=0A+0B+0C D.60M=0i+20B+30元 3.(2024·陕西宝鸡高二期末)如图，在四面体 0ABC中，Oi=a,0B=b.0元=c,点M,N分别 在线段OA,BC上，且2OM=MA,CN=2NB,则 M等于 A.、2 2 3+b+3 ”3 B.、 3x 39 12.1 12.2 C.3a3h+3 D 3a+ b+ 4.(多选)(2024·陕西榆林高二月考)已知i, 广，k是空间中三个向量，则下列说法错误的是 压轴挑战 ( A.对于空间中的任意一个向量m,总存在实 (2024·山东泰安高二期末)已知空间向量PA, 数x,y,a,使得m=xi+y+水 B.若i,j,k是空间的一个基底，则{i-3j, PB,PC的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为 j+k,k-2也是空间的一个基底 子点G为△AC的重心，则P元1 C.若i⊥j,k⊥j,则i∥k D.若ij,k所在直线两两共面，则ij,k共面 进阶突破拔高练P02 第一章黑白题007b.故选A 5.。解折：在平行大面体CD-4,BCD,中，因为点V是AA,的 (2)成.=(+)(+)=（c-a+子b）(a+ c)=c2-a2=22-22=0. 中点，点是C4,上的点，且=号工，所以=-矿 3)成.元=（武+·（元+n,C)=[(-)+ 专瓜号成-网)-瓜号（函+- }](*)-[}e-+](行*） 3 4 空到向量基木定理得“子一高了测：品故答案 6.D解析：因为E.F,G分别是AB,AD,DC的中点，四面体ABCD是正 12.解：(1)设A=a,Ai=b,d=c,由题意知：1al=1b1=1cl=2,(a. b)=(b,c)=(c,a）=60°，.a·b=b·c=c·a=2×2×os60°=2 四面体，且梭长为2，所以成.成=（武++正）·d BD:=BA+AA,+A D,=-a+c+b,.IBD;12=(b+c-a)2=b2+c+ a2+2b·c-2b+a-2c·a=4+4+4+4-4-4=8..1BD1=22,即 (}dd应）小d.d+. BD1的长为22， x/m xx 120 (2)A元=+i=a+b.A元12=(a+b)2=a2+2a·b+b2= 选D. 4+2x2+4=12i1=23,BD·A元=(b+c-a）·(a+b)=a 7.D解析：由题作图如图： +ac-a2+b2+hc-a…b=4s(m,花)= BD·A花 由0M=2A,得di=号成由N为Bc的中点。 BDACI ,店名，即B丽与花夹角的余弦值为6 得武成，则=++：}成++ 13.证明：PA⊥P℃，PB⊥PC,PA⊥PB 成号动+子花-号动 六p,P元=0，P.P元=0，P可.P市=0.PA1平面PBC .B元=0.由题意可知，PH⊥平面ABC. 衣应在正因面体0Bc中.易知∠0MB=∠04G=∠BC: .配=0Pi.店=0Pi.A元=0. ,=（号花+应)）广=号动+4 Ai.B=(pi-Pi).B元=Pi.B配-Di.B元=0. i上成，.AH⊥BC 4号动，花动，亦花.=号+ 同理可证BH⊥AC,C⊥AB.∥是△ABC的垂心 四方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以通过向量共线 确定点在线段上的位墨， (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角 8.证明：设A=a,A=b,Ai=c,有a·b=0,a·c=0,c·b=0,则 (3)可以通过Ial=√a,将向量的长度问题转化为向量数量积的间 题求解 应，不，市为一个正交基账，则成=丽+B市=子（丽+ 压轴挑战 可)=子网励=不+市-=6+c).丽-= B解析：如图.EF是棱长为8的正方体的一条体对 角线，其长度为V8+82+82=85.设EF中点为0 丽=，d=ab冠.丽=子beo）(e+b)=子(b 则o示=-0元.则呢.亦=(+0尼)·(W+0)= IaI2)=0.,EF⊥AB1,同理EF⊥B,C.:AB,∩BC=B1,,EF⊥平面 BAC. (n+0)·(M-0元)=12-10i2=1d2 黑题应用优 (43)2=1012-48.由于点M在正方体表面上运 1.A解析：由空间向量基本定理可知若向量a,b与任何向量都不能构 动，故102的最小值为0点与正方体面的中心连 成空间的一个基底.则一定有a与b共线故选A 线的长，即为正方体长的一半，为？=4，所以配·厅的最小值为 2.AC解析：对于迹项ACD,由0=x0+y0丽+：0元(x+y+:=1),可 42-48=-32.故选B. 得1，A,B,C四点共面，即，，M心共面，所以选项A中，，成. 1.2空间向量基本定理 M心不共面，可以构成基底：选项C中，.心不共面，可以构成 白题 区础过关 琴底：选项D中，因为6=+2成+30元.所以0=+ 6 1.C解析：因为向量D,A,D,G,D,D不共面，所以可以作为空间向量 号成成，可科M,公，C因点共面即可i,,正共面，无法构 的一组基底，面其他三组向量都共而故选C 2.C解析：单位正交基底中的三个向量必须是模等于1，且两两互相 成基底，故选项D错误：对于选项B,根据平面向量基本定理，因为 垂直的一组向量.放选C =店+元，得店元共面，无法肉成基底，故选项B错误故 3.0解析：1e1,e,e,是空间的一个底，e1,e2,e为不共面的向 选AC 量.又：Ae1ue3+e3=0,A===0,2+2+2=0 4.A解桥：由题意可得屁=丽+B,不正=丽++，C=丽+ 3.A解桥：由题意，得=心+：号成+0+成+ 威}花=丽}（成=威丽+ 号威号i}(=子r放选A 4.ACD解析：对于A,由空间向量基本定理，可知只有当，k不共面 参考答案黑白题03 时，i广，k才能作为基底，才能得到m=++k,故A错误：对于B.若10.A解析：因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+m=-2一m=-1.故 i了，k是空间的一个基底，则i,了.k不共面，设i-3=A(+k)+ 选A (A=-3. 11.C解析：由4=(-1.2.-1).b=(1,3,-2),得a+b=(0.5.-3), 4(k-2i)=-2+(A+u)k,则 -=1,因为A,从无解，所以i-3, a-2h=(-3.-4,3),所以(a+b)·(a-2b)=0×(-3)+5×(-4)+ A4=0. (-3)×3=-29.故选C. j+k,k-2i也不共面，所以1i-3可j+k.k-2i!也是空间的一个基底，故 12A解折：由腦查知子·气解得=2故法九 -4k B正确：对于C,若i⊥j,k⊥，则i,k不一定平行，故C错误：对于D, 若i,广，k所在直线两两共面，则i.j,k不一定共面，故D错误.故 13.D解折：由a⊥b可.a·b=(1,m,-2)·(-2,1,4)=-2+m-8= 选ACD. 0,解得m=10.故选D. 5.解：存在假设存在实数a,,u使a4=a1+ua+wa3成立，则有3+2+ 5k=λ(2i-j+k)+μ(i+3j-2k)+w(-2i+j3k)=(2λ+u-2)i+(-1+3u+ 14.B解析：设e=Aa=(A,-A,D)(AeR),由已知可得1e|= )j+(a-2u-3u)k.:ij.k是一个基底.+ij,k不共面. 2A4-2=3, =-2. 21,解斜A号故毒我 -d+34+#=2.解得{4=1. 15.C解析：点A(1.-2.11).B(4.2.3),C(6、-1.4).则AB= i-2μ-3和=5， u=-3. 3+4+(-8)下=89，BC=22+(-3)2+1下=14,4C= 放存在入■-2,4=1，=-3使结论成立 √5+12+(-7)产=√75，因为AC2+BC2=AB2,所以△ABC一定为 压轴桃战 直角三角形.故选C 3 解析：空间向量P,P,P元的模长分别为 16.35解析：由已知可得-a=(2,)-(1-4,1-4,)=(1+1,2-1, 1,23,且两两夹角均为于，如图，因为G为△ABC 0).六1b-a1=√1+1)2+(2-1)2+0=52-21+2= 的f心，所以+G成+C元=0，所以D-元+ P元+P元-P武=0，即3P元=Pi+P+P元.所以P= 5(写)号当1时.b眼最小值，最小值为35 故答案为 专康，2尼屁. 17.C解析：由已知可得A=(2,1,-3),C=(1,-3,2),所以cs(A, 。店.市 na"vnxm子 -7 +49+2x(x2xam号2x3xm号+x3xom 又（应）e0,],所以 答案为号 (应.动票放选C 18.D解析：向量a=(1,0,1),b=(x,1,2),由a·b=3,得x+2=3,解 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 得x=1,故b=(山，山，2，因此〈a,b)=0论子 1.3.1空间直角坐标系+ 3 3 1.3.2空间向量运算的坐标表示 可x了，ab》e[0,],则(a.b):行.所以向量 白题 基础过关 1.BCD解析：A.在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(， a与b的夹角为三故选D 6 0,0),∴.A错误：B.在空间直角坐标系中，在0z平面上的点的坐标 一定可写成(0，b,c),B正确：C.在空间直角坐标系中，在a轴上 解析：由题意得a·b<0且a,b不 的点的坐标可记作(0,0，c),.C正确：D.在空间直角坐标系中，在 O:平面上的点的坐标是(a,0,c),∴.D正确.放选BCD. -2x5(号）1 2.B解析：点P(5,4,-3),∴.点P到x轴的距离为√4+(-3)2=5 共线，所以 2 且以号故实 “解得15 故选 3 3.C解析：由题意知，在空间直角坐标系中，点(2，-1,3)关于x轴的 对称点的坐标为(2,1，-3).故选C, 4.C解析：根据点关于平面0y对称时，横坐标，纵坐标不变，竖坐标 数：的取值范为(，）(）故答案为(。 变为原来的相反数可知，点(3，-1，-4)关于平面0y的对称点为 (3,-14).故选C )(器) 5.0解析：由条件可知点P在平面Oy与平面0z的交线y轴上，由 20.解：设AB=1,以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A4,所 y轴上的点的特征知a=0,c=0,bER.枚a+e=0.故答案为0. 6.C解析：设B(x,y,).则A=(x-2,y+3,),故-2=1.y+3=2,: 在直线为：轴建立空间直角坐标系则(1.0,0)，E,（,了1C(1, -3.解得x=3.y=-1,:=-3,所以点B的坐标为(3.-1.-3).故选C 7.C解析：因为向量q在基底a,b,c下的坐标为(3.-1.1)，所以g= 1.o.0(}m(g1）可=( (3=x+y, 3a-b+e,设q=3a-b+c=x(a+b)+y(a-b)+2c,则-1=xy,解得 屈m(,g小（小名屈 1=2:, 5 y=2. /10 6 所以向量g在基底a+b,a-b,2c下的坐标为（2，号)） 06 =6,即E,与 3 2 故选C. 8.C解析：因为a-b=(0,1,-2),所以b=a-(0,1,-2)=(4,0,-2)- G0,所成角的余弦值为百 6 (0,1,-2)=(4.-1.0).故选C 9.A解析：a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)= 21.(1)证明：由题意易知B,4C,M,两两相互垂直，以4为坐标原点，A花： (-1,2.5).故选A. A凉，口分别为x,y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 选择性必修第一册，RJA黑白题04