第4章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第4章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D．0.5 【答案】B 【分析】本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项符合题意； C．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．0.5是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B 2．估计的值在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，正确化简二次根式和熟知估算无理数大小要用逼近法是解题关键； 先估算的大小，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 即， 故， 故选：C 3．下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．的算术平方根是 D． 【答案】A 【分析】题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、0.09的算术平方根是0.3，说法正确，不符合题意； D、，说法正确，不符合题意； 故选：A 4．已知正方形的面积为4，则该正方形的边长为（    ） A． B．2 C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，利用正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：正方形的面积是4，则正方形的边长是， 故选：B 5．若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可． 【详解】解：∵，即，，即， 又∵， ∴整数m的值为：3， 故选：B． 6．如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用．根据正方形的边长等于面积的算术平方根计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴正方形的边长为， 故选：C． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，根据加法法则计算即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能计算，故不正确； B．，故不正确； C．，正确；     D．与不是同类项，不能计算，故不正确； 故选：C． 8．如图，数轴上点中，与相对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先根据无理数的估算可知：，则，根据数轴上点的位置可作判断．本题考查数轴上表示的数及无理数的估算等知识． 【详解】解：， ∴， ， 由题意可知：点表示， 故选：B． 9．把精确到十分位的近似数是23.6，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数精确到十分位是23.6，则的取值范围为． 故选：B 10．下列说法错误的有（    ）个 ①9的平方根是3；②是9的平方根；③是分数；④无理数都是无限小数；⑤的平方根是；⑥平方根等于本身的数是0和1． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平方根，无理数，根据平方根和无理数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：9的平方根是，故①错误； 是9的平方根，故②正确； 是无理数，不是分数，故③错误； 无理数都是无限小数，故④正确； 的平方根是，故⑤正确； 平方根等于本身的数是0，故⑥错误； 故错误的有3个； 故选：C． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，深刻理解算术平方根的非负性是解题的关键． 根据算术平方根的非负性直接判断即可得出答案． 【详解】解：由算术平方根的非负性可知：， 即实数的取值范围为， 故答案为：． 12．若一个数的平方根是和，则这个数是 ． 【答案】25 【分析】此题考查了平方根，根据平方根的定义得到和互为相反数，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个正数．熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则这个正数的一个平方根为， 这个正数为． 故答案为：25． 13．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义计算即可解题． 【详解】解：的立方根是， 故答案为：． 14．若a，b为实数，且满足，那么 ． 【答案】8 【分析】此题考查了绝对值的非负性及算术平方根的非负性，正确理解非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性得到，，即可求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴，， ∴． 故答案为：8． 15．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 16．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数的大小是解题关键．直接利用估算无理数的大小方法分析可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 17．已知为两个连续的整数，且，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据得到，，再代入求值即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 18．设n为正整数，且，则n的值为 ． 【答案】14 【分析】此题考查了估算无理数的大小．先判断199在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：14 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．求下列各式中的x． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程， （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质化简计算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根、立方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有两个，且互为相反数；会求平方根和立方根． 利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值，根据立方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的算术平方根． 【详解】解：某正数的两个不同的平方根是和， ， ， 的立方根为， ， ， ， 其算术平方根为． 22．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方根，立方根，算术平方根的定义，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方根，立方根，相反数的意义结合数轴得位置即可解答； （2）根据绝对值的性质，立方根的性质，算术平方根的性质化简，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由数轴上的位置可知：，，， 又∵a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． ∴，，， 故答案是：，，； （2）由数轴上的位置可知：，， ∴，， ∴ 23．已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算： （1）根据无理数的估算方法得到，则，据此求出A、B的值即可得到答案； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得． 24．相传年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的关系：“任意直角三角形，都满足两直角边的平方和等于斜边的平方．”这就是著名的勾股定理，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系（如图①）．    根据勾股定理，我们可以由已知的两条直角边的长来求斜边的长． 例如： ，时，，； ，时，； 请你根据上述材料解答下列问题： (1)，时， ； (2)如果斜边长为，则直角边长可为正整数 ， ； (3)请你在数轴（如图②）上画出表示的点（保留作图痕迹）．    【答案】(1) (2)2，3 (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理： （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据即可得到答案； （3）作出以2和3为直角边的直角三角形，且使长为3的边在数轴上，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧与原点右边的交点即为所求． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：设两直角边的长分别为a、b， 由勾股定理得， ∵a、b都是正整数， ∴或， ∴直角边长可为正整数2，3； （3）解：如图所示，即为所求；    25．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 26．已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 27．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 28．如图，已知正方形 的边长为． (1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上． (2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________． (3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)图见详解 (2)； (3) 【分析】（1）根据勾股定理，即可找到相应的格点，即可得到答案； （2）根据数轴上点表示的数字及点到原点距离关系直接求解，即可得到答案； （3）根据夹逼法得到点D表示数字的范围得到a和b，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ， ∴正方形在网格中的图如下图， ； （2）解：∵点A与数重合，边在数轴上，边长为， ∴点D表示的数为：； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，数轴上数的表示，无理数小数部分及整数部分计算，解题的关键是找到点D代表的数字． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列四个数中，无理数是（    ） A． B． C． D．0.5 2．估计的值在（    ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 3．下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B． C．的算术平方根是 D． 4．已知正方形的面积为4，则该正方形的边长为（    ） A． B．2 C． D．16 5．若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如果一个正方形的面积为10，那么它的边长为（　　） A．10 B． C． D． 7．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，数轴上点中，与相对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．把精确到十分位的近似数是23.6，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法错误的有（    ）个 ①9的平方根是3；②是9的平方根；③是分数；④无理数都是无限小数；⑤的平方根是；⑥平方根等于本身的数是0和1． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．若，则实数的取值范围为 ． 12．若一个数的平方根是和，则这个数是 ． 13．的立方根是 ． 15．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 16．比较大小： （填“”“”或“”）． 17．已知为两个连续的整数，且，则的值为 ． 18．设n为正整数，且，则n的值为 ． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．求下列各式中的x． (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)． 21．已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．求的算术平方根． 22．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是的立方根，c是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值：． 23．已知的整数部分为，的小数部分为，求： (1)的值． (2)的值． 24．相传年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上找到了直角三角形三边的关系：“任意直角三角形，都满足两直角边的平方和等于斜边的平方．”这就是著名的勾股定理，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系（如图①）．    根据勾股定理，我们可以由已知的两条直角边的长来求斜边的长． 例如： ，时，，； ，时，； 请你根据上述材料解答下列问题： (1)，时， ； (2)如果斜边长为，则直角边长可为正整数 ， ； (3)请你在数轴（如图②）上画出表示的点（保留作图痕迹）．    25．观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 26．已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 27．根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 28．如图，已知正方形 的边长为． (1)有的网格，每个方格的边长为1，把正方形画在网格中，要求顶点在格点上． (2)如图，把正方形放到数轴上，使得点A与数重合，边在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________． (3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$