1.2 空间向量基本定理(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.2　空间向量基本定理 1.A　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基向量，B，C都是A的一种情况；空间中任意两个向量都是共面的，故D错. 2.C　＝＋＋＝＋＋（－）＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 3.B　设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，＝a＋b＋c，＝＋＝c－a－b，设正方体的棱长为1，则·＝（a＋b＋c）·（c－a－b）＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直. 4.C　如图所示，＝＋＋＝＋＋（－）＝＋＋，故｜｜2＝（ ＋＋）2＝，则AM＝. 5.A　根据题意可得，·＝（＋＋）·（＋＋） ＝（－＋＋）·（－－－） ＝ － －＝×4－1－×4＝0，从而得到A1E和GF垂直，故其所成角的余弦值为0. 6.AC　由题意可得空间五点A，B，C，D，E共面，所以A，B，C，D，E这五点中，任意两点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以A、C正确，B、D错误.故选A、C. 7.ACD　依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D. 8.x＝y＝z＝0　解析：若x≠0，则a＝－b－c，即a与b，c共面.由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 9.－2　解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2. 10.解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，得｜a｜＝｜b｜＝｜c｜且a·b＝b·c＝c·a＝0. 所以＝b＋c，＝－c＋b－a. 所以·＝－c2＋b2＝0， 所以⊥，即CE⊥A'D. （2）因为｜｜＝｜a｜，｜｜＝｜a｜， 又＝－a＋c， ·＝（－a＋c）·（ b＋c）＝c2＝｜a｜2， 所以cos＜，＞＝＝. 所以异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 11.A　由题意得，点N在圆O所在平面内，所以｜｜的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高.设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥MO的轴截面为正三角形，所以圆锥MO的高为r，则圆锥MO的体积为πr2×r＝9π，解得r＝3.所以｜｜的最小值为3.故选A. 12.B　因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0，又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2.因此·＝｜｜·｜｜cos 45°＝2×2×＝4，所以·＝·－·＝4，又SA＝2，所以SC＝＝4，因此cos＜，＞＝＝＝，所以SC与AB所成角的大小为60°. 13.－1　解析：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以·＝0，因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1. 14.解：（1）如图，连接AC，由题意知，＝＋＝＋ ＝＋（－） ＝＋ ＝＋（＋） ＝＋＋. （2）由＝＋＋＋＝－＋＋＝－＋＋（－）＝（－）－＋＋（＋－）＝－＋＋＝（－＋3＋）， 又AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，则·＝·＝6×2×cos 60°＝6，·＝6×6×cos 60°＝18，因此， ｜｜＝ ＝ ＝＝. 15.解：为定值.理由如下： 连接AG并延长交BC于点H，连接DM（图略）. 由题意，可令{，，}为空间的一个基底， ＝＝（＋）＝＋× ＝＋×＝＋（－）＋（－）＝＋＋. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即－＝λ（－）＋μ（－）， ∴＝（1－λ－μ）＋λ＋μ＝（1－λ－μ）·m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理，知＝（1－λ－μ）m，＝λn，＝μt， ∴＋＋＝4（1－λ－μ）＋4λ＋4μ＝4，为定值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　空间向量基本定理 1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有（　　） A.a，b共线 B.a，b同向 C.a，b反向 D.a，b共面 2.已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足＝，N是BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为（　　） A.a＋b＋c B.a＋b－c C.－a＋b＋c D.a－b＋c 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　） A.重合 B.垂直 C.平行 D.异面 4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则｜AM｜＝（　　） A.　　　B. C.　　　D. 5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　） A.0 B. C. D. 6.〔多选〕已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均不共线.若{，，}与{，，}均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（　　） A.{，，}不能构成空间的一个基底 B.{，，}能构成空间的一个基底 C.{，，}不能构成空间的一个基底 D.{，，}能构成空间的一个基底 7.〔多选〕（2025·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1 8.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是 . 9.（2025·宁德月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝ . 10.如图，已知在直三棱柱ABC-A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB'的中点. （1）求证：CE⊥A'D； （2）求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 11.已知体积为9π的圆锥MO底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥MO的轴截面为正三角形.若空间中一点N满足＝x＋y＋z（其中x＋y＋z＝1），则｜｜的最小值为（　　） A.3 B.2 C.3 D.6 12.（2025·淮安月考）如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则SC与AB所成角的大小为（　　） A.90° B.60° C.45° D.30° 13.在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝ . 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，E，F分别为PB，PC上的点，且＝2，＝. （1）试用，，表示向量； （2）求｜EF｜. 15.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，则＋＋是否为定值？请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $