第3章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（江苏专用，苏科版）

第3章 勾股定理（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在中，，，，所对的边分别为a，b，c，且，则（　　） A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先把等式化为的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边， ∴为直角． 故选：A． 2．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母所在的正方形边长为（　　） A．36 B． C．6 D．164 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解决问题的关键． 根据题意可知，，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：，，， ,， 图中字母M所代表的正方形面积为：， ． 故选：C． 3．小明从家走到邮局用了分钟，然后右转弯用同样的速度走了分钟到达书店（如图所示），已知书店距离邮局米，那么小明家距离书店（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】考查了勾股定理在实际生活中的应用．利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离． 【详解】解：小明家到书店所用的时间为分钟， 又小明的速度为米分钟， 故小明家距离书店的距离为米． 故选：B． 4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明及勾股定理的应用，运用勾股定理可知，，得每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，即，同理可得即可得． 【详解】解：如图所示，根据题意可得：， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ， ， 同理可得：， ， 故选：C． 5．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠知，． ∴， ∵，， ∴， 解得：， 的长为． 故选：B． 6．著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟悉的三角形组合而成，如图，在中，，若，则的值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．60 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明，，，再结合平方差公式可得答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ∵， ∴； 故选D 7．教材赏析：在欧几里得时代，人们就已经知道了勾股定理的一些拓展．例如，《原本》第六卷命题31就曾介绍：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和．”（备注：相似指的是图形形状相同）以下4个图形中符合的有（        ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，第1幅图利用正方形面积公式以及勾股定理即可证明；第2幅图利用等边三角形的面积以及勾股定理即可证明；第3幅图利用圆面积公式以及勾股定理即可证明；第4幅图根据计算即可． 【详解】解：如图，设，，， 第1幅图，由勾股定理可得， ． 第2幅图，由勾股定理可得， ，，， ． 第3幅图，由勾股定理可得， ，，， ． 故答案为． 第4幅图，由勾股定理可得， ． 故选：D． 8．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 9．如图，是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高都分别为，，．和是这个台阶上两个相对的点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先画出台阶的平面展开图，可知是长方形，长为，宽为，根据两点之间，线段最短，可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长，利用勾股定理求出的长即可求解，找出蚂蚁沿台阶面爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， ∵两点之间，线段最短 ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是线段的长， ∴， ∴， 故选：． 10．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 12．如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为 ． 【答案】14 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，在中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，可得出与垂直，在直角三角形中，由勾股定理求出，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， 即， 为直角三角形，且， ， ， ， ． 故答案为：14． 13．如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的平方即为的值，熟练掌握勾股定理，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 故答案为：25． 14．已知直角三角形的斜边比一直角边长，另一直角边长为，则该三角形的斜边长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，设一条直角边的长为，则斜边为，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】设一条直角边的长为，则斜边为 该直角三角形的斜边为． 故答案为：． 15．在中，，，，则的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据该三角形三边关系，确定为直角三角形，并确定两条直角边，从而计算面积 ． 【详解】解：在中，，， ， 是直角三角形，且两直角边为， 故答案为：30． 16．如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的半径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题，涉及勾股定理，根据题意，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握蚂蚁在圆柱上爬行的最短路径问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：沿着圆柱上经过点和点的母线剪开，展开后，如图所示： 由题意可知，，， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是线段的长度， 在中，， 故答案为：． 17．如图，直角中，，，则内部四个小直角三角形的周长为 ． 【答案】56 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，故内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可． 【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的， 内部四个小直角三角形的周长等于直角的周长， 根据勾股定理得，， 内部四个小直角三角形的周长为：． 故答案为：56． 18．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为 【答案】秒或秒或秒 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，根据勾股定理得出，根据题意得，然后分为底和腰两种情况讨论即可．解题的关键是掌握勾股定理及等腰三角形的性质． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒， ∴， ①当为底边时， ∵是等腰三角形， ∴， 如图，过点作于， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：（秒）； ②当为腰时， 如图， 当时，得：（秒）； 当时， ∵， ∴， ∴（秒）； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 故答案为：秒或秒或秒． 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形中，，，，，，试问这块空地的面积？ 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式，先在中，利用勾股定理可求，在中，再利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，分别利用三角形的面积公式求出、的面积，两者相加即是四边形的面积，解题的关键是作出辅助线求出及证得是直角三角形． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， 答：这块空地的面积是． 20．如图，在中，，，． (1)用直尺和圆规作出的平分线，与相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)上述尺规作图中的点D到所在直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，角平分线的性质等知识，熟知尺规作图的基本操作和角平分线的性质是解题关键． （1）根据尺规作图，作出的平分线，交于点，问题得解． （2）过点作于点，得到，根据利用三角形面积公式得到求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求中的平分线； （2）解：如图，过点作于点， 平分， ， ∵中，，，，． ∴， ， 即 解得， 即点到的距离为． 21．判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，（为正整数）． 【答案】(1)不是直角三角形，理由见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)是直角三角形，理由见解析 (4)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一小题进行分析，即可得出答案． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （3）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （4）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形； （2），符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； （3），符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； （4），符合勾股定理的逆定理，是直角三角形． 22．如图，在中，，，．    (1)若，求证； (2)如果，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余得出，根据垂直平分线的性质得出，求出，得出平分，根据角平分线的性质得出结果即可； （2）设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：中，， ∴， 根据题意可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ，， ∴． （2）解：根据解析（1）可知，， 设，则， ∵在中，， 则， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌垂直平分线的性质，勾股定理，是解题的关键． 23．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 24．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)试说明为直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）由，可得是直角三角形； （2）由（1）可知，，由是的垂直平分线，可得，设，则，由勾股定理得，，即，可求，进而可求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可知，， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴． 25．在中，，，D是斜边的中点，E，F分别是，边上的点． (1)如图1，当时， ①判断和的数量关系； ②若，，求的面积． (2)如图2，当点E，F分别为，延长线的一点，且，连接，，直接写出的面积． 【答案】(1)①，② (2)360 【分析】（1）①连接，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，再结合已知条件证明与全等，由全等三角形的性质可得 ；②由①得：，由全等三角形的性质可得，；在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可；则可得出的面积． （2）根据题意画出图形，连接，要求的面积，同（1）②可得是等腰直角三角形，即可求出的面积． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵，D为中点 ∴，， 又∵ ∴， 即， 在与中 ∴ ∴ ②由①得： ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵，且 ∴ ∴ ∴= （2）根据题意画出图形，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， 在中，， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定以及性质，以及勾股定理的应用，等知识，掌握这些知识是解题的关键． 26．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． (1)的面积记作，求的值． (2)求的周长． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】本题主要考查了考查勾股定理、三角形面积公式等知识点，灵活运用勾股定理以及数形集合思想是解题关键． （1）根据勾股定理和，由图形关系可得，解得，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）由，据此可求出，然后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． ∵， ∴，整理得：， ∴， （2）解：∵， ∴（负值舍去）， ∴的周长． 27．（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析  （3）128 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，得出，从而得到； （2）根据证明，得出，从而得到； （3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）在中，， ∴ 过点A作，交于点F， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 28．在中，，点是边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点 (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，在线段上截取，连接交于点，求证:； (3)如图3，若点为的中点，点是线段延长线上的一点，连接，求，，的数量关系 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，即可得出； （2）过点A作交的延长线于点F，同（1）可证，推出，，结合可得，进而证明，推出，即可得出； （3）过点D作交的延长线于点H，连接，，由等腰直角三角形的性质可得，，进而证明，推出，，用勾股定理解和，通过等量代换可得． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2，过点A作交的延长线于点F， 同（1）可证， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ； （3）解：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点H，连接，， ，点为的中点， ，， ，， ，， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是 尺 12．如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为 ． 13．如图，已知的斜边，分别以直角边、为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，则的值为 ． 14．已知直角三角形的斜边比一直角边长，另一直角边长为，则该三角形的斜边长为 cm． 15．在中，，，，则的面积是 ． 16．如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的半径等于，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是 ． 17．如图，直角中，，，则内部四个小直角三角形的周长为 ． 18．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒，在整个运动中，当是等腰三角形时，的值为 3、 解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．如图，在某住宅小区在施工中留下一块空地四边形中，，，，，，试问这块空地的面积？ 20．如图，在中，，，． (1)用直尺和圆规作出的平分线，与相交于点D．（不写作法，保留作图痕迹） (2)上述尺规作图中的点D到所在直线的距离为______． 21．判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，（为正整数）． 22．如图，在中，，，．    (1)若，求证； (2)如果，，试求的长． 23．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 24．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)试说明为直角三角形． (2)求的长． 25．在中，，，D是斜边的中点，E，F分别是，边上的点． (1)如图1，当时， ①判断和的数量关系； ②若，，求的面积． (2)如图2，当点E，F分别为，延长线的一点，且，连接，，直接写出的面积． 26．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． (1)的面积记作，求的值． (2)求的周长． 27．（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    28．在中，，点是边上一点，连接，过点作直线的垂线，垂足为点 (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，在线段上截取，连接交于点，求证:； (3)如图3，若点为的中点，点是线段延长线上的一点，连接，求，，的数量关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$