1.1.2 空间向量的数量积运算-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版2019)

1.1.2 空间向量的数量积运算 白题 基础过关 限时:30 min 题组1 空间向量数量积的概念及运篇 A.1 B.2 C./2 D.3 1.(2024·四川宜宾高二期末)在校长为2的正 7. 如图,在正方体ABCD-A.B.C.D.中,E.F分别 方体ABCD-A.B.C.D 中,AA ·BC=( ) 是C.D..D.D的中点,正方体的梭长为1 A.2/2 C.2 B.4/2 D.4 (1)求(CE.AF)的余弦值; 2.(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和对 (2)求证:BD1EF 角线长都为a.且E.F.G分别是AB.AD.DC # 的中点,则下列四个数量积中结果为-a的有 ( ) A.2BA·AC B. 2AD.B C.2C·AC D.2FF.CB 题组2 空间向量的夹角 3.(2024·湖南长沙高二月考)已知la|=22 #b1=2 4.(2024·辽宁沈阳高二月考)已知在直三核 柱$ABC-A.B.C 中. ACB=90*$AA =2.AC= BC=1.则异面直线A.B与AC所成角的余弦 值是 题组4 题组3 空间向量垂直的应用 空间向量的模 5.(2024·辽宁葫芦岛高二月考)已知空间向量 8.(2024·重庆济陵区高二月考)如图,平行六 面体ABCD-A.B.C.D. 的所有校长都为1.底 a.b.lal=1.lbl=2,且a-b与a垂直,则a ) 面ABCD为正方形,二A.AB=乙A.AD=60*.则$ 与的夹角为 ( 对角线AC.的长度为 ( D.45* ) B.30 A. 60d C. 135。 D. 6.(2024·河北石家庄高二期中)三校锥0-ABC 若CB10A,则0C= _ __ A.6 B.5 C.2 D.3 B 9.在空间四边形0ABC中,0A.0B.0C两两成 $$ 0角,且.0A=0B=0C=2.E为0A的中点.F 为BC的中点,则E,F间的距离为 第一章 黑白题003 应用提优 限时:45min 1.(2024·河北石家庄高二期中)已知A.B.C.D A. P.A.B.C四点可以共面 是平面a内不共线的四点,点0为平面a外 _ 6 C.1 D.3 D. cos(AF,C)-# 2.(2024·辽宁沈阳二中高二月考)设A.B.C.D 6 是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0. 6. 已知空间向量a.b.lal=2.lbl=1.a.b = 6 0^{*}.则使向量a+xb与aa-2b的夹角为钝角 AC·AD=0.AB·AD=0.则△BCD是( ) 的实数入的取值范围是 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 7.(2024·重庆江北区高二月考)如图,已知 C.直角三角形 D.不确定 $P$A平面ABC, ABC= 2 0*$.$PA=AB=B$C= 3.(2024·辽宁抚顺高二月考)如图,在四面 6,则向量PC在BC上的投影向量 体ABCD 中, BAC=60*,乙BAD= CAD=$$ 等于 $$ $ *$AD=②AB=AC=3.则BC·BD=( ) D.3/2 8.(2024·河北张家口高二期末)已知平行六面 4.(多选)(2024·辽宁沈阳高二期中)在四面体 体ABCD-A.B.C.D. 的所有校长都相等,且 ( ) P-ABC中,下列说法正确的是 BAD=$ A$AB= AAD=45^*$,则直线$ CD$$ A. 若D-4C2.则BC=2BD 与直线AD所成角的余弦值为 3 9. 在三校锥0-ABC中,0A10B.0A10C. B. 若0为△ABC的重心,则3P=PA+ $ B $0 C=6 0*$.$0A=0B=0C=2 .若$E为0A 的$ PB+P 中点,F为BC的中点,则EF= 10.(2024·山东青岛高二期中)如图,二面角a- C. 若PA·BC=0 PC·AB=0则AC·PB= 1-B的校上有两个点A.B.线段BD与AC分 D. 若四面体P-ABC的梭长都为a.点V.V分 别在这个二面角两个面内,并且都垂直于校 5.(多选)(2024·湖北武汉高二月考)已知空间 4.AC=6.BD=8.则CD= 单位向量PA.PB.PC两两夹角均为60*}.PA 2PE.BC=2BF,则下列说法中正确的是 ( )_过选红 选择性必修第一册·RJA 黑白题004 11.(2024·山东日照高二月考)如图,在长方 13.如图所示,已知P是△ABC所在平面外一 体ABCD-A.B.C.D 中,AB=AA.=2.AD=4.$ 点.PA1 PC.PB1 PC.PA1.PB.求证:P在平 E.F分别为AB,A.D.的中点.计算 面ABC上的射影H是△ABC的垂心. (1)BC·ED; (2)B·AB; (3) D 1/ 12.(2024·江西景德镇一中高二月考)如图,在 平行六面体ABCD-A.B.C.D.中.以顶点A为 端点的三条梭长度都为2.且两两夹角为 60.求: (1)BD.的长; (2)BD.与AC夹角的余弦值 压轴挑战 (2024·重庆巴南区高二期中)已知EF是梭长 为8的正方体的一条体对角线,点V在正方体 表面上运动,则ME·MF的最小值为 __ A. -48 B. -32 C.-16 D.0 进阶突破 拨高练PO1 第一章 黑白题005正文参考答案 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其线性运算 11 3-1.D是.故选D. 出题 1.A 解析:选项A:因为空间向量A与BA互为相反向量,所以空间向 量A与BA的长度相等,所以A正确;选项B:将空间所有的单位向量 故选C 平移到回一个起点,则它们的终点构成一个球面,所以B错误;选项 12.1 解析:.A.B.D三点共线..向量AB和BD共线,故存在实数A. C.空间非零向量可以用空间中的一条有向线段表示,但空间非零向 使A=aB.=B+c=B-D=6e.+6e,所以e.+ke.=6e 量不是有向线段,所以C错误;选项D:两个空间向量不相等,它们的 (6=1.解得k=1.故答案为1. 模可能相等,也可能不相等,如向量A与BA的模相等,所以D错误 6Ae。,故可得 t6=k. 故选A. 13.证明:连接A并延长,交BC于点H.M是△ABC的重心,:H为 2. BD 解析:对于A:零向量的方向是任意的,A错误;对于B:空间向 BC的中点:--(a).n---(+a)- 量不能比较大小,空间向量的模可以比较大小,B正确;对于C.D:模 相等且方向相同的两个向量为相等向量(即同一向量),所以C中向 #[(on-o)(0-)-oo-o.:o-, 量的长度可以相等,只要方向不同即为不同向量,C错误;D符合定 义,正确.故选BD. -(o+obo).又:o=o+a+D=o+o+o:o 3. ABC 解析:如图所示: A中.B+BB )-DCBC-DC=nC lo.点M在直线oOf上. C.D=BD;:B 中(4D-4)--AD-4=A B丽D;C中(-)+D=+DD=BD:D中. 1.1.2 空间向量的数量积运算 白题 (B.B-A)-DD=(BD-B )-D丽BD. ---C D. -B.故选ABC 1.D 解析:在校长为2的正方体ABCD-A.B.C.D.中,易知1AA1= 2.IBC 1-2V/2.因为1AA 1=1BB1.BB与BC的夹角为".所以A 4.解:DAF-EF-B+FF+C+FA=A+F+(A+B)(C =A+AB-A+ED=AD.AD.在图中表示略 (2)D+EF+BBAE=(BBD) BD =0+BD-BD.BD.在图中表示略 5.C 解析:M,G分别是BC.cD的中点.-π-画-- 2.AC 解析:如图所示,2可·AC-21B1. :AB+=A++r=A+=A故选C. [ACleos 120=2.cs 120=-a}:2A. Bb-21A11B1eos 60*=2a·a· cos 60*= ;2C·AC-21GFI·1AClcos 180=2·B 故选C. 7. A解析:依题意,画=+D=-DB=可(4- 2 故选AC. 口方法总结 4 解析:根据向量的夹角公式:co(a.b)-.b_\2 lallb 用已知向量表示指定向量的方法: (1)结合已知向量和所求向量观察图形 2 (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中。 (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示 出来 4.6 解析:由题意得乙CAB=45*,AB=②.A.=AB-AAA.B 8.ABC 解析:A.在平面内共线的向量在空间一定共线,故错误;B.在 ##-(an).·-vx12 空间共线的向量,平移到同一平面内一定共线,故错误;C.在平面内 2-0=1.又 共线的向量在空间一定共线,故错误;D.在空间共线的向量,平移到 同一平面内一定共线,故正确,故选ABC. IAB-AB-AA)=v2+4=6.1AI=1.caA.BA)= 9.D 解析:对A:若非零向量a.b平行,则a.b所在直线可能平行,也 A. 可能重合;若其中一个向量为零向量,则a.b所在直线位置关系不 1A.11A16x16 确定,故错误;对B:若向量a.b所在直线是异而直线,则a.b可以通 5.D 解析:因为a-b与a垂直,所以(a-b)·a=0.即a-a·b= 过平移从而共面,故错误;对C:若A.B.C.D四点不共面.则A.C 可以通过平移从而共面,故错误;对D:若A.B.C.D四点不共面,则 A.AC,A可以两两共面,但是三个向量无法共面,故正确.故选D. 0* (a.b)180*所以(a.b)=45故选D. 10. D 解析:对于A.0=20A-0B-0C中.2+(-1)+(-1)=01.A不 6.A 解析:由题意可知C-0B-o.而cB10A.故C10A.:C =o.即(0-o).0-0.所以0·0-o.0A-0.则1$2 "-210c1·co 是,对于c0M+0A+0+oC=化为O--0A-0-oC.-1+(-1)+ 参考答案黑白题01 .(1)解:A-+Dr-A.c=CC- ##0·- ##)#·(- 2-2. 解,所以不存在xy.使得PA.P.P共面,故P.A.B.C四点不共面. (2)证明:BDBD+D--AE=E+D-(A 故A错误;对于BP·+A)=P·(-+P-A)-P. (2--)-1-1-.故B正确;对于C.由问-2得 A4)BD.FF- .BDIEF 8.B 解析:由题知AC=AB+AD+AA所以AC=(AA+A)? ##--2得--22→# A?+1A+AA+21A·A1co 90+21AI·1AA1· #-,所以 可 cos 60-+21AA1·A1cos 60°-1+1+1+0+1+1=5.所以1AC1=v. #=- 则() 2 即AC.-5.故选B. 2 9# 解析:=+-+(A)-[(o ##v·-P·-· #)(-)b-o# 11+11+1-1-T- #2.故C正确:对于D.--可。 Pp-2P ##_x(-)+x-)# e .. (PP-2P)C 2 -.-2.1E1-2.即EF间的距离为. 4.故oAfc)co0.故D错误.故选BC. 题 6.(-1-3.-1^v3)解析:由题意知(a+ib)·(a-2b)<0. tcos(a+b,a-2b)-1. 即{(a+ib)·(ia-2b)<o. (+b)·(a-2)-la+abl·la-2b. -1-<<-1tv3. 2.A 解析:·(A-A·(A-A)-·. B)·B=PA·BC+A·B+B·BC=0+66 AA-Ao.:c B= #.4.故答案为# P在可上的投影向量为 >o.C·C>0.D和C都为锐角.:△BCD为锐角三角形.故选A 1BCC36 3.C 解析:·(A)·()A··-. ### +A=AUAICA-AuAIosBA-ACA 8.0 解析:因为A.D./AD/BC.A.D.=AD=BC.所以四边形A.BCD cos乙BAC+A1=3xv②2 为平行四边形,所以CD.//BA..所以直线CD.与直线AD所成角和 直线BA.与直线AD所成的角相等.又因为BA =AA-AB.所以BA· =(A4-A):A=A4:A-A:A=A4LAl45-A ADlcos45=0.所以直线CD.与直线AD垂直.即直线CD.与直 $A=A-A2=3B+即-3故A错 线AD所成角的余弦值为0.故答案为0 误;对于B:若0为△ABC的重心,则OA+0+O=0.:3P-3P 92解析:-o-o-(o:o)o.-(o; #=可+P故B正确;对于C可·=0.P #.可·.P:·)可· ##-)-(00+0+0-20.-0.o). ##. 又由已知得t-1010t010.10.0x :(CP)=A·=0故C正确:对于D #=p-(Pp(P-p 案为2. -1-,又:问! 10. 2VT7 解析:条件知CA·AB=.A·-o.C-CA+A+B 又二面角a-1-B的平面角为号,则().Ac)-吾,所以1。 -a+PB+PC-P.P-2P.P2P·P CA++·+··-+4 8*+2X6×8xes(-)-68.所以1Cb12v17.故答案为217. 11.解:(1)如图. 设A-a.A-b.AA-c.则la1= 5.BC 解析:由于单位向量可.P.P两两夹角均为60”,所以P。 l$ -2.lbl=4.a·b=b·e=c·a=B 确-p.p-P·p=1xixeos 60”-假设P.A.B.C四点可以 .EaA(c-a).B.n. (ED)-b.[(c-a) 共面,则PA.P.PC共面,所以存在x.y.使得PA-xPB+yPC.分别用 选择性必修第-册·PJA 黑白题02 #]-..b:bi16. b.故选A. 解析:在平行六面体ABCD-A.B.C.D.中,因为点M是A.D.的 (2)·AB(n)·(a+)(c-)·(at 中点,点N是CA.上的点,且C--CA,所以=Ax-A c)---2-2-0 (3)E}·FC(EA A)(FD+DC) (A-a) ##--4(a)-(-) 7]()-[(e-a)*](+)- 10 5 空间向量基本定理得,x= 4 -·b= 1b2- # 6.D 解析:因为E.F.G分别是AB,AD.DC的中点.四面体ABCD是正 12.解;(1)设AB-a.A=bAA =c.由题意知:lal=lbl=lcl=2.(a 四面体,且校长为v.所以·-(c)·- $)=(b,c)=c,a)=60”·b=b·c=c·a=2x2\xcos 60=$ 又:BD =B+AA+A D =-a+c+b IBD 1}=b+c-a)=b}+e (-)--d# a+$ b·c-2b·a-2c·a=4+4+4+4-4-4=81BD 1=2. BD.的长为22. (2)A=AB+A-a+b .C1?=(ab)}=a+2a·b+b}= 选D. 42X2+4=12..AC1-2/3.:BD·AC-(b+e-a)(a+b]=a. 7.D 解析:由题作图如图: BD· 由OW-2MA,得-oA.由v为BC的中点, b+a·c-a”+b+b·c-a·b=4.. cos BD.AC- 1 得--,则-++--o+A 13. 证明:-·PA1 PC.PB1 PC. PA 1 PB. .#.=o.P.=o.p·-0.PA平面PBC .P·BC=0.由题意可知,PH1平面ABC 60-、-000)-0 .-o.丽·=o丽·A=0 .·(画)=丽·-可·= .AB.AH1BC. 同理可证BH1ACCH1AB.:lI是△ABC的垂心. ①方法总结 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以通过向量共线 确定点在线段上的位盟。 (2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角 8. 证明:设AB=a,AA =b. A=c.有a·b=0.a·c=0.c·b=0.则 (3)可以通过lal=va,将向量的长度问题转化为向量数量积的问 为一个正交基底,则画+7-(丽 题求解。 B.D)#()-(A)-(bc-)#AB- 压轴挑战 B 解析:如图,EF是校长为8的正方体的一条体对 B==atb.·B-(bxe-a)·(at)-(1b- 角线,其长度为V8-+8*+8-8v3.设EF中点为0. 则--0.则r·=(1+0).(w+o) l*)=O .EF1AB$同理EF1B C .AB OB C=B .EF1平面 !: (+O).v-0)-10E-1 B.AC. (43)-1013-48.由于点M在正方体表面上运 需题 动,故10的最小值为0点与正方体面的中心连 1.A 解析:由空间向量基本定理可知若向量a.b与任何向量都不能构 成空间的一个基底,则一定有a与b共线.故选A. 线的长,即为正方体校长的一半,为8-4.所以·的最小值为 2. AC 解析:对于选项ACD.由OM=xOA+yOB+:OC(x+y+:=1).可 42-48=-32.故选B. 得M,A.B.C四点共面,即A.VC共面,所以选项A中, 1.2 空间向量基本定理 不共面,可以构成基底;选项C中...不共面,可以构成 基底;选项D中,因为6=0+2+30.所以-+ 白题 可础 1.C 解析;因为向量DA.D.C.D.D不共面,所以可以作为空间向量 --o.可得M.A.B.C四点共面,即A.共面,无法构 的一组基底,面其他三组向量都共面,故选C. 2.C 解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于1.且两两互相 成基底,故选项D错误;对于选项B.根据平面向量基本定理,因为 垂直的一组向量,故选C. =+MC.得A..共面.无法构成基底.故选项B错误,故 3.0 解析:e.e是空间的一个基底.e,.为不共面的向 选AC 量又'e+e+re===r=+?+?=. 3.A 解析:题意,得=+o--o+o+--+ 4.A 解析:由题意可得B=B+BA=BB+B4.CBB #-4(,)故选△ 4.ACD 解析;对于A.由空间向量基本定理,可知只有当7J.k不共面 参考答案 黑白题03