第9节 解三角形应用举例-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第四章 三角函数、解三角形 第9节 解三角形应用举例 【知识梳理】 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线 的叫做仰角，目标视线在水平视线 的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按 方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 ，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的 叫坡角(θ为坡角)；坡面的 与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【真题呈现】 1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【专项训练】 一、单选题 1．一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 2．如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（     ） A． B． C． D． 3．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 6．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 7．两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 8．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 10．一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 11．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．A、D之间的距离为海里 C．A、B两处岛屿间的距离为海里 D．B、D之间的距离为海里 三、填空题 12．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为 ． 13．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ． 14．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大. 四、解答题 15．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 16．如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． (1)求的面积（用字母表示）； (2)若，，，，，求M，N之间的距离． 17．如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 18．热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐作用外还可用于测量.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度. 19．在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数、解三角形 第9节 解三角形应用举例 【知识梳理】 测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 【真题呈现】 一、单选题 1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【解析】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 二、填空题 2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【解析】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得 【专项训练】 一、单选题 1．一艘轮船南偏东方向上10海里处有一灯塔，该轮船以18海里/时的速度沿北偏东的方向直线航行，行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为（    ） A．17海里 B．16海里 C．15海里 D．14海里 【解析】记轮船初始位置为A，灯塔的位置为B，20分钟后轮船的位置为C，如图所示． 则，，所以在中，由余弦定理得，所以． 故20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里．故选：D. 2．如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高=（     ） A． B． C． D． 【解析】在中，，， 则，由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以.故选：C. 3．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，，则， 所以，所以，即B，C间的距离为.故选：D. 4．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解析】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得．故选：B． 5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 【解析】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到，从而.故选：C. 6．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【解析】由条件及题图可知，为等腰三角形， 所以，又，所以，所以， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．故选：D． 7．两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【解析】灯塔，的相对位置如图所示， 由已知得，，则， 即北偏西．故选：B. 8．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【解析】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，    则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得， 所以， 当，即时，取得最大值为.故选：D. 二、多选题 9．某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 【解析】在中，由已知得，， 则，由正弦定理得， 所以A处与D处之间的距离为，故A正确； 在中，由余弦定理得， 又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误； ，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误； 故选：AC 10．一艘客船上午9：30在A处，此时测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距，则灯塔S可能在B处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．东北方向 D．东南方向 【解析】画出示意图如图所示，由题意得，，， 所以，解得， 所以或． 当船在B处时，，所以； 当船在处时，，所以． 综上，灯塔S在B处的北偏东或南偏东方向．故选：AB. 11．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的是（    ） A． B．A、D之间的距离为海里 C．A、B两处岛屿间的距离为海里 D．B、D之间的距离为海里 【解析】解：由题意可知，，，，， 所以，故A错误； ， 在中，由正弦定理得，得(海里)，故B正确； 在中，因为，，所以(海里)，故D错误； 在中，由余弦定理得， (海里)，故C正确. 故选：BC. 三、填空题 12．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为 ． 【解析】如图， ∵，，∴，∴． ∵，，∴，∴． 在中，由，得， ∴，∴．∵，∴，∴． 13．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于 ． 【解析】依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s， 因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，所以＝，解得AC＝1 260 m． 在△ABC中，由余弦定理得， cos∠BAC＝＝＝， 所以sin∠BAC＝＝＝． 14．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的视角最大. 【解析】过C作，交AB于D，如图所示： 则，设， 在中，，在中，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以取最大值时，最大， 所以当离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大. 四、解答题 15．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【解析】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得， 解得或（舍去），∴ （2）由（1）知，，. ∴. 16．如图，为了测量山顶M和山顶N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，． (1)求的面积（用字母表示）； (2)若，，，，，求M，N之间的距离． 【解析】（1）由题意可知，由正弦定理，得，面积. （2）由（1）知， 在中，，， 在中，， 由余弦定理可得，所以. 17．如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 【解析】如图，延长交的延长线于，过作于. 在中，因为坡比为，所以， 所以，又米，则（米）， （米）. ∵，，∴（米）， ∴（米）.设米，∵，，， ∴是等腰直角三角形，∴米，（米）. ∵，∴，解得， ∴信号柱的高度为米. 18．热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行.热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的.其工作的基本原理是热胀冷缩.当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起.除娱乐作用外还可用于测量.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度. 【解析】因为，，， 所以，所以， 又因为，所以， 又在中由正弦定理，即， 所以，所以. 19．在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设为正北方向，已知B码头在A码头北偏东的方向上，并与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度确到0.1km/h）？    【解析】如图所示，船按方向开出，方向为水流方向， 以AC为边，AB为对角线作，其中，． 在中，由余弦定理，得， 所以．因此，船的航行速度为． 在中，由余弦定理，得， 所以．因此． 即渡船应按北偏西的方向，并以11.7km/h的速度航行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$