第4节 复数-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第五章 平面向量与复数 第4节 复数 【知识梳理】 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中________是复数z的实部，______是复数z的虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R) (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔____________(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作________或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________； ④除法：＝＝＝________________(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝_______，＝____. 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 4．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 5．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 8．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 9．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 10．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 12．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 13．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 14．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 15．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【专项训练】 一、单选题 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 3．复数满足，则在复平面内表示复数的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若是虚数单位），则的值分别等于（    ） A．4， B．4， C．0， D．0， 5．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 8．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 二、多选题 9．已知，则（    ） A．的虚部为 B．是纯虚数 C．在复平面内所对应的点位于第一象限 D． 10．为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B． C．若复数满足，则 D．若复数满足，则的最大值为1 11．在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 三、填空题 12．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的实部是 . 13．若关于的方程有实根，则实数的值为 . 14．若复数，为的共扼复数，则的虚部为 . 四、解答题 15．复数，其中. (1)若为实数，求a的值； (2)若为纯虚数，求a的值； (3)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 16．计算下列各题： (1)； (2)； (3). 17．若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. (1)求复数和； (2)若，（，），求实数，的值. 18．已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 19．已知复数. (1)计算复数，并求； (2)若复数满足，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平面向量与复数 第4节 复数 【知识梳理】 1．复数的有关概念 (1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数z的实部，b是复数z的虚部，i为虚数单位． (2)复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)： (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 【常用结论】 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． 2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i(n∈N*)． 3．z·|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n． 4．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 5．若ω＝－±i，则(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0. 6．z＝⇔z∈R. 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】由题意得.故选：C. 2．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【解析】依题意得，，故.故选：D 3．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【解析】由，则.故选：A 4．（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【解析】若，则.故选：C. 5．（2024·全国·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以.故选：C. 6．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，.故选：D 7．（2023·全国·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【解析】由题意可得， 则.故选：C. 8．（2023·全国·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【解析】故选：C. 9．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【解析】因为， 所以，解得：．故选：C. 10．（2023·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得， 则.故选：B. 11．（2023·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解析】因为，所以，即．故选：A． 12．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A. 二、填空题 13．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【解析】设，且. 则，，，解得 14．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ． 【解析】. 15．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【解析】由题意可得. 【专项训练】 一、单选题 1．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由,得， 所以.故选：B. 2．已知复数，为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【解析】由可得，故虚部为，故选：D 3．复数满足，则在复平面内表示复数的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解析】由得，，所以对应点的坐标是，故选：B． 4．若是虚数单位），则的值分别等于（    ） A．4， B．4， C．0， D．0， 【解析】，，． 则，的值分别等于4，．故选：B． 5．已知是虚数单位，则复数对应的点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】易知，, 所以， 其对应点的坐标为，位于第一象限.故选：A 6．已知为虚数单位，复数，，且满足，求点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解析】，， 则，即，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 故点到直线距离的最大值为．故选：． 7．已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解析】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而，即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即，故选：B 8．已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【解析】因为， 若z为纯虚数，则，即，则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限.故选：A. 二、多选题 9．已知，则（    ） A．的虚部为 B．是纯虚数 C．在复平面内所对应的点位于第一象限 D． 【解析】的虚部为1，故A项错误； 为纯虚数，故B项正确； ，其在复平面内所对应的点位于第一象限，故C项正确； ，，，故D项错误. 故选：BC. 10．为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B． C．若复数满足，则 D．若复数满足，则的最大值为1 【解析】对于A，，选项A正确； 对于B，，选项B正确； 对于C，设，则，，所以或，时，，选项C错误； 复数时，则复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，故的最大值为2，选项D错误. 故选：AB. 11．在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（    ） A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 【解析】对于A，方程可化为，所以或，所以和，选项A错误； 对于B，复数，虚部是5，选项B正确； 对于C，复数满足，所以,故，即，所以，选项C正确； 对于D，若是方程的一个根，则也是方程的根， 所以，解得或，选项D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的实部是 . 解析】由题意可得，所以实部为1. 13．若关于的方程有实根，则实数的值为 . 【解析】设原方程的实根为，则，即， 所以，解得或，故答案为：或． 14．若复数，为的共扼复数，则的虚部为 . 【解析】由可得，所以， 故，故虚部为 四、解答题 15．复数，其中. (1)若为实数，求a的值； (2)若为纯虚数，求a的值； (3)若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 【解析】（1）若为实数，则，解得或． （2）若为纯虚数，则，解得． （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得．即a的取值范围为 16．计算下列各题： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）原式. （2）原式. （3） . 17．若复数满足，其中为虚数单位，其共轭复数为. (1)求复数和； (2)若，（，），求实数，的值. 【解析】（1）由，得；. （2）由（1）知，，则， 由，得，所以. 18．已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 【解析】（1），， ，所以，， （2）由可得， 故 19．已知复数. (1)计算复数，并求； (2)若复数满足，求实数的值. 【解析】（1）因为 所以. （2）由，得， ，， 所以，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$