第二章 圆锥曲线（单元测试卷）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第二章圆锥曲线单元测试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于（   ） A． B． C． D． 5．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．3 8．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9.己知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆的离心率为 10．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（    ） A．若BF为的中线，则 B．若BF为的角平分线，则 C．存在直线l，使得 D．对于任意直线l，都有 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设F为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则重心的坐标为 ； ． 13.双曲线的左，右焦点，过点F2的直线l1交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的渐近线为 . 14.已知双曲线：的下、上焦点分别为，．点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知点M到点的距离与它到直线的距离相等 （1）求点M的轨迹方程； （2）求过点与点M的轨迹只有一个公共点的直线方程. 16.已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，过点且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线AP，AQ和直线分别交于点M，N，若恒成立，求t的值． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，点分别为椭圆的左顶点与上顶点，为坐标原点，，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与直线平行，且与椭圆交于两点，当与的面积之比为时，求直线的方程． 18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围. 19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章圆锥曲线单元测试卷 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】方程表示双曲线， 因为恒成立， 所以， 解得， 故选：A． 2．已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为，抛物线的焦点在轴的正半轴，且焦点到准线的距离是， 所求抛物线的标准方程为． 故选：D． 3．已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于两点，分别过向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直线与该椭圆交于两点，不妨设两点的坐标分别为， 因为在椭圆上，可得， 又因为椭圆的离心率为，可得，所以， 所以，解得. 故选：A. 4．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设双曲线的标准方程为， 该双曲线的焦点为，其中，渐近线方程为，即， 焦点距离为， ，则，，解得，故. 因此，该双曲线的焦距为. 故选：D. 5．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为中点，为中点，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，所以， 故选：D. 6．已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为c（其中c为半焦距），且，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，因为，所以，则，为梯形的两条底边， 作于点P，则，因为梯形的高为c，所以， 在中，，则即． 设，则，在， 即， 解得，同理， 又，所以，即， 所以. 故选：A． 7．已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意知，，设，则， 所以，    故当时，， 所以. 故选：B. 8．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C有共同渐近线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，双曲线C：过点， 则有，解得，因此，双曲线C的渐近线方程为， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为，B不正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为，D不正确. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分，有选错的得0分。 9.己知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆的离心率为 【答案】BCD 【详解】由曲线表示椭圆，则满足， 解得且，所以A不正确； 该椭圆的焦点在y轴上，则满足解得，所以B正确； 当时，椭圆的方程为，可得，则， 此时椭圆的焦距为，所以C正确； 当时，椭圆的方程为，可得，则， 此时椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：BCD 10．已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中.直线与椭圆交于两点.则下列说法中正确的有（    ） A．的周长为 B．若的中点为，则 C．若的最小值为，则椭圆的离心率 D．若，则椭圆的离心率的取值范围是 【答案】BD 【详解】A：直线恒过点，即左焦点， 由椭圆的定义可知：的周长为： ， 所以本选项说法不正确； B：设，所以有 ， 设，因为的中点为，所以， 因此，所以本选项说法正确； C：因为直线过定点，但是不包括直线， 因为只有当时，才有最小值，所以本选项说法不正确； D：， 而，所以有， 显然 而， 所以，故本选项说法正确， 故选：BD 11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（    ） A．若BF为的中线，则 B．若BF为的角平分线，则 C．存在直线l，使得 D．对于任意直线l，都有 【答案】ABD 【详解】由题意，不妨令都在第一象限， 又由，可得，设直线， 联立方程组，整理得， 则，解得，且， 所以，如图所示， 对于A中，若为的中线，可得， 所以，所以，所以，可得， 由抛物线的定义可得，所以，所以A正确； 对于B中，若为的角平分线，则， 作、垂直准线于、两点，则且， 所以，所以，可得， 将代入整理得，解得或（舍去）， 所以，所以B正确； 对于C中，若，即，所以为等腰直角三角形， 此时，即，可得，即， 解得，此时，则此时为同一个点，不合题意，所以C错误； 对于D中，由， 又由，结合，可得，即恒成立，所以D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设F为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则重心的坐标为 ； ． 【答案】 【详解】因为F为抛物线的焦点，所以，， 又，所以点为的重心； 设点的坐标分别为， 又，则，， , 由抛物线的定义可得：，， . 故答案为：；. 13.双曲线的左，右焦点，过点F2的直线l1交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的渐近线为 . 【答案】 【详解】令，则，依题意，，， 等腰中，，而， 在中，由余弦定理得： ，整理得：， 又，解得，， 所以双曲线的渐近线为. 故答案为： 14.已知双曲线：的下、上焦点分别为，．点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】由双曲线得， 如图，设三角形的内切圆与直线相切于， 则， 根据双曲线的定义有， 即， 则， 即， 所以. 故答案为： 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知点M到点的距离与它到直线的距离相等 （1）求点M的轨迹方程； （2）求过点与点M的轨迹只有一个公共点的直线方程. 【答案】（1）；（2）或或. 【详解】解：（1）由点M到点的距离与它到直线的距离相等， 可得点M的轨迹为以为焦点为准线的抛物线 ∴M的轨迹方程为 （2）①当过点的直线斜率不存在时 方程与恰有一个交点，符合题意. ②当过点的直线斜率存在时，设方程 联立消去y整理得， 当时，方程为.解得，有一个交点，符合题意 当时，解得. 方程为即 综上，过点与点M的轨迹恰有一个交点的直线 方程为或或. 16.已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，过点且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，． (1)求双曲线C的标准方程； (2)设直线AP，AQ和直线分别交于点M，N，若恒成立，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题知，当PQ与x轴垂直时，， 所以，， 所以，解得，所以双曲线C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，，， 由，得， 所以，． 直线AP的方程为，与联立，解得．同理可得． 所以，， 因为恒成立，所以恒成立， 又 所以，解得或． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，点分别为椭圆的左顶点与上顶点，为坐标原点，，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与直线平行，且与椭圆交于两点，当与的面积之比为时，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或. 【详解】(1)由题知，，，，. 由得，，， 由的面积为得，，， 联立 解得，，， 所以椭圆的方程为. (2)由(1)知，，， 有，的面积为， 当与的面积之比为时，有 ，. 若直线与直线平行，则直线的斜率为，设直线的方程为. 原点到直线的距离为， 联立，消去得，， 由解得，. ， 弦长， 所以的面积， 即， 整理得，，解得或， 所以或. 故直线的方程可取或. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当轴时，存在两个点，使得为直角三角形， 当轴时，存在两个点，使得为直角三角形， 当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形， 设点，其中，则，可得， 且，， 则，可得， 由题意可知，，则， 当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值， 即，则，故， 因此，椭圆的方程为. （2）解：设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，解得， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 联立可得， 所以，，则，即点， 因为点在轴左侧，则，即， 因为点在椭圆上，则， 设，其中，则，， 所以， ， 因为，则，则， 所以，， 因此，的取值范围是. 19.已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为椭圆的一个顶点为，离心率为 可得，且，解得， 所以椭圆的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，可得，则； 当直线的斜率存在时，依题意知， 则直线的方程为，直线的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 则， 所以 又由，可得，则， 所以， 所以， 综上可得：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$