第4章 实数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第4章 实数（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 一、单选题 1．用四舍五入按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 【答案】C 【分析】本题考查了根据精确度取近似数．根据近似数的精确度的定义（保留到哪一位就精确到第几位）逐一判断即可得． 【详解】解：A、精确到，说法正确，本选项不符合题意； B、精确到百分位，说法正确，本选项不符合题意； C、精确到百分位，原说法错误，本选项符合题意； D、精确到，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了无理数的定义，无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”，熟记定义是解题的关键．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是无限循环小数，为有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D 3．计算的结果在（    ） A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间 【答案】D 【分析】估计的大小，即可估计的大致范围． 【详解】∵ ∴ ∴ 即的结果在7至8之间 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算，关键是确定算术平方根在哪两个相邻自然数之间． 4．的立方根是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，先的求得的值，然后再依据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 64的立方根是4． 故选：C． 5．已知△ABC的三边a，b，c满足，则ABC的的面积为（   ） A．12 B．6 C．15 D．10 【答案】B 【分析】三个非负数的和为0，则它们都为0．根据此性质可得a、b、c的值，由勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，从而可求得△ABC的面积． 【详解】∵，，，且 ∴，， ∴b-4=0，2c-6=0，3a-15=0 即b=4，c=3，a=5 ∵ ∴由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且a是斜边 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算等知识，关键是非负性的应用． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的坐标特点确定a，b的符号，再去绝对值符号和开立方根，化简即可． 【详解】由图可知：， 且， ∴，， 原式 ． 故选：A． 【点睛】考查了数轴，解答此题时可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势． 7．下列说法正确的是（    ）． A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．根据立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、一个正数的立方根只有一个，选项错误，不符合题意； B、负数有立方根，选项错误，不符合题意； C、负数的立方根是负数，选项错误，不符合题意； D、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，正确，符合题意； 故选：D． 8．满足的整数x的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小和整数的概念．先估算出与的取值范围，再根据整数的概念进行求解，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与之间的整数有：，0，1，2，共4个， 故选：D． 9．若的平方根是和，则的值是（    ） A．49 B．25 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键；根据平方根的定义进行列式计算即可． 【详解】解：∵若的平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：A． 10．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和； ， ， ， 这个正数为：， 故答案为： 12．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：，， 比大且比小的整数有3、4、5， 故答案为：3或4或5． 13．比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 14．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 首先对估算出大小，从而求出其整数部分，再进一步表示出其小数部分，最后代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知月球与地球的距离约为，这个距离用科学记数法（精确到万位）表示为 . 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，算术平方根，先根据网格求出正方形的面积，确定正方形的边长，继而得出的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式即可得解．掌握数轴表示数的方法是解题的关键． 【详解】解：∵在的方格放置在数轴上，格点正方形如图所示， ∴正方形的面积为：， ∴边长， ∵以点 为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点， ∴， ∵顶点在数轴上表示， ∴点所表示的数是． 故答案为：． 17．若，且a，b为两个连续整数，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了实数的估值，平方根，正确掌握无理数的估值方法是解题的关键． 根据的大小求出、，代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵、为两个连续整数，且， ， ， 故答案为：3． 18．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．直接利用海伦·秦九韶公式列式计算即可． 【详解】解：，， 则 则三角形的面积为 故答案为： 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．求下列各式中的值． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握实数是解题的关键． （1）先计算开方与零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算开方，乘方，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 22．若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，见解析 【分析】本题考查立方根，非负数的性质，勾股定理的逆定理．熟练掌握偶次方的非负性，算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据立方根的意义求出x，根据非负数的性质求出y、z的值即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解∶∵实数x的立方根是2， ， ， ， 又， ， ， ，， （2）解：，，， ∵，， ， 是直角三角形． 23．观察如图，每个小正方形的边长均为1 (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 【答案】(1)17， (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解此题的关键． （1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可； （2）以为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求． 【详解】（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的边长是，面积是， 故答案为：17，； （2）解：如图：点P表示的数为. 24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．    (1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 ； 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，解题的关键是能够利用勾股定理求出网格中线段的长度． （1）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形；　 （2）利用勾股定理结合网格得出符合题意的图形． 【详解】（1）解：如下图即为所求：    面积为13的正方形的边长为， ∵， ∴如图所示的四边形即为所求； （2）解：如下图即为所求    ∵，， ∴如图所示的三角形即为所求； ∴． 25．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分为． （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 26．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 27．探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 28．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 (4)数轴见解析， 【分析】（1）由，可作出单位长度以3和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，即可解答； （2）设1个小正方形的面积为1，则5个小正方形的面积为5，即所拼成的大正方形的边长为，进而即可画出裁剪线和所拼得的大正方形； （3）由题意可求出正方形纸片的边长为．设长方形纸片的宽为，则长为，则可列出关于x的方程，再利用平方根解方程，即得出长方形纸片的长为，最后比较即可； （4）由，可作出单位长度以2和1为长和宽的矩形，其对角线即是，然后以表示的点为圆心，以为半径画弧，与数轴右侧的交点即为．再画出表示的点，根据数轴的性质比较即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所作；    （2）解：如图所示；    （3）解：不能． 理由：由题意可知这个面积为的正方形纸片的边长为， 设面积为的长方形纸片的宽为，则长为， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴长方形纸片的长为． ∵， ∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片； （4）解：在数轴上表示数和的点如图，    有数轴可知：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，数轴和利用平方根解方程．利用数形结合的思想是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 实数（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．用四舍五入按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 2．下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果在（    ） A．4至5之间 B．5至6之间 C．6至7之间 D．7至8之间 4．的立方根是（    ） A． B． C．4 D． 5．已知△ABC的三边a，b，c满足，则ABC的的面积为（   ） A．12 B．6 C．15 D．10 6．实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（    ） A． B． C．0 D． 7．下列说法正确的是（    ）． A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．任何数的立方根都是非负数 D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0 8．满足的整数x的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若的平方根是和，则的值是（    ） A．49 B．25 C．7 D．5 10．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 ． 12．写出一个比大且比小的整数 ． 13．比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 14．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值为 ． 15．已知月球与地球的距离约为，这个距离用科学记数法（精确到万位）表示为 . 16．如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点在数轴上表示．以点为圆心，为半径作半圆，交数轴右侧于点，则点所表示的数是 ． 17．若，且a，b为两个连续整数，则 ． 18．数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦·秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为，，，记，那么面积．若一个三角形的三边长为，，，则三角形的面积为 ． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．求下列各式中的值． (1) (2) 20．计算： (1) (2) 21．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 22．若实数x的立方根是2，且实数y、z满足． (1)分别求x、y、z的值； (2)若x、y、z是的三边长，试判定的形状，并说明理由． 23．观察如图，每个小正方形的边长均为1 (1)图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______； (2)请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）． 24．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．    (1)在图①中以格点为顶点画出一个面积为13的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，，并计算该三角形的面积． 25．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 26．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 27．探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 28．下面是小敏写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2023年9月22日天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为． 类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！    任务： (1)在图3中画图确定表示的点M．    (2)把5个小正方形按图中位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．请在图中画出裁剪线，并在图4中画出所拼得的大正方形的示意图．    (3)小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片如图5，使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由．    (4)在图6中的数轴上分别标出表示数以及的点，并比较它们的大小．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$