第2章 一元二次函数、方程和不等式（拔高练）-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

进阶 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 C.若>0，则2x+ 1.已知实数x,y,满足x2+y2+2=1,当xy+yz+ 3 2x取到最小值时，下列说法正确的是 D.若0<1，则x(1-)P≤g A.x=y B.x=z 2.(2024·山西晋城高三一模)定义minp,9, C.x2+y2=1 D.x2+2=1 r表示p,q,r中的最小值.已知实数a,b,c 2.(2023·山西朔州高一月考)已知实数a,b, 满足a+b+c=0,abc=-1,则下列说法正确的 c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 是 A.min{a,b,c的最大值是-1 a,b,c的大小关系为 ( A.a<b≤c B.b≤c<a B.mina,b,c的最大值是-4 C.b<e<a D.b<a<e C.mina,b,c的最小值是-1 3.(2024·江苏淮安高一月考)希罗平均数是 D.mina,b,c的最小值是-4 两个非负实数的一种平均，若a,b是两个非 3.(2024·江苏常州高三一模)设实数x,y满 负实数，则它们的希罗平均数H=a+6+b 足pp3,不等式(2-3)(-3)≤8+ 3 记A=,G=瓜，则A,GH从小到大的 y3-12x2-3y2恒成立，则实数k的最大值为 () 关系为 (用“≤”连接) A.12 B.24 C.23 D.43 4.(2024·九省联考)以maxM表示数集M中 最大的数.设0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+ 4.已知a,beR,a+h=2,则，1 1 a2+1b2+1 的最大 b≤1，则max{b-a,c-b,1-c的最小值 值为 为 5.(2023·江西新余高三期末)已知a>0,b> 2.2基本不等式 0,且a+b=2,证明： 1.(多选)(2024·福建福州高一月考)三元均 (1)a2b3+b2a3≤2： 值不等式：“当a,b,c均为正实数时， (2)0+26+2 ≥a+b. a+2b+2 “9+“≥abc,即三个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c 时，等号成立.”利用上面结论，判断下列不 等式成立的有 A.若>0，则2+2≥3 B若0cr<1.则2(1-)≤g 进阶突破·拔高练03 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司 1.(2024·河北邯郸高一月考)已知关于x的 将在2024年对该种玻璃实施二次技术 方程x2-kx+k+3=0有两个正根，那么两个 创新和营销策略改革：提高价格到m欧 根的倒数和的最小值是 元/平方米（其中m>25),其中投人 A.-2 B号 D.1 3(m2-600)万欧元作为技术创新费 2.(2024·江西南昌高一月考)已知对一切 用，投入500万欧元作为固定宣传费 xe[2,3],ye[3,6],不等式mx2-xy+y2≥0 用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用， 恒成立，则实数m的取值范围是() 试问：该种玻璃的销售量n(单位：万平 A.（-0,6] B.[-6,0] 方米)至少达到多少时，才可能使2024 C.[0,+∞) D.[0,6] 年的销售收入不低于2023年销售收入 3.(2023·江苏扬州高一期中)若不等式ax2+ 与2024年投入之和？并求出此时的 bx+c≤0的解集为R,则 +2的最大值 b 售价. 为 4.(2024·福建莆田高一月考)研究问题：“已 知关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为 (1,2),解关于x的不等式cx2-bx+a>0”,有 如下解法：由ax2-b+c>0→a-6·1 :()>0.令y=则ye(分1)小，所以不 6.(2024·江苏盐城高一期中)已知关于x的 不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R) 等式cx2-bx+a>0的解集为()，1)人类比上 的解集为M. (1)若M=R,求k的取值范围. 述解法，已知关于x的不等式k++ <0 xta x+c (2)若存在两个不相等的负实数a,b,使得 的解集为(-2，-1)U(2,3),则关于x的不 M={xlx>b或x<a,求实数k的取值 等式cc-1 范围。 <0的解集为 ax-1 ex-1 (3)是否存在实数k,满足：“对于任意n∈ 5.(2024·河北廊坊高一月考)通过技术创 N*,都有n∈M,对于任意的m∈Z_(负 新，某公司的汽车特种玻璃已进人欧洲市 整数集)，都有m主M”?若存在，求出 场.2023年，该种玻璃售价为25欧元/平方 的值：若不存在，请说明理由。 米，销售量为80万平方米. (1)据市场调查，售价每提高1欧元/平方 米，销售量将减少2万平方米：要使销 售收入不低于2000万欧元，试问：该种 玻璃的售价最多提高到多少欧元/平 方米？ O4黑白题数学|必修第一册·RJA1.3集合的基本运算 B:,即AUB与A∩B是相同的.所以A=B,故本选项符合题意： 对于B,因为A©B=B,所以B=xx∈AUB且x庄A门B,所以ACB, 1.ABD解析：令M=}xx<10,x∈Q引，N=xlx≥10，xEQ,显然集 且B中的元素不能出现在A门B中，因此A=☑，故木选项符合题意： 合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能： 对于C,当A=B时，A④B=☑.(CgA)④(CgB)=☑=A④B,故本选项 令M=xx<2,x∈Q,N=xx≥2，x∈Q,显然集合M中设有最 符合题意： 大元素，集合N中也没有最小元素.即选项B可能： 对于D,因为A⊙B二A,所以{x1x∈AUB且x庄A门B1CA,所以 假设答案C可能.即集合M.N中存在两个相邻的有理数，显然这是 BCA,故本选项不符合题意.故选ABC 不可能的： 2.①3解析：对于①，取集合A=0具有性质P,故A可以是有限集， 令M=xx≤10，xEQ,N=x1x>10,x∈Q,显然集合M中有一个 故①正确： 最大元素，集合N中设有最小元素，即选项D可能故选ABD, 对于2，若A具有性质P,且A≠R,假设g4也具有性质P 2.ABD解析：对于A,首先☑.UeP=☑，1川满足条件(1).其次.P= 设0EA,在gA中任取一个x,x≠0，此时可证得-xEA,否则若-x∈ 1☑，U川中的有限个元素取交后得到的集合为⑦或，都在P=⑦ C4,由于代RA也具有性质P,则x+(-x)=0eCRA,与0∈A矛后，故 川中，满足条件(2)，再次，P=1☑，川中的任意多个元素取并后得 x∈A,由于A具有性质P,A也具有性质P,所以(-x)P∈A,x2∈ 到的集合为☑或U.都在P=☑，U川中，满足条件(3)，故A正确： CRA. 对于B,首先☑，UeP=O☑，U,A1满足条件(1).其次，P=☑.A.U 而(-x)2=x2,这与A0Ck4=⑦矛盾. 中的有限个元索取交后得到的集合为②或A或U,都在P=②，A, 故当0A且A具有性质P时.CgA不其有性质P, 中.满足条件(2).再次.P=☑，A.川中的任意多个元素取并后 司理当0∈gA时.也可以类似推出矛盾，故②错误： 得到的集合为☑或A或U,都在P=1⑦.A,U1中，满足条件(3)，故 对于③，取x,y∈A,∩A2,则EAL.EA2yEA1yEA B正确： 又A,A2具有性质P,所以x+yeA1可eA,x+yeA29eA2. 对于C,不妨设A=11,2,B=12,3引，则A∩B=2引，AB=1,2,3, 所以xtyEA1∩A上.y意A∩A2 不在P=☑，A,B.川中，故C错误： 所以A,∩A2具有性质P.故③正确： 对于D.由题意不妨设族P=☑，4，…，A。,U叶(n≥1)为集合0上 对于④，取A1={x|x=2k.keZ引.A2=1x1x=3k,kEZ1,2EA. 的一个拓扑，由条件(2)可知P=②，A1,…,4,川(n≥1)中的有限 个元素取交后得到的集合都在P=☑，A1,·,A,川(n≥1)中，且 3eA小，但2+3A1U小2，故④带误故答案为① 由条件(3)可知P=1☑.A,…,A.,U川(n≥1)中的任意多个元素取 第二章 一元二次函数、方程和不等式 并后得到的集合都在P=☑，A1,…,A..川(n≥1)中， 则Q=|0,CpA1,…,CA.,☑外(n≥1)，下证：Q也是集合U上的一个 2.1等式性质与不等式性质 拓扑. 首先②，UeQ=U,C41,…4.,⑦1(n≥1)满足条件(1)， 其次.设0，…，QQ.则Q,n…n0,=C(CQ,)U…U 1.D解折：因为+于2+子+2+++2≥0,22+2白 4 (C0,). 而Qn,…Q,∈P,故(dQ,)U…U(Q,)eP 故心，n…n0,∈Q,同理可证0，UU0,∈Q. 当y=0时，+：+2z取到最小值，此时可得x2+:2=1.故选D 放Q=0,CA,…,心A,☑1(n≥1)中的有限个元素取交后得到的 2.A解析：因为-b=4-4a+2=(a-2)2≥0，所以c≥b. 集合都在Q中， b+e-(e-b)=2a2+2.即2h=2a2+2.所以b=a2+1 任意多个元素收并后得到的集合都在Q=1U,C,A1,…,CA,☑ 1123 (n≥1)中， 所以-a=(0-2)+子>0，所以b>0,即c≥b>a.放选入 满足条件(3).枚D正确枚选ABD 3.G≤H≤A解析：由基本不等式可知G≤A.当且仅当a=b时，等号 四方法总结 成立： 解决装合创新型何题的方法：(1)繁扣定义，首先分折新定义的特 因为n-G=+a画+6瓜=-2va画+b(a- -≥0 点，把新定义所叙述的问题本质弄清楚，并能韩运用到具体的解题 3 3 3 过程中：(2)用好集合性质，集合性质是破解新定义型巢合问题的 当且仅当Va=石，即a=b时，等号成立，所以HG: 基瑞，皂是突破口 因为H-A-++6u+6a+2a6-b(后-6) ≤0 3 2 6 1.4充分条件与必要条件 当且仅当a=石，即a=b时，等号成立，所以H≤A A解析：如图，由于(A-B)U(B-A)CC,故两个阴影部分均为☑.于 综上所述.G≤H≤A.当且仅当a=b时等号成立.故答案为G≤H≤A: 是A=I U NU V,B=ⅢUWUV.C=IUⅡUⅢUV, 若AnB门C=⑦，则V=☑.所以A=IUN, 5 解析：令-u=m,e-b=,1-c=P。 面(C-B)U(B-C)=IUⅡUV,所以A9(C-B)U(B-C)成立： 反之，若AC(C-B)U(B-C), 其中，p>0,所以化1m有 则由于(C-B)U(B-C)=IU且UW,A=IUNUV, 若b≥2a,则1-n-p≥2(1-m-n-p）,故2m+n+p≥1， 所以(IUNUV)C(IUⅡUN).所以V=☑.所以AnBOC=⑦.故 M=maxb-a,c-6,1-e =maxim,n.p, 选A (2M≥2m, 因此M≥n, 枚4M≥2m+n+p≥1，则M≥4 M≥P, 若a+b≤1，则1--p+1-m--p≤1，即m+2n+2p≥1 M2m. M=max6-4,c-6,1-e|=mxm,n,p,则2M≥2n,故5M≥m+ 2M≥2P 2+3≥1.则We 1.5全称量词与存在量词 1.ABC解析：对于A.因为A④B=☑，所以☑=|xx∈AUB且xA门 当且仅当m+2a+22=1且mm,p=，时，等号成立， 必修第一册·RJA黑白题088 如取m=n=p=号时可清足等号成立 5.证明：(1)m22+b2m3=a262(a+b)=2a2b2 因为a>0,b>0,2=a+b≥2ab,所以0<ab≤1. 综上可知，m6-,一6，的最小销为了放答案为 测a22≤1，当且仅当a=b时.等号成立，所以a2+b23≤2 5 （2)426242.+2a2-2a2+2,4252-22+240,2h-2n2 2.2基本不等式 a+2b+2 a+2 b+2 +2 1.AC解析：对于A选项，因为>0,2+2=2+1+≥ 62+2m-2 =a2+b2- b+2 222--20++221-2 a+2 b+2 x 2(a-1)(a+2)2(b-1)(b+2) =m2+b2-2(a+b-2)=a2+b2 3。x2,上：=3，当且仅当2=，即x=1时，等号成立，A a+2 b+2 选项正确：对于B选项，因为0<<1，所以2(1-x)= 2·, 而a2+62=(a+6)2-2b=42h34-（u+b》2 2=a+b.当且仅当a=b 2 (2-2)≤·( 2 啡，等号成立，所u受a 时，等号成立，B选项错误：对于C选项，固为>0，所以2x+子 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 子3，当且仪当子即1时，等号成立.C 1.B解析：由题意可得△=(-)2-4(+3)≥0，解得最≥6或k≤-2. 选项正确：对于D选项，因为0<<1，所以x(1-2=号·21- 这调个正银有为，可利仁0解得>0.综上可 知，k≥6. 1 x)·(1-x)≤ 2x+1-x+1-x13 4 2 “27,当且仪当2x=1-,即x= 两个根的倒数和为L,L。西板。k。1 3 为病皮 3时，等号成立，D选项错误，放选AC 2.B解析：因为a=-1,所以在a,b,c中，负数的个数为1或3， 因为6，两士古0,2子0做1}e0 31 又a+b+e=0,所以在a.b.e中，1个为负数，2个为正数，不妨设c<0, 3 所以1+ 则mima,6e=r因为2v瓜≤a+6=-c,所以ab≤手因为c<0,所 33所以1，≥气，故两个银的茵效和的最体值 1* ≤-l,则e≤-诉，故mima,b,的最大值是-年，无最小值故 选B. 故选B 3 3B解析：>>3变形为2x-3>0-3》0 2.C解折：因为25≤33≤y≤6，所以写≤≤宁所以1< 令a=2x-3>0.b=y-3>0. 则k(2x-3)(y-3)≤8x3+y3-122-3y2可以转化为 ks-2r-r 即2 (2x-3)(-3) ，32-34, 其中4 +广-a+3)2,6*3)223m)(23) 又网为2n20且25e30.所m≥子（任）月 -32x-36 a 令=工.则1≤1≤3则原题意等价于对一切1∈11≤1≤3引，m≥t a=3. 2恒成立 =(+）24√·吾24.当且仅当 =3. 即=3， 因为函数y=~?的图象开口向下，对称轴为直线=) ab· y=6时，等号成立，可知k≤24.故选B. 所以当1=1时，y=1-2收到最大值.即y=1-2=0, 故实数m的取值范围是[0，+).故选C 4.万+1解折：设a=1-,6=1+,xER, 2 a2+12+1(1-x)2+1 四方法总结 1 1 1 2(x2+2) 对xeM八x)≥a恒成立，等价于/八x)]nn≥ (1+2+12-2x+2+2+2x+2=(-2x+2)(2+2x+2 对HxEM,代x)≤a恒成立，等价于f八x)】m≤a 2(x2+2) 2 2+2)-4+2)+8设1+2.1≥2，则原式-8 2 84 3.2解析：当a=0时，即不等式br+c≤0的解集为R,则b=0,c≤0， + 2 ,当且仅当=即1=22时，等号成立故答 2有意义.此时t0,则2=0当0时.活不等式 要使得2 62 284 2 m++e≤0的解集为R,则{c0, 4=b2-4c≤0， 年化e所以 案为 +22+2因为≤4，所以ac≥0，当e=0时，b=0,此时 四方法总结 2=0:当c<0时.ae>0,令1=5>0，则c 62 4 4 1.本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和 +21+2 2r+ 式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的大小或证明不等式，解决 问题的关纯是分析不等式两边的结构特点，远择好利用基本不等式 (=4ac. 4 的切入点 2,当且仅当2=口时，等号成立综上所述， 2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌操它的几种 2/2· 变形形式及公式的逆用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号 成立的条件 2的最大值为5.故答案为2 62 参考答案黑白题089 4(子，)儿（分1）解桥：关于x的不等式0的解 x+a x+e 11+aa+1a+1 0(2,3),用-一替换￥，不等式可以化为 所以)+/（行）是定值，定值为4 一+b 1 0.因为-e(-2-u(2.3).所以子1 te ax-1 cx-1 （3)解：面(2)知a)(日）-4.所以*)=42)+ 子即不等式0的解集为（，） 行）-43)-（行）-4202）+(2)-4.所以 ax-I cx-1 (分)故答案为（子）（行 2+2+/(3）3)+(行+202(0a）片 =4×2022=8088 5.解：(1)设该种玻璃的售价提高到x(x≥25)欧元/平方米。 f2022)+f八202 由题知[80-2(x-25)]x≥2000.即x2-65x+1000≤0，解得25≤x≤ 7 40,所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. 2解：(1)因为当6时4 (2)由题意得m≥200+50+2加+子(m2-60).整理得m≥ 所(6)=[好]1e(6)子] 1500+2m+3 m,两边同除以m,得n≥1500, *3m+2义1500 所以⅓(3)(（居）（任）-3=a m+2320·了+2=1e,当且仅当10. 5 /15005 (2)因为f(x)=[4x]=1.g(x)=4x-[4x]=4x-1, =3m,即m= 所以5(x）=f(4x-1)=[16x-4]=3, 30>25时，等号成立，所以a≥102，故该种玻璃的销售量n(单位：万 所1≤4rc2, 平方来)至少达到102万平方米时，才可能使2024年的销售收入不 3≤16x-4<4 解得≤ 16 低于2023年销售收人与2024年投人之和，此时的售价为30欧元/ 平方米 放清足题意的x的取值范围为[乙，)】 1162月 6.解：(1)当2-2山-3=0时，k=-1或k=3,当k=-1时，1>0何成立， 知识点二函数的表示法 当6=3时，4x+1>0→x>-于不祖成立，舍去：当尺-2水-3≠0时， 1.ABC解析：对于A,由集合A的特任函数的定义可知A不为空集， 则A∩B不为空集，如图所示，1部分表示A门B.Ⅱ表示A门(gB). P-2h-3>0, 13 或k<-1综上可知k的取值范 Ⅲ表示表示Bn(CgA),N表示(RA)∩(C:B) (+1)2-4(-24-3)<0.解得 R 周是k≤-1线6号》 (2)根据不等式解集的形式可知2-2山-3>0一k>3或k<-1,因为不 等式解集的两个端点就是对应方程的实数根.即(2-2k-3)x2+(k+ 〔(k+1)2-4(2-2k-3)>0, 当eAnB时x)=1,g(x)=1,故x)g(x)=1. k+1 当AOB时八x),g(x)中至少有一个为0，此时抓x)g(x)=0, 1)x+1=0(keR)有两个不相等的负根，即名杨-2站-30， 符合特征函数的定义，即y=Rx)g(x)是集合A门B的特征函 数，A正确： 2-2-30 对于B,当x∈AUB时， 若x取值在I部分，则∫(x)=1,g(x)=1,则(x)+g(x) 解得3<号综上可知的取位意周是{3号} f八x)g(x）=1: 若x取值在Ⅱ部分，则∫(x)=1,g(x)=0,则风x)+g(x) (3)存在根据题意可知，得出解集M={xx>,-1≤1<1，当k2-2出 八x)g(x)=1: 3=0时，解得=3或=-1，当k=-1时，1>0恒成立，不满足条件 若x取值在Ⅲ部分.则f(x)=0,g(x)=1,则f(x)+g(x） 当=3时，不等式的解集是{✉}：满起条作：当-2止-3>0 f八x)g(x)=1, 当xAUB时，J(x)=0g(x)=0,则/x)+g(x)-f尺x)g(x)=0, 时，此时一元二次不等式的解集形式不是{xx>的形式，不满足条 符合特征函数的定义，即y=fx)+g(x)-x)g(x)是集合AUB的特 件：当2-2k-3<0时，此时一元二次不等式的解集形式不是引xx> 征函数.B正确： 的形式，不满足条件综上，满足条件的k的值为3 对于C,当xeAn(CgB)时x)=1,g(x)=0,则x)-f八x)g(x)=1: 第三章 函数的概念与性质 当x使A门(CgB)时，即x取值在【，Ⅲ，W部分， 若x取值在I部分爪x)=1,g(x)=1,期f八x)-八x)g(x)=0, 若x取值在Ⅲ部分八x)=0,g(x)=1,则八x)-八x)g(x)=0, 3.1函数的概念及其表示 若x取值在N部分，八x)=0,g(x)=0.则八x)-八x)g(x)=0. 放此时符合特征函数的定义，即y=f八x)-代x)g(x)是集合A门(B) 知识点一函数的概念 的特征函数，C正确： 1(1)解：因为x)=3 对于D.当xeg(A∩B)时，即x取值在Ⅱ，Ⅲ，W部分， +x 当x取值在N部分时Jx)=0,g(x)=0,则/x)+g(x)-2x)g(x)= 0,不符合特征函数的定义，故y=(x)+g(x)-2f代x)g(x)不是集合 所以2（）是4 3+2. C:(A门B)的特征函数.D错误.放选ABC 1*2 了)解析：由题意，用-代换解析式中的 (2)证明：因为x)=1+x 3+ 得（生）（供）四 必修第一册·RJA黑白题O90