第3章 勾股定理（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第3章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 2．如图，公园园内池塘边A、B两点，在池塘边选定一点C，构成一个，使，若测得长，长，则A、B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 4．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 5．下列不能组成直角三角形三边长的是（    ） A．5，12，13 B．6，8，10 C．4，5，6 D．8，15，17 6．有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A． B． C． D． 7．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 8．如图，一棵树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处，树折断之前有（    ）米 A． B． C． D．4 9．如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 10．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．在中，若，则 度． 12．把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 13．如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 14．若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 15．如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    16．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 18．如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则 ． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图所示，四边形，，求四边形的面积． 20．如图，一架云梯长为米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求云梯底端在水平方向滑动了多少米？ 21．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 22．如图，在中，于D，，，． (1)的长； (2)的长． 23．如图，长方形纸片中，，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，试确定重叠部分的面积． 24．若a，b，c是的三边，满足，判断并说明的形状． 25．定义：如图所示，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 26．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 27．【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 28．（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是的三角形，或者三角形的三边满足：，则：三角形为直角三角形是解题的关键．根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，是直角三角形，不符合题意； B、，，不是直角三角形，符合题意； C、，，是直角三角形，不符合题意； D、三边的长分别为5、4、3，，是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 2．如图，公园园内池塘边A、B两点，在池塘边选定一点C，构成一个，使，若测得长，长，则A、B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据求解即可． 【详解】解：在中，， 故选：A． 3．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理判断其形状． 【详解】解：化简，得，所以三角形是直角三角形， 故选：C． 4．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 5．下列不能组成直角三角形三边长的是（    ） A．5，12，13 B．6，8，10 C．4，5，6 D．8，15，17 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，求出较小两边平方的和，将其与最大边的平方比较后即可得出结论． 【详解】解：A、∵， ∴它们能构成直角三角形； B、∵， ∴它们能构成直角三角形； C、∵， ∴它们不能构成直角三角形； D、∵， ∴它们能构成直角三角形． 故选：C. 6．有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据两点之间，线段最短，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， 设大树高为，小树高为， 过C点作于点E，则． 连接， 在中，由勾股定理得：； 即：小鸟至少飞行； 故选B． 7．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 8．如图，一棵树在离地面米处断裂，树的顶部落在离底部米处，树折断之前有（    ）米 A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键． 由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】如图， 由题意可知，米，米，， 由勾股定理得： （米） （米） 即树折断之前有米． 故选：C． 9．如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件及勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选B． 10．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆柱的计算、侧面展开——路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：圆柱体的展开图如下图所示：用一根棉线从顺着圆柱侧面绕圈到的运动最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成个小长方形，从沿着个长方形的对角线运动到的路线最短． 圆柱底面半径为， 长方形的宽即圆柱体的底面周长为：， 又圆柱高为， 小长方形的一条边长是， 根据勾股定理求得， ， 故选：B． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．在中，若，则 度． 【答案】90 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形是解题关键．由题意可知，即可求解． 【详解】解：在中，， 是直角三角形，且是斜边， ， ， 故答案为：90． 12．把三个正方形按如图位置摆放，其中两个小正方形的面积分别为，，则大正方形的面积 ． 【答案】35 【分析】本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定和性质，证得是解决问题的关键． 根据题意，可以证得，得到，再根据勾股定理，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 三个四边形均为正方形， ，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 即． 故答案为：35． 13．如图，在中，为直线上一动点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么．过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作于， 由垂线段最短可知，此时最小， 由勾股定理得，， ，即， 解得，， 故答案为：． 14．若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：． 故答案为：． 15．如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是利用法则不变性，熟练应用勾股定理解决问题，属于基础题，中考常考题型． 根据题意设，在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：设， 在中， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求． 【详解】解：连接， 则， ，即， 为直角三角形， 四边形的面积， 故答案为：36． 17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用求最短路径问题，先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为20， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x ， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）． 故答案为：25． 18．如图，在中，为中线，，，，将沿着翻折到，连接、，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质等知识，第一步利用三角形内角和定理先证明，同理可证明：，再根据折叠有，，再根据“三线合一”的性质有，，最后根据勾股定理有，，，问题随之得解． 【详解】延长交于点F，如图， ∵为中线，， ∴，点E为中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，同理可证明：， 根据折叠可知：，， ∴在等腰中，，， ∵，点E为中点， ∴在等腰中， ， ∵，， ∴根据勾股定理有：，，， ∵，，，， ∴，，， 解得：， 故答案为：． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图所示，四边形，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，由勾股定理得到，由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，为斜边，根据即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴． 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，为斜边， ∴． 20．如图，一架云梯长为米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求云梯底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，在中，由勾股定理得米进而米，在中，利用勾股定理求得，从而即可得解． 【详解】在中，，米， 米， （米）， （米）， 在中，，米， 米， （米） （米）， 答：云梯底端在水平方向滑动米． 21．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 22．如图，在中，于D，，，． (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可； （2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出的长，进而解答即可． 【详解】（1）解：在中， ； （2）解：在中， ， ． 23．如图，长方形纸片中，，现将重合，使纸片折叠压平，设折痕为，试确定重叠部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是图形的翻折变换和勾股定理，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．要求重叠部分的面积，选择作为底，高就等于的长；而由折叠可知，由平行得，代换后，可知，问题转化为在中求． 【详解】解：设，由折叠可知，， 在中，，即， 解得：， 由折叠可知， ， ， ，即， ． 24．若a，b，c是的三边，满足，判断并说明的形状． 【答案】等腰三角形或直角三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，分解因式的应用，等腰三角形的定义，先将变形并进行化简得出，证明或，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ∴或， ∵a，b，c是的三边， ∴或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 25．定义：如图所示，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 【答案】(1)是，见解析； (2)或 【分析】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． （1）根据勾股定理逆定理即可判断． （2）设，则，分两种情形：①当为最长线段时，依题意；②当为最长线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：是． 理由：， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形． 故点、是线段的勾股分割点． （2）设，则， 当为最长线段时，依题意， 即，解得； 当为最长线段时，依题意． 即，解得． 综上所述的长为或． 26．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 27．【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）10；（2）34；（3）；（4）24 【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，勾股定理解三角形，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据题意，利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得出，再由完全平方公式变形求解即可； （3）根据题意得出，然后利用完全平方公式及勾股定理求解即可； （4）根据题意得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：34； （3）∵，的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 28．（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）证明点，，在同一条直线上后，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证； （2）把沿着翻折，得到，连接．由折叠可得 ，，，．先证明为等边三角形得．再由，得．利用勾股定理即可得解； （3）由折叠性质得，， ，．进而根据角平分线得．，从而得．证是等边三角形得．在中，根据勾股定理得，从而由，，即可得解． 【详解】(1)证明∶把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上． 又∵，， ∴为等边三角形． ∴． (2)解：如图所示，把沿着翻折，得到，连接． 由折叠可得 ，，，． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． (3)．理由如下： 如图，把沿边翻折得到，连接，，则，， ，． ∵平分，， ∴． ∴． 又∵ ，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，角平分线的有关计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$