2025届高三年级数学摸底考试01 解析版

2025届高三年级摸底考试01 原卷版 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则（ ） A． B． C． D． 2．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ） A．29 B．120 C．100 D．112 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4.现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（ ） A． B． C． D． 5.设，，，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 6.已知平面向量满足且,则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7.数列中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 8.F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A．的一个对称中心 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递减区间为 10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A．所有可能的方法有种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 11．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 13．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为 ． 14．已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 16.（15分）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 17.（15分）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. (1)求证：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 18.（17分）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 19.（17分）如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级摸底考试01 解析版 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知，则（ ） A． B． C． D． 1.【答案】D 1.【详解】由，所以， 故选：D. 2．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg，标准差为6，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（ ） A．29 B．120 C．100 D．112 2.【答案】B 2.【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差. 故选：B 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．【答案】A 3.【详解】令，则， 所以，故选：A. 4.现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（ ） A． B． C． D． 4.【答案】B 4.【详解】6人的全排列有，利用插空法，将余下的三个人全排列， 则将甲、乙、丙三人插入到四个空中且他们的顺序为甲乙丙一种， 又由甲、乙、丙三人的全排列有种， 所以甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的排法有种， 故所求概率为． 故选：B． 5.设，，，则的大小顺序为（ ） A． B． C． D． 5.【答案】C 5.【详解】由，且， 构造函数，可得， 当时，，单调递减， 又由，故，即. 选选：C. 6.已知平面向量满足且,则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6.【答案】D 6.【分析】利用向量的数量积求出，即可求出. 6.【详解】由,. 因为，. 故选：D． 7.数列中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 7.【答案】C 7.【解析】 分析】根据，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD. 【详解】由可得，由于，所以， 故，故， 又可得， 因此， 故，故AB错误， 又，又因为，则等号无法取到， 故， 由于故，因此 ，故C正确，D错误， 故选：C 【点睛】关键点点睛：将变形为和，即可累加以及累乘求解. 8.F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.【答案】A 8.【详解】试题分析：如图所示，设，因为，所以， ，所以，解得 ，所以，，在中，由余弦定理得 ，化为，所以 ，化简得，所以，故选A． 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了余弦定理和椭圆离心率的求解，注重考查了学生的推理能力和计算能力、转化与化归思想的应用，解答中，根据题设条件，得出，，在根据余弦定理列出关于的方程是解答的关键． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ） A．的一个对称中心 B．的对称轴方程为 C．在上的值域为 D．的单调递减区间为 9.【答案】BCD 9.【详解】由题图可得，，解得． 又， 可得，解得． 因为，所以，所以． 所以 ． 对于A，当，， 所以不是的一个对称中心，故A错误； 对于B，令，可得， 故的对称轴方程为，故B正确； 对于C，时，，所以， 故在上的值域为，故C正确； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为，故D正确． 故选：BCD． 10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A．所有可能的方法有种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 10．【答案】BCD 10.【详解】所有可能的方法有种，A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则有种安排方法，B正确. 对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确. 对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确. 故答案为：BCD 11．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．为奇函数 D． 11.【答案】ABC 11.【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：对于含有，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 12.【答案】 12.【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，，所以. 故答案为： 13．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为 ． 13.【答案】 13.【详解】由题意可得：甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率. 因为，所以，解得：. 又因为，所以. 故答案为：. 14．已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ． 14．【答案】 14.【详解】由函数，令，可得， 即，因为，所以，所以， 可得或，即或， 令，，可得，， 当时，可得，在单调递增，且； 当时，且； 当时，可得，在单调递减； 当时，可得，在单调递增，且， 又当时，，， 当时，且； 作出函数的图象，如图所示， 要使得有两个实数根，即有两个不同的零点， 结合图象，可得或，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 15.【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 16.（15分）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，无递增区间；(2). 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号，即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. （2）当时，恒成立， 令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 17.（15分）如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. (1)求证：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 17.【详解】（1）取中点，连接、，如图所示： ，点是的中点，， 又是的中点，， 又在直三棱柱中，有， 平面 ，平面， 平面，且面，平面平面，， 平面，且平面，， 又，且、平面， 平面，又，平面， 又ME平面，面平面. （2）由（1）知平面，则，设，则，，，， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大， 此时，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，，，，，设平面的一个法向量为， 则有，取，解得， 设直线与平面所成的角为，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18.（17分）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以．所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． （2）由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 19.（17分）如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设，则． 直线的方程为，，． ，．，， 化简得，其中．即的方程为：． （2）抛物线的图象关于轴对称，点在上， 点关于轴对称的点也在抛物线的图象上． 设直线的方程为，，，则． 联立方程得：，整理得． ，，． 设，则，． 三点共线，，． 即，又，．． 点关于轴对称，，为等边三角形，， 直线的斜率，． 由，得． ，，又，， 则点到直线的距离． 设，则，且，故． 在上单调递减，． 即点到直线的距离的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$