专题11等差数列与等比数列（5知识点+2重难点+11技巧+3易错）-【上好课】2025年高考数学一轮复习知识清单

专题11 等差数列与等比数列 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 数列的有关概念 1、数列的定义及表示 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 知识点2 等差数列 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． （3）等差数列与函数的关系 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列． ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0. 知识点3 等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 2、等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. 知识点4 等比数列 1、等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 知识点5 等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 重难点01 等差数列前n项和最值求法 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【典例1】（23-24高三下·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【典例2】（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 重难点02 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【典例1】（23-24高二上·天津武清·月考）若等差数列的首项，，记，则 ． 【典例2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理. 【典例1】（23-24高三上·山东泰安·开学摸底）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【典例2】（23-24高三下·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·广东梅州·一模） . 二、数列周期性解题策略 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 【典例1】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【典例2】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【典例3】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知数列满足，，则的前项和为（    ） A． B． C． D． 三、求数列最大项或最小项的方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，）， 则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，）， 则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为． 【典例1】（23-24高三下·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为，则此数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 四、等差数列的基本运算的解题策略 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【典例1】（23-24高三下·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）已知公差大于0的等差数列的前6项和为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（23-24高三下·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 五、等差数列的判定与证明的方法 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【典例1】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【典例2】（23-24高二下·江苏·月考）数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【典例3】（23-24高三下·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，. (1)求，，并证明：数列是等差数列； (2)求. 六、等差数列 性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ）． A．7 B．12 C．16 D．24 【典例2】（24-25高三上·广东·联考）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【典例3】（23-24高三下·云南·月考）已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 七、等差数列的前n项和常用的性质应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中，，，（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·天津南开·月考）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高三下高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 八、求解等比数列的基本量常用的思想方法 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 【典例1】（23-24高三下·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【典例2】（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．31 【典例3】（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．或9 B．8或 C．8或9 D．或 九、等比数列的判定与证明常用的方法： 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【典例1】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求． 【典例3】（23-24高三下·重庆·月考）已知数列的前项和为，且，． (1)求，，并证明：数列为等比数列； (2)求的值． 十、等比数列的性质及应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【典例1】（23-24高三下·山东淄博·二模）已知等比数列则（    ） A．8 B．±8 C．10 D．±10 【典例2】（23-24高三下·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【典例3】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 十一、等差数列与等比数列的实际应用 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和. 【典例1】（23-24高三下·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 【典例2】（23-24高三下·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例3】（23-24高三上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 易错点1 混淆数列与函数的区别 点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。 【典例1】（22-23高三·河南郑州·月考）等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（    ） A．4或5 B．5或6 C．4 D．5 【典例2】（22-23高三下·云南·月考）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 易错点2 错误理解等比数列的“中项”概念 点拨：若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必要注意此点。 【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·三模）设，则“”是“为的等比中项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高三上·天津武清·月考）在等比数列中，，则与的等比中项为 . 易错点3 等比数列求和时忽视对讨论 点拨：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 【典例1】（23-24高三下·山西太原·二模）已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ） A．9 B．9或18 C．13 D．13或37 【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 等差数列与等比数列 （思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错） 知识点1 数列的有关概念 1、数列的定义及表示 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N* 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期数列 对n∈N*，存在正整数常数k，使 3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式． 知识点2 等差数列 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． （3）等差数列与函数的关系 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列． ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0. 知识点3 等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 2、等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. 知识点4 等比数列 1、等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 知识点5 等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 重难点01 等差数列前n项和最值求法 1、二次函数法： 将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【典例1】（23-24高三下·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】在等差数列中，，由，可得， ，，且数列为递减数列， 所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B. 【典例2】（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值，正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以当或时，取得最大值为，正确； 对于C，若，则，又， 所以，所以，正确； 对于D，若，则， 又，所以，所以， 所以等差数列为递减数列，所以， 所以取最大值时的值为9，错误.故选：D 重难点02 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和：①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【典例1】（23-24高二上·天津武清·月考）若等差数列的首项，，记，则 ． 【答案】 【解析】， 当时，，当时，， 故 故答案为： 【典例2】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，， ，， ， ，则，， ，又， ，. （2）由（1）得，， 当时，， 当时，， . 一、由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1、常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 2、具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用或，处理. 【典例1】（23-24高三上·山东泰安·开学摸底）已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（    ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】D 【解析】根据数列1，，，，3，…， ， 又， ,解得 ，故选:D. 【典例2】（23-24高三下·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；故选：D. 【典例3】（23-24高三下·广东梅州·一模） . 【答案】 【解析】 故答案为： 二、数列周期性解题策略 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 【典例1】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由，得 ， ， ， ， ， ， 则是以6为周期的周期数列， 所以.故选：C 【典例2】（23-24高三下·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为，，， 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得； 可知数列是以6为周期的周期数列， 所以.故选：A. 【典例3】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知数列满足，，则的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，数列满足，， ， ，所以数列是周期为的数列， ， 所以的前项和为.故选：D 三、求数列最大项或最小项的方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，）， 则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，）， 则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为． 【典例1】（23-24高三下·山东济南·二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（    ） A．63 B．64 C．71 D．72 【答案】C 【解析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值， 又因为是各项均为正整数的递增数列， 所以， 即是首相为，公差为的等差数列，其中； 的前项和为； 当时，； 当时，； 又因为，所以的最大值为， 此时，取得最大值为.故选：C. 【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列{an}的通项公式为，则此数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：－＝·， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 所以数列有最大项，为第8项和第9项，且. 方法二：设数列的第n项最大，则， 即，解得， 又，则或， 故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且.故选：D 【典例3】（23-24高三下·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 【答案】 【解析】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 四、等差数列的基本运算的解题策略 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 【典例1】（23-24高三下·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以． 因为，所以． 另解：设等差数列的公差为， 由，得， 所以，即，得， 所以， 因为， ， ， ， 所以故选：A． 【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）已知公差大于0的等差数列的前6项和为，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 则，，前项和， 由题意得，又，解得. ， .故选：C. 【典例3】（23-24高三下·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（    ） A．11 B．12 C．20 D．22 【答案】D 【解析】设公差为， 由，得，所以， 由，得 故， 则， 因为，所以， 化简得，解得或（舍去）.故选：D. 五、等差数列的判定与证明的方法 1、定义法：或是等差数列； 2、定义变形法：验证是否满足； 3、等差中项法：为等差数列； 4、通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 5、前n项和公式法：为常数为等差数列． 注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 【典例1】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 【典例2】（23-24高二下·江苏·月考）数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【答案】(1)，；(2)证明见解析， 【解析】（1）由，， 令，得，又，所以， 令，得，又； （2）因为当时，， 所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 所以， 所以， 于是，当时， ， 当时，，满足上式， 故. 【典例3】（23-24高三下·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，. (1)求，，并证明：数列是等差数列； (2)求. 【答案】(1)，，证明见解析；(2)420. 【解析】（1）当时，由条件得，所以. 当时，由条件得，所以. 因为，所以（）， 两式相减得：，即， 所以， 从而数列为等差数列. （2）由（1）知， 所以， 所以数列为等差数列，首项为， 所以， 所以. 六、等差数列 性质的应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【典例1】（23-24高三下·广西柳州·模拟预测）在等差数列中，若，则（    ）． A．7 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【解析】在等差数列中， 若，则， 所以，所以．故选：B 【典例2】（24-25高三上·广东·联考）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【解析】由题意.故选：C. 【典例3】（23-24高三下·云南·月考）已知为等差数列的前n项和，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】在等差数列中，，． 又，，故选D． 七、等差数列的前n项和常用的性质应用 1、等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． 2、数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． 3、若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝. 【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可知， 在等差数列中，，仍为等差数列， 所以，所以．故选：C． 【典例2】（23-24高三下·天津南开·月考）已知等差数列和的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是等差数列和的前项和， ，又 所以故选：C. 【典例3】（23-24高三下高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 . 【答案】 【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 八、求解等比数列的基本量常用的思想方法 1、方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． 2、分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 【典例1】（23-24高三下·四川凉山·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【解析】由， 因，代入得，， 即，解得，或.故选：D. 【典例2】（23-24高三下·江苏无锡·开学考试）设各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．31 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，， 当时，，，则，所以. 所以，整理得， 由于且，所以， 则，所以，则，所以.故选：D 【典例3】（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）设等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．或9 B．8或 C．8或9 D．或 【答案】B 【解析】依题意，，因为，，所以， 故，即，即， 所以或或（舍去），所以或.故选：B 九、等比数列的判定与证明常用的方法： 1、定义法：为常数且数列是等比数列． 2、等比中项法：数列是等比数列． 3、通项公式法：数列是等比数列． 4、前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 【典例1】（23-24高三下·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得，即为， 又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．故选：D. 【典例2】（23-24高三下高三·全国·专题练习）已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由已知，， ∴， ∴， 显然与，矛盾， ∴，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列． （2）∵， ∴， ∴， 显然与，矛盾， ∴，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴，①， 又∵由第（1）问，，②， ∴②①得． 【典例3】（23-24高三下·重庆·月考）已知数列的前项和为，且，． (1)求，，并证明：数列为等比数列； (2)求的值． 【答案】(1)，，证明见解析；(2)968 【解析】（1）由已知可得，解得，， ，，， 两式相减得，即， ， 又， 所以，因为， 所以数列为等比数列. （2）由（1）得，，， ， . 十、等比数列的性质及应用 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、应用等比数列性质解题时的2个注意点 （1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若，则有”，可以减少运算量，提高解题速度． （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 【典例1】（23-24高三下·山东淄博·二模）已知等比数列则（    ） A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A 【解析】根据等比中项知道，求得，则. 又，则.故选：A. 【典例2】（23-24高三下·广西·二模）设是等比数列的前n项和，若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故.故选：D 【典例3】（23-24高三下·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【解析】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得，故选：A 十一、等差数列与等比数列的实际应用 解决数列新背景问题的步骤 （1）读懂题意：脱去传统风俗、数学文化等背景，读懂题意； （2）构造模型：根据题意构造等差数列、等比数列或递推关系的模型； （3）求解模型：根据数列的相关性质求解，如求特定项、通项公式或前n项和. 【典例1】（23-24高三下·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 【答案】D 【解析】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，故100年后天干为甲， 由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”， 所以2124年为甲申年．故选：D 【典例2】（23-24高三下·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】设第天水塘中的荷花朵数为，则， 设第天池塘内开放荷花的数量为，则，， ， 当时，， 当时，， 所以荷花的数量在第8天达到最大.故选：C. 【典例3】（23-24高三上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】设正方形的面积为，则数列是以1为首项，为公比的等比数列， 数列的前项和，随着的无限增大，无限接近于0， 所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于2．故选：B 易错点1 混淆数列与函数的区别 点拨：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错。 【典例1】（22-23高三·河南郑州·月考）等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（    ） A．4或5 B．5或6 C．4 D．5 【答案】A 【解析】设等差数列的首项为，公差为d， 则，解得，则， 所以， 由于，故当n取4或5时，取得最小值，故选：A. 【典例2】（22-23高三下·云南·月考）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】设等差数列{}的公差为， 因为，即，所以， 因为，解得，所以， 则， 这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值， 由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.故选：D． 易错点2 错误理解等比数列的“中项”概念 点拨：若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项，在解题时务必要注意此点。 【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·三模）设，则“”是“为的等比中项”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取，满足，但不成等比数列， 故“”推不出“为的等比中项”； 当为的等比中项时，必有成立， 故“”是“为的等比中项”的必要不充分条件，故选：B 【典例2】（23-24高三上·天津武清·月考）在等比数列中，，则与的等比中项为 . 【答案】 【解析】因为，所以与的等比中项为. 易错点3 等比数列求和时忽视对讨论 点拨：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论. 【典例1】（23-24高三下·山西太原·二模）已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ） A．9 B．9或18 C．13 D．13或37 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，由且， 当时，则，符合题意，则，又，所以， 所以； 当时，则，即，解得（舍去）或， 所以，则，又，所以， 所以； 综上可得或.故选：B 【典例2】（23-24高三上·江西上饶·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则 ． 【答案】 【解析】由，，成等差数列，则， 当时，， 由等比数列中，，则，故不满足题意， 则，所以， 化简得，. 解得（舍），或， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$