第09讲 线段的垂直平分线（3大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第09讲 线段的垂直平分线 课程标准 学习目标 探究线段的垂直平分线的性质与判定 1.理解线段垂直平分线的概念 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理 3.能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算 知识点01 线段垂直平分线的性质 定义:垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【即学即练1】 1．如图所示，在中，、分别垂直平分和，交于D、E． (1)，求的度数； (2)若的周长为18，求的长度． 【答案】(1) (2)18 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据分别垂直平分和，可知，进而得到，即可求解； （2）依据分别垂直平分和，得出，进而得到的长即周长． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：． （2）解：∵的周长为， ∴， 由（1）知，， ∴，即． 规律总结：线段的垂直平分线常与其他知识结合解决以下问题:(1)求角的度数:(2)求线段的长度;(3)求三角形的周长；(4)解决实际问题, 知识点02 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【即学即练1】 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解： 垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 方法技巧：线段垂直平分线的性质定理与逆定理是证明线段相等常用的一种重要方法。 知识点03 线段垂直平分线的作法 作法： 1.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点 2.作直线CD，CD即为所求直线． 【即学即练1】 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查基本尺规作图-线段的垂直平分线，根据题意在边上求作一点，使，可知是作线段的垂直平分线，由垂直平分线尺规作图按步骤求解即可得到答案，熟记基本尺规作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 题型01 线段垂直平分线的性质 【典例1】如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为cm，则（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 利用垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长进行转化求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为cm， ∴， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长 【答案】(1) (2)周长为 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，以及三角形的外角定理，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解的垂直平分线交于点， ， ， ； （2）解：的周长， ， ， ， ，， 的周长． 【变式1】如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得出，结合垂直平分线的性质，得出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵边的垂直平分线交于 ∴ ∵的周长 ∴的周长 故选：A 【变式2】如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 【变式3】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线，三角形的周长，根据垂直平分得，．根据，得，根据的周长为，得 ，即可得；掌握垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． ∵的周长为， ∴， 即的长为8． 题型02 线段垂直平分线的判定 【典例1】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上成为解题的关键． 如图所示，连接，由垂直平分线的性质可得，进而得到，最后根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上即可证明结论． 【详解】解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【变式1】如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析． 【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到，结合已知推出，得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 【变式2】如图，绕点A顺时针旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上． (1)求的度数； (2)F是延长线上一点，且，，如图2．求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定． （1）根据旋转的性质得到，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）先证明，推出，由旋转的性质得到，，根据线段垂直平分线的判定定理即可得解． 【详解】（1）解：由绕点A按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴垂直平分． 题型03 作已知线段的垂直平分线 【典例1】已知直线及位于其两侧的两点，，如图 (1)在图①中的直线上求一点，使； (2)在图②中的直线上求一点，使直线平分； (3)能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)能；点Q即为所求作的点 【分析】本题考查线段的垂直平分线性质、轴对称的性质以及三角形三边关系等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线与的交点即为所求． （2）作点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求． （3）图2中的点即为所求． 【详解】（1）解：连接，作线段的垂直平分线，直线和直线的交点为，点即为所求，如图①． （2）解：作点关于直线的对称点，连接且延长交直线于点，点即为所求，见图②． （3）图②中的点即为所求，见图③． 理由如下：在直线上任意取一点，连接，，， 、关于直线对称， ， （当与重合时等号成立）， ， 与重合时， ， 故点即为所求的点． 【变式1】如图，在中，，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交于点D和E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）根据是的垂直平分线，即可求作； （2）根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 1．如图，锐角中，边的垂直平分线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质．连接，根据三角形内角和定理可得，    从而得到，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵边的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N，②连接．连接．若，，则的周长为（　　） A．5 B．11 C．12 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． 利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∴的周长． 故选：D． 3．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 4．如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．方法一：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法二：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法三：由作法得：，再由等腰三角形的性质，可判断；方法四：由作法得：垂直平分，再由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可判断． 【详解】解：方法一：由作法得：， ∴， ∵ ∴，故方法一正确； 方法二：由作法得：， ∴， ∵， ∴，故方法二正确； 方法三：由作法得：， ∴， 根据题中条件，无法得到与的大小，故方法三错误； 方法四：由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故方法四正确； 故选∶C 5．如图，在中，，的周长为6，则的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义及其性质，先判断出是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵， ∴是线段的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴的周长是 ， 故选：C． 6．如图，已知 ，用尺规作图在线段上确定一点P，使得，则下列作法正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了垂直平分线的判定和作图，由题意可得，，，则，即点P在线段的垂直平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上， 故选：D． 7．如图，在中，点D在上，的垂直平分线与于点M，的垂直平分线与于点N，若的三个内角皆不相等，则下列判断正确的是（   ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出，，得到，由三角形内角和定理得到，由平角定义得到，因此，由三角形外角的性质推出，，又，得到． 【详解】解：在的垂直平分线上， ∴， ， 同理：， ， ，， ， ，， ， ． ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理， 故选：A． 8．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，，接着利用三角形内角和定理得到，然后利用可计算出的度数．本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，角的和差关系，等腰三角形的性质掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：． 9．如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定其倍比关系 【答案】B 【分析】连接、，由等边三角形的性质及角平分线的定义可得，，由垂直平分线的性质可得，，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，，可证是等边三角形，再根据等边三角形的定义即可得证． 【详解】解：连接、， ∵是等边三角形， ∴， ∵是是角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵、分别是、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、垂直平分线的性质及角平分线的定义，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定证得是等边三角形是解题的关键． 10．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，垂线段最短等知识．如图，连接，过点作于点．根据等腰三角形的三线合一的性质得出点与点重合，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断出最后利用三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点． ∵为中点，， ∴点与点重合， 垂直平分线段， ， ， ， ， 故选：C． 11．如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与 交于点． 则下列结论正确的有（   ） ①连接，则直平分线段；②是等边三角形：③若，则；④若，，则 ． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的判定定理即可判断；②由等边三角形的性质得，由平行线的性质得，即可判断；③由等腰三角形的性质得，由三角形外角性质得，即可判断；④由等腰三角形的判定可得 ，由等边三角形的性质得，，，即可判断． 【详解】解：①如图， 是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； 故①正确； ② 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 故②正确； ③， ， ， ； 故③错误； ④如图， 垂直平分， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 故④正确； 综上所述：①②④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，平行线的性质；掌握相关的判定方法及性质，能熟练进行线段和角的转换是解题的关键． 12．如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交 于点F，则 的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】题目主要考查垂线的作法，三角形内角和定理及等边对等角，根据题意得出，，结合图形及各角之间的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据作图痕迹得：， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长为，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．直接根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可得出结论． 【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，， ． 故答案为：9． 14．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 15．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算． 【详解】解：的周长， 又垂直平分， ， 故， ， ． 故答案为：． 16．如图，中，的垂直平分线交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，连接，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等边对等角得出，从而求出，进而得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 18．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据对称性质，将周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，三角形是等边三角形，周长，即最小就是的值最小，的面积是，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，且， ∵， ∴，即， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴当点在一条直线上时，周长，即最小就是的值最小， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 19．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图−线段垂直平分线，以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C，即可求解． 【详解】解：如图，点C即为所求，理由如下： 以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D，再分别以点B、D为圆心，为半径作弧，两弧分别相交于点A、E，连接交直线l于点C， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即． 20．如图，在中，D是边上一点，连接，是的垂直平分线，交于点F． (1)若，的周长为11，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，即可求出的周长； （2）证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解： 是的垂直平分线， ，． 周长， ， 的周长； （2）解：在中，． 由题意知，， 是等腰三角形． ， ． 21．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点 ，连接 ． (1)若的周长为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边对等角以及三角形内角和定理， （1）根据三角形周长的公式得，由垂直平分线的性质得，即可得解； （2）根据角平分线的定义得，然后再计算出的度数，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵的周长为，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 22．已知：，． (1)若，求证：是的垂直平分线； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，等边对等角； （1）先证明是等边三角形，可得，结合，可得结论； （2）证明可得，再证明，可得；从而可得结论； 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵是等边三角形，是的垂直平分线； ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴； 23．点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 线段的垂直平分线 课程标准 学习目标 探究线段的垂直平分线的性质与判定 1.理解线段垂直平分线的概念 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理 3.能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算 知识点01 线段垂直平分线的性质 定义:垂直且 一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的 相等. 【即学即练1】 1．如图所示，在中，、分别垂直平分和，交于D、E． (1)，求的度数； (2)若的周长为18，求的长度． 规律总结：线段的垂直平分线常与其他知识结合解决以下问题:(1)求角的度数:(2)求线段的长度;(3)求三角形的周长；(4)解决实际问题, 知识点02 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 到线段两端 相等的点在线段的垂直平分线上. 【即学即练1】 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 方法技巧：线段垂直平分线的性质定理与逆定理是证明线段相等常用的一种重要方法。 知识点03 线段垂直平分线的作法 作法： 1.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点 2.作直线CD，CD即为所求直线． 【即学即练1】 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 题型01 线段垂直平分线的性质 【典例1】如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为cm，则（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【典例2】如图，中，，的垂直平分线交于点． (1)若，求的度数 (2)若，，求的周长 【变式1】如图，在中，，边的垂直平分线交于，点在上，连接，，，则的周长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．12 【变式2】如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【变式3】如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，的周长为，求的长． 题型02 线段垂直平分线的判定 【典例1】如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【变式1】如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 【变式2】如图，绕点A顺时针旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上． (1)求的度数； (2)F是延长线上一点，且，，如图2．求证：垂直平分． 题型03 作已知线段的垂直平分线 【典例1】已知直线及位于其两侧的两点，，如图 (1)在图①中的直线上求一点，使； (2)在图②中的直线上求一点，使直线平分； (3)能否在直线上找一点，使该点到点，的距离之差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置，若不能，请说明理由． 【变式1】如图，在中，，． (1)尺规作图：求作的垂直平分线，分别交于点D和E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求的度数． 1．如图，锐角中，边的垂直平分线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N，②连接．连接．若，，则的周长为（　　） A．5 B．11 C．12 D．17 3．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 5．如图，在中，，的周长为6，则的周长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 6．如图，已知 ，用尺规作图在线段上确定一点P，使得，则下列作法正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   7．如图，在中，点D在上，的垂直平分线与于点M，的垂直平分线与于点N，若的三个内角皆不相等，则下列判断正确的是（   ）   A． B． C． D． 8．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，连接，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在等边中，与的平分线交于点D，分别作，的垂直平分线，，分别交于点M，N，则与边长的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定其倍比关系 10．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，D为的中点，M为直线上任意一点．若面积为40，且长度的最小值为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 11．如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与 交于点． 则下列结论正确的有（   ） ①连接，则直平分线段；②是等边三角形：③若，则；④若，，则 ． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 12．如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，作直线，交 于点F，则 的度数为 ． 13．如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长为，则的长为 ． 14．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 15．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ． 16．如图，中，的垂直平分线交于点，，则 ． 17．如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 18．如图，锐角中，，，的面积是，，，分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 19．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接，用尺规在直线l上作点C，使，保留作图痕迹，并简单说明的理由． 20．如图，在中，D是边上一点，连接，是的垂直平分线，交于点F． (1)若，的周长为11，求的周长； (2)若，，求的度数． 21．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点 ，连接 ． (1)若的周长为，，求的长； (2)若，，求的度数． 22．已知：，． (1)若，求证：是的垂直平分线； (2)若，求的大小． 23．点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$