第一章 直线与圆（单元测试卷）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第一章 直线与圆单元测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.“”是“直线和直线平行”的　　 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 3.已知直线与直线垂直，则a＝（ ） A. 3 B. 1或﹣3 C. ﹣1 D. 3或﹣1 4.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5.若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 设直线l：与直线平行，则点到l距离的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 7.已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8．若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是　　 或 二、多选题 （本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 10.已知点，，且点在直线：上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 最大值为3 11．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，，，下列结论正确的是　　 ， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12.已知直线与直线平行，则___________. 13. 已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________. 14.已知是圆上的动点，满足直线恒过点,是圆上的动点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线，． （1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系． 16. 已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为． （1）求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程． 17.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上． （1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程 （2）当时，求折痕长最大值． 18.在平面直角坐标系中，已知射线，．过点作直线分别交射线，于点，． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 19.瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求欧拉线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直线与圆单元测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 即 ， 所以斜率为， 设直线的倾斜角为，则 又， 所以 ， 即 ． 故选：B. 2.“”是“直线和直线平行”的　　 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】解：当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为，和，不满足条件， 当时，满足， 即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，综上，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：． 3.已知直线与直线垂直，则a＝（ ） A. 3 B. 1或﹣3 C. ﹣1 D. 3或﹣1 【答案】D 【解析】 【详解】直线与直线垂直， 所以，解得或. 故选：D. 4.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点；乙：该圆的圆心为；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【详解】若乙、丙同学的结论正确，则该圆的方程为， 当，时，成立，此时丁的结论正确， 当，时，不成立，此时甲的结论错误. 故选：A. 5.若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，解得或a＞3， 则实数a的取值范围是， 故选：C. 6. 设直线l：与直线平行，则点到l距离的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知两直线平行，∴,∴直线, ∴到l的距离的,当时取到最小值, 故选： 7.已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点. 故选：C 8．若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是　　 或 【答案】 【解析】解：设， 故可以看作点到直线 与直线距离之和的5倍， 的取值与，无关， 这个距离之和与点在圆上的位置无关， 如图所示：可知直线平移时， 点与直线，的距离之和均为，的距离， 即此时圆在两直线内部， 当直线与圆相切时，， 化简得， 解得或（舍去）， ． 故选：． 二、多选题 （本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过两点的所有直线，其方程均可写为 D. 已知，若直线与线段有公共点，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立； 若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立； “”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误； 对于B，由直线得：， 直线的斜率，即， 又，，B正确； 对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误； 对于D，由得：，直线恒过定点； ，， 结合图象可知：，，D错误. 故选：ACD. 10.已知点，，且点在直线：上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， ，与不垂直，同理时与不垂直， 当且时，， 若，则， 去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若，则， 即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确； 对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确. 故选：BCD 11．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，，，下列结论正确的是　　 ， 【答案】 【解析】解：根据题意，圆和圆交于不同的两点，， 两圆方程相减可得直线的方程为：，即， 分别把点，，，两点坐标代入得：，，所以选项正确， 上面两式相减得：，即，所以选项正确， 两圆的半径相等， 由圆的性质可知，线段与线段互相平分，则有，， 变形可得，，正确,故错误． 故选：． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12.已知直线与直线平行，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】由得，，则， 故答案为： 13. 已知圆和圆交于两点，则直线的方程是___________. 【答案】 【解析】 【详解】由两圆相交，则交线的方程由两圆方程相减得到， 所以直线的方程是. 故答案为： 14.已知是圆上的动点，满足直线恒过点,是圆上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】解：取中点,由于垂径定理可得：在以为直径的圆上运动， , . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线，． （1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系． 【答案】（1）或； （2）当时，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，此时． 【解析】解：（1）时，直线的方程化为：， 联立，解得，即与的交点为． 当直线过原点时，直线的方程为； 当直线不过原点时，设的方程为，将代入得， 所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或． （2）设原点到直线的距离为， 则，解得：或， 当时，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，此时． 16. 已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为． （1）求圆的标准方程； （2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程． 【答案】（1） （2）5，或 【解析】 【小问1详解】 解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即． 联立，解得， ∴圆心坐标为，半径， ∴圆的方程为； 【小问2详解】 解：，要使最大， 则点满足所在直线与所在直线垂直， 此时的最大值为； ∵， ∴所在直线方程为，即， 联立，得或， 即的坐标为或， 当时，的方程为，即； 当时，的方程为，即． 综上所述，所在直线方程为或． 17.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合如图所示将矩形折叠，使点A落在线段DC上． （1）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程 （2）当时，求折痕长最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】解：（1）①当时，此时点A与点D重合，折痕所在直线的方程为． ②当时，将矩形折叠后点A落在线段DC上的点记为，， 所以点A与点G关于折痕所在的直线对称，有， 故点G的坐标为， 从而折痕所在的直线与OG的交点线段OG的中点为， 故折痕所在直线的方程为，即． 综上所述，折痕所在直线的方程为． 当时，折痕的长为 当时，折痕所在的直线交直线BC于点，交y轴于点． ,,则在上， ，， 的取值范围为， 故点M在线段上． ， 折痕长度的最大值为 而，故折痕长度的最大值为 18.在平面直角坐标系中，已知射线，．过点作直线分别交射线，于点，． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】解：（1）设，，则线段的中点为，； 所以，且， 分别化为：，． 解得，； 所以直线的方程为：，化为：． （2）设，，． 时，，，． ，时，， 又，化为， 所以，解得． 所以， 当且仅当时取等号． 综上可得：当的面积取最小值时，直线的方程为：，化为． （3）设直线的方程为：，，． 联立，解得，，可得． 联立，解得，，可得． 所以， 设，则时，； 令，则， 时，． 时，， 而， 所以的最小值为：． 当且仅当时取等号． 所以，此时直线的方程为，即． 19.瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的三个顶点为，，. （1）求外接圆的方程； （2）求欧拉线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 （方法1）设所求圆的方程为（）， 因为点，，在所求的圆上， 所以，解得. 所以外接圆的方程为. （方法2）线段AB的中点为，直线AB的斜率， 所以线段AB中垂线的方程为. 同理可得，AC中垂线的方程为， 由，解得. 所以外接圆的圆心为. 外接圆的半径. 所以外接圆的方程为. 【小问2详解】 （方法1）因为，，， 所以由三角形重心的坐标公式，得的重心为， 由（1）可知，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. （方法2）在中， 由（1）可知，直线AB的斜率为，直线AC的斜率为1， 所以. 所以垂心为. 由（1）可知，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$