第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末检测&真题演练-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

第二章 章末检测 (时间:120分钟 总分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 6.(2024·广东广州高一期中)南宋数学家秦九 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边 目要求的. 长求三角形面积的公式:设三角形的三条边 长分别为a.b.c.则面积S可由公式s= p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p为三角形 解集是 C ) 周长的一半,这个公式也被称为海伦一秦九 A.xlx<2或x>3 韶公式,现有一个三角形的边长满足a=4 B. x12<x<3 b+c=6.则此三角形面积的最大值为 ) C. xlx<2或x>3 A.5 B.25 D. x12<x<3 C.v10 D.2/10 2.(2024·湖南邵阳高三月考)若a.b.cER,a> ) ( 7.(2024·江苏盐城高一期末)已知a三Z,关于 6.则下列不等式恒成立的是 1.1 x的一元二次不等式x-8x+a三0的解集中有 #A.## B.a}>62 且仅有3个整数,则a的值不可能是 _~ C. 15 A. 13 B. 14 ) D.16 D. alcl>blcl 8.(2024·湖北武汉华师一附中高一期末)已知 3.(2024·山东泰安肥城一中高一月考)两个正 x+1y+2 ( ) zxy 1# 3m有解,则实数n的取值范围是 A. ml-I<m<4 B. m1-4<m<1 C.1 C. mlm-4或m>1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分 D. mlm<-3或m>0 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求 4. 若关于x的不等式ax-b>0的解集为xlx> 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有 选错的得0分. _ 9.(2024·河北保定高一联考)已知-1<a<3. ) ( 1<6<2,则以下命题正确的是 ) A.xlx<-2或x>1 B. xl1<x<2 A.-1<ab<6 C. xlx<-1或x>2 Dxl-1<x<2 B.0<a+b<5 C.-2<a-b<1 5.(2024·江苏常州高一月考)已知一元二次不 D.(a+1)(b-1)<4 等式ax②+bx+c>0(a.b.cER.且a≠0)的解集 10.(2024·江西上饶高一月考)已知x,v都是正 数,且x+2v=2.则下列说法正确的是 _ 为xl-1<x<3 ,则b-c+-的最大值为 _ a A.-2 C.1 B.-1 D.2 必修第一册·RJA 黑白题032 (2)设非空集合B=al3m-2<a<m-1 ,若$$ xy xEA是xEB的必要不充分条件,求实 C.x}+4的最小值为4 数m的取值范围 D. x+/2x的最大值为2 11.(2024·江苏苏州高一月考)对于不等关系 人们在早期会使用文字或象征性记号来记 述例如,荷兰数学家吉拉尔在他1629年所 著《代数新发现》一书中,使用下面记号:Af 表示A大于B.A$B表示A小于B.若afbff0 则下列不等式一定成立的是 ) A.(a+b)f2vab #.(#4 # 16.(15分)(2024·湖南株洲高一月考)证明下 列不等式: D. ac2ffbe} (1)已知a>0.b>0.求证a+b三a{}b+ab}; 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.(2024·安徽安庆一中高一期中)已知条件 p:Vx=R,x2-mx+1>0.写出p的一个必要不 充分条件为 (填一个即可). 13.(2024·河北承德高一期末)已知a.b.c均 为正实数,若1=1.则a+6+c的最 a b+2c+1 小值为 14.(2024·安徽安庆高一期末)已知x,vER 且2②+2}=1+xy,则x2}+}的最大值为 ,最小值为 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(2024·山东临沂高一期末)已知命 题p:-xeR,x*-6x+a^②}=0,当命题p为真命 题时,实数a的取值集合为A (1)求集合A; 第二章 黑白题033 17.(15分)已知x,yeR且x,y>0,求z=(x+2y)· 少万件时,才可能使改革后的销售收入 (2)的是值 不低于原收人与总投入之和?并求出此 时每件商品的定价 甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法 yx #(2))_20-1 (1)你认为甲、乙两人解法正确的是 (2)请你给出一个类似的利用基本不等式求 最值的问题,使甲、乙的解法都正确 19.(17分)已知atb+c=3.且a.b.c都是正数 (1)求证: #tb bccta=2 (2)是否存在实数m.使得关于x的不等式 -x{}+mx+2<a{+b②+c对所有满足题设条 件的正实数a,b,c恒成立?如果存在, 18.(17分)(2024·陕西西安高一期末)某公司 求出n的取值范围:如果不存在,请说明 决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品 理由 原来每件售价为25元,年销售8万件 (1)据市场调查,若价格每提高1元,则销售 量将相应减少2000件,要使销售的总此 人不低于原收入,该商品每件定价最多 为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售 量.公司决定立即对该商品进行全面技术 革新和销售策略调整,并提高定价到 改费用,投人50万元作为固定宣传费 用,投入x万元作为浮动宣传费用.试问 当该商品改革后的销售量a至少达到多 必修第一册·RJA 黑白题034 第二章 真题演练 黑题 真题体验 限时:20min 考点1 不等式的性质及其应用 7.(天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4.则 1.(北京高考)能够说明“设a.b.c是任意实数 (x+1)(2y+1) 的最小值为 若a>b>c.则a+b>c”是假命题的一组整数a. xy b.c的值依次为 8.(天津高考)设x>0.v>0.x+2v=5. 则 2.(北京高考)李明自主创业,在网上经营一家 (x+1)(2y+1) 的最小值为 xcy 水果店,销售的水果中有草萋、京白梨、西瓜。 桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒 90元/盒,为增加销量,李明对这四种水果进 行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾 客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功 后,李明会得到支付款的80% 考点3 一元二次不等式及其应用 (1)当x=10时,顾客一次购买草荐和西瓜各 10.(全国高考)已知集合A=xlx2}-3x-4<0. 1盒,需要支付 元; B=-4.1.3.5 ,则A0B= ( ) (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到 A. 1-4,11 B.11,5{ C. 3,51 的金额均不低于促销前总价的七折,则:的最 D. 1,3 大值为 11.(天津高考)设aeR,则“a>1”是“a2>a”的 考点2 基本不等式的应用 ( _~ 3.(浙江高考)若a>0.b>0.则“a+b三4”是“ab A. 充分不必要条件 4”的 ( ~ B. 必要不充分条件 A. 充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 C.充分必要条件 12.(天津高考)设xER.则“x2}-5x<0”是 ( “1x-11<1”的 D.既不充分也不必要条件 _~ 4.(多选)(2022·新高考全国II)若 A. 充分不必要条件 - x.y满足x2+y2-xy=1,则( B.必要不充分条件 A.x+y<1 B.x+y>-2 C.充要条件 C.x2+y2<2 D.2+2>1 D. 既不充分也不必要条件 13.(全国高考)已知集合M=x|-4<x<2 .V= xl-x-6<0,则MO/V= ( 2a ~_ 18 A.x1-4<x<3 B. x1-4<x<-2 2ba+b -的最小值为 C. x1-2x<2 D. x12<x<3 6.(江苏高考)已知5x^{}}+y =1(x,yER),则 14.(天津高考)设xER.使不等式3x}+x-2<0 x2+y2的最小值是 成立的:的取值范围是 第二章 黑白题0356.C解斩：由2x=8,可得2x+y=+8,则(2x+y2=(2x+ 55-40(5-b)(5-=V55-65-e≤5×5-6)+(5-. 2 n(2+0=(2+w(位+）2+g+是+8≥10 5x05x9-25,当且仅当5-b=5-e,里6=c=3时 2 取等号，所以三角形面积的最大值为25.故选B 2√.三18当且仅当“=之.即y=4时取得等号.所以2+】 7.D解析：设方程x2-8x+a=0的两根为x1(12),则x2-8x+a≤ y≥18=32，即2r+￥的最小值为32.故选C 0的解集为|xIx,≤x≤x2.因为解集中有且仅有3个整数，所 7.5解析：因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+B=a+】+h+ 1 =1+L 以2≤1x1-1<4,所以4≤(x1+2)2-4红12<16.又x1+2=8,x12= a,则64如>012<a≤15，结合选项知只有D选项不符合.故 (4≤64-4a<16 选D. 时取等号.故答案为5. 8.解：(1)由题意可设y=k2(>0),当1=3时，y=9k=18000,k= 8A解桥+y1(x+)+(y+2)4…,1 x+1 2000.故y=20002(1>0). y2(x+1)2-2(x+1)+1(y+2)2-4(y+2)+4 (2)设这块矿石的质量为a克，由(1)可知，按质量比为1：4切脚后 +2 x+1 +2 2y2 的价值为200（行）广+20m(广，价直损失为202 4 J424 [2m(行'+2m(行'门，价值损失的百分常为 +24(x+1) 4(x+1)4(1+2) -23 +2.+ 24n2当且仅当 2000a2- 2m(）2m()】 y+2x+1 3 ×100%=32% 2000a2 4+1)+2且=1，即 2 时等号成立， (3)若把一块该种可矿石按质量比为m:n切剂成两块，价值损失的百 分率应为1- (m+ns 值为子故选入 9.BD解析：a∈[-L,3],b=[1,2]b∈[-2,6].放A错误： a∈[-1,3]，b∈[1,2]，a+b∈[0,5]，故B正疏：b∈[1,2] ∴a-be[-3.2],故C错误：a+1e[0,4].b-1∈[0,1]，∴(a+ (m+n)）2 2” 当且仅当m=#时取等号，即质量比为1：1时， 价值损失的百分率达到最大 1)(b-1)e[0.4],故D正确 第二章章末检测 10.AD解折：对于A+2=2≥2v2,可得y≤号，当且仅当 1A解折：由一3会 (x-3)(x-2)≥0，→<2或x≥3，所以不等 220{x-20 =2=1,即x=1,=?时等号成立，故A选项正确：对于B,由 式的解集为xx<2或x≥3引，故选A 2-2宁1.所以(3（上）5兰≥5 x y 之C解折：当16=2时，满足0>6，但2，排除人B 因为 0.0b.所以由不等式的性质得 2任·产9放上子？当组仅当号时等号度立 ,C正确：当c= 故B选项正确：对于C.(32=户44+4=4，由A知y≤ 0时，alcl>blel不成立，排除D.故选C 3c解指：正实数y满起子-（号）（仔 所以2+42=44≥4-4x2,当且仅当x=2=1.即x=1y 2时等号成立，故C选项错误：对于D,由A知可≤2，所以 y 4x y 年=1，即=2y=8时取等号心不等式+子<m2+3加有影， +V2=+2+2v2=2+2vV2≤2+2√2x2=4,当且 4<m2+3m.解得m>1或m<-4,故选C, 仅当x=2=1,哪x1)=时等号成立，故D选项正确故 4.C解析：若关于x的不等式r-b>0的解集为|xx>1|,则x=1是 选ABD, m-b=0的根且a>0,于是a=>0,不等式0可化为a(x+1)· x-2 11.AB解析：由愿意知a>b>0,a+b≥2√a品，显然等号不成立. (x-2)>0,即(x+1)(x-2)>0,故x>2或<-1.则关于的不等式 0的解集为<-1或D2 放A正确：又48-a+6)2=了+宁- 2(a-b)2>0. 5.A解析：因为x2+r+e>0的解集为x1-1<x<3引，所以-1.3为方 6(a6,即 2>4(a+b)产.放B正确：>b>0. -1+3-6 aa+1a(+1)-(a+1)ba-b 程2r2+r+e=0的两个根.且a<0.则 六66+16(6+1) 必0行故c错误： （-1)x3=C 令a=2,b=1,e=0,则2=bc2,故D错误故选AB 12.-2反m≤2（答案不难一）解析：.Vx∈R,x2-m+1>0,△=m2 4<0,-2<m<2,p:-2<m<2.本题答案不唯一，如：-2≤m≤2 (e=-3a. 136解折a6e[a(24(e+1门（合）3( a<0,即a=-1时等号成立故选A 6+2,a++16+2,+1 6.B 解析：由题意得P=2 ×(4+6)■5，则= +2ac+ati6+2323+2+2+2-3=6,当且仅当a +2=c+1=3,即a=3.b=1,c=2时等号成立，放a+b+e的最小值为 参考答案黑白题017 6.故答案为6 14.22 35 解折：由，yeR,2+2=10≤1可得+y2≤ 2 (2)解：存在，因为a+b+e=3. 子当组仅当公2 所以(a+b+e)2=a2+b2+2+2ah+2br+2m≤3(a2+b2+c2) 12x2+2y2=1+y 工即x=y=±写时取到等号，即x2+y2 因此a2+b2+e2≥3（当且仅当a=b=c=1时.取等号）. 的是大值为号 所以(a2+62+2=3. 由题意得-x2+mx+2≤3相成立，即x2-mr+1≥0恒成立， 2+2y=1-(-)y≥1- 2 因此4=m2-4≤0→-2≤m≤2 2,可得+y≥行，当且仅当 故存在实数m∈ml-2≤m≤2满足题意 (-xy, 55 55 即x= 第二章 真题演练 2x2+2y2=1+, 或x= 5y=了时取到等号. 即时的最小值为子放答案为子号 黑题 页晒体验 1.-1,-2,-3(答案不唯一)解析：因为-1>-2>-3.-1+(-2)=-3，所 15.解：(1)因为p为真命题，所以方程x2-6x+a2=0有解， 以-1，-2，-3可验证该命题是假命题， 即4=36-42≥0，得-3≤m≤3，所以A=|a1-3≤a≤3引. 2.(1)130(2)15解析：(1)x=10.顺客一次购买草莓和西瓜各一 (2)因为x后A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的直子集， 盒，需要支付(60+80)-10=130（元）. (3m-2≤m-1,13m-2≤m-1, (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元， 且B≠☑.则{3m-2≥-3，或{3m-2>-3. 解得-≤m立 y<120元时.李明得到的金额为y×80%,符合要求 m-1<3 m-1≤3， y≥120元时.有(y-x)×80%≥y×70%恒成立，即8(y-x)≥7y,x≤ 串实数m的取值范闲为m } 即≤（） =15元所以x的最大值为15， 16.证明：(1)a3+62-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-02)= 3.A解析：当>0,6>0时，a+h≥2√而，则当m+b4时，有2而≤ (a+b)(a-b)3,由a>0,b>0,得a+b>0,(a-b)2≥0， +b≤4，解得b≤4，充分性成立：当a=1.b=4时，满足b≤4.但此 (a+b)(a-b)2≥0，当且仅当a=6时取等号. 时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述，“+b≤4”是“ab≤4"的充分 ∴.a3+b八-a26-ah2≥0，即a3+b3多a2b+ab2 不必要条件故选A (2):。+店≥2，巴·么=26，当且仅当”=6.即4=6时取 4G期折：油打1可得（户-1=动≤3（停）广期 ·石=26，当且仅当。 得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y■-1时x+y■-2，当且仅当x=y=1时， =√a,即a=b时取 a x+y=2.所以A错误，B正确：由x2+2-对=1可变形为(x2+y2)-1= 等9.后6合6≥262派，即之之≥后瓜，组取当 s 2,解得少≤2，当且仅当x=y=士1时取等号所以C正 a a=b时取等号 了y了，则+-1，且2+护2=子所以选项 3 17.解：(1)甲 D错误 (2)已知x,yeR且x,y>0,求：=(a+b) 的最小值.（答 5.4解析>0,6b>0.a+6>0,又b=l2a2ba+b2a2边 I 1 8 ab ab 案不唯一》 甲：=(a+6)(仁）1+之+1≥4，当且仅当a=6时取 受 +68 ,=4,当且仅当红+b=4时取等号，结合 h=1.解得a=2-√3，b=2+3或a=2+√5.b=2-√3时.等号成立.故 等号： 答案为4 乙aow(）v2 =4.当且仅当a= 52…2+2y 6专解：y10且- 6时取等号 14y2、 18解：1)设该商品每件定价：元，由题意可知（学名需）≥25× 8,整理得2-651+1000≤0.解得25≤1≤40，故该商品每件定价最 时取等号2的最小值为。 多为40元 、9 (2)由(1D可知.当≥25时，不等式a≥25x8+50+石(2-60) 1. 解析：>0.>0，x+2=4,则)(2+D.2+2+1 2 2+5 ,:x>0,y>0.x+2y=4,由基木不等式得4=x+2≥ 有解，整理得。>四名1≥25)有解 岛知v60,+122√手‘6川日，1仅当=0时取得 2v西0≤2>故22号当且仅当 y 等号，此时≥y。=1,所以当该商品改革后的销售量？至少达到 =2=2.即=2=1时，等号成立.放2》的最小值为号 11万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收人与总投入之 845解桥：>0，>0，+2y=5,则+)(2+D.2四tr+21 和，此时每件商品的定价为30元， y √y 19.(1)证明：因为4+6+e=3,且a,b.c都是正数 2x+6 =2+。,由基本不等式得2+6 2,2写·=45，当且仅当2=6，即y=3时等号成立 )6+(5)()()]月 √y (x=2. 石*(3+22+2)=号当且仅当a=6e=1时取等号。 又+2=5.所以当支-时，等号成立，放2 1y=2 必修第一册·RJA黑白题018 的最小值为45.故答案为45. 充分不必要条件故选A: 922解析：a>0,6>0.3↓+ +b 12.B解析：解不等式x2-5x<0,可得0<x<5,推不出1x-11<1:由1x b 11<1能推出x2-5x<0,放“x2-5x<0”是"1x-11<1"的必要不充分条 件，故选B 2·6=22,当且仅当=g且2=6，即a=6=反时等号成 2 13.C解析：由题意得，M=1x1-4<x<2,N=x1-2<x<3,则MnN a 2 lx|-2cx<2.故选C 立，所以1 。尔+6的最小值为22.故答案为22 14. 解析：由3x2+x-2<0得(x+1)(3x-2)<0,即(x+ 10.D解析：由x2-3x-4<0.解得-1<<4.所以A=x1-1<x<41.又因 为B=-4.1,3,51.所以AnB=11.3,故选D. 2 11.A解析：求解a2>a可得a>1或a<0,据此可知"a>1”是“a2>a”的 第三章 函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 9.C解析：依题意，得八a)=a2+1=2,解得=±1.故选C 3.1.1函数的概念 10B解桥：因为2.，所以1e1,51,所以弓=[子，2] 白题 基础过关 即x)的值城 [2小故选 1.ABD解析：根据函数的定义可知，对于定义城内的每一个x只有一 个y和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图 11.A解析：函数y=x+1的定义域和值域都为R,A正确：y=2+可 象，A,B,D是函数图象.故选ABD. 的定义城为[-1.+x).值域为[0.+x).B错误：y=x2-6x+7= 2.CD解析：对于A,函数是定义在两个非空数集上的对应关系，A (x-3)2-2的定义城为R.值域为[-2，+).C错误y=x2-1的定 义域为R.值域为[-1.+x).D错误故选A 不正确：对于B,如数x)=5(x∈R),值域为15，B不正确：对于 C,因为八x)=5(xeR),这个数值不随x的变化而变化，所以(r)= 12. 一51（答案不一）解折：因为）=士的定义城为：≠01， 5也成立，C正确：对于D,若定义域和对应关系确定，则值域也就确 值城为1yy≠0：，关于(0,0)对称，所以结合反比例函数模型可得 定了，D正确.故选CD. 3.AC解析：对于A,对集合1,2,3,4中的每个元素x,按照y=2x+1, 所求的函数可以为(x)= 百故答案为51（多案不-小 在1xx<10,xEN中都有唯一元索y与之对应，A是函数：对于B.在 区间[0，+为)内存在元素x,按照，2=，在R中有两个y值与之对 13 解折：因为二次高数)2-2-(）广子的值 应，如x=1,与之对应的y=±1，B不是函数：对于C.对每个实数x,按 照“y为不大于x的最大整数”，都有唯.一一个整数y与之对应，C是 函数：对于D,当x=1时，按照y=x-1,在N·中不存在元素与之对 城为[？=）所以)的定义线是R,值议为(0 应，D不是函数故选AC 41 4.B解析：区间(1,2)表示的集合为xI1<x<2引，对于A,集合1(1.2) 表示点集.只有一个元索.故A错误：对于B.|x|x2-3x+2<0=}x 14.〔4.+0)解析：当m=0时x)=1不合题意，因此m>0,所以 1<x<2引，故B正喻：对于C.1x1x2-3x+2=0=|1,21,表示数集，其 4=m2-4m≥0.m≥4.故容案为[4.+） 中只有2个元素，故C错误：对于D,1(x,y)1x=1,y=2=(1,2), 15.C解析：由题意.函数y=x.其定义域为(-.+)，其解析式为 故D错误故选B. ≥0对于A,函数y=().其定义域为[0，+).故A错 5.A解析：由函数解析式有意义可得x+1≥0且x≠0，所以函数的定 y=-x,x<0. 义城是xx≥-1且x≠01，故选A 误：对于B,函数y=F=x,其定义城为(-，+)，对应关系不 6.C解折：要使函数s)=+-1)°有意义.则2>0解 同，故B错误：对于C,与题目中的函数一致，故C正确：对于D,函 W3x-2 (x-1≠0， 数y产京其定义城为x0,故D错误故选C 得号且1，因能属数)的定义城为（号）U(1,+x) 16.C解析：对于A,雨数y=的定义城为xx≠0，面y=1的定义 故选C. 城为R,故A辑误：对于B,函数)-的定义城为x≠01，而y 7.B解析：由函数八x)= 一的定义域为R可知：2+x+1>0 √x+kx+ 的解集为R若k=0.则不等式为1>0恒成立，满足题意：若。≠0，则 x的定义城为R,故B错误：对于C,雨数y的定义城为R,而 x2+1 (k>0, 解得0<<4综上可知，实数k的取值范围是0≤kc4. 4=k2-4k<0, y=x的定义域为R,又y= 任(+=x(2+1>0),故解析式 2+1x2+1 故选B. 相同，敌C正确：对于D,函数y=√(x-1)厂的定义域为R,而y=x 8.(1,+x）解析：由题意得m<4m一3，解得m>1.故答案为(1，+m). ①重难点拨 1的定义域为R,但是y=√(x-1)户=Ix-1,故解析式不相同，所 以D错误故选C 1.求给定解析式的面数定义城的方法： 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以面数解析式中所含式 重难聚焦 子（运算）有意义为准测，列出不等式或不等式组求解：对于实际问 17.C解析：已知函数f八x)的定义域为[0,4]，对于函数g(x)= 题，定义城应使实际问题有意义 2.求袖象函数定义城的方法： x+2)+1 ,则0≤+2≤4解得1<x62.即函数g()= x-1 (x-1>0. (1)若已知函数八x)的定义城为[，b],则复合西数f八g())的定 x+2)+1的定文城为(1,2].枚选C 义城可由不等式a≤g(x)≤b求出， x-1 (2)若已知函数f(g(x)的定义城为[a,b],测fx)的定义城为 18.C解析：：x∈[-1,51，，x+1∈[0,6]，f八x)的定义域为[0.6j, g(x)在xe[a,b们上的值城 .0≤2x2≤6，解得-3≤x≤3，故所求函数的定义域为[-√3， 参考答案黑白题019