第7章 培优增分 第6讲 几何法求线面角、二面角和距离（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

培优增分 第6讲　几何法求线面角、二面角和距离 命题解读　利用几何法求线面角、二面角和距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错． 题型一　直线与平面所成的角 例1　(2024·福州模拟)如图，在圆台OO1中，OO1＝，AB是下底面圆上的一条直径，点C是底面圆周上异于A，B的一点，AC＝2，点D是BC的中点，l为平面O1AC与平面O1OD的交线，则交线l与平面O1BC所成角的大小为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：B　因为O，D分别是AB，BC的中点，所以OD∥AC， 又OD⊂平面O1OD，AC⊄平面O1OD， 所以AC∥平面O1OD， AC⊂平面O1AC，平面O1AC∩平面O1OD＝l， 所以AC∥l，OD∥AC，所以OD∥l， 所以直线l与平面O1BC所成角即直线OD与平面O1BC所成角，因为AB为直径，所以AC⊥BC，因为OD∥AC，即OD⊥BC，又OO1⊥平面ACB，BC⊂平面ACB，所以OO1⊥BC，OO1∩OD＝O，OO1，OD⊂平面O1OD，所以BC⊥平面O1OD，过点O作OH⊥O1D交O1D于点H，因为OH⊂平面O1OD，所以BC⊥OH，OH⊥O1D，BC∩O1D＝D，BC，O1D⊂平面O1BC，所以OH⊥平面O1BC，所以∠ODH为交线l与平面O1BC所成角，因为OO1＝，OD＝AC＝1，tan∠ODH＝＝＝. 所以，结合图知∠ODH＝. 反思感悟 求线面角的三个步骤 一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解． 训练1　(2024·太原模拟)在三棱柱ABC -A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：C　取BC的中点E，连DE，AE，如图， 依题意三棱柱ABC -A1B1C1为正三棱柱，设棱长为2，则AE＝，DE＝1， 因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC， 所以DE⊥AE，所以AD＝＝＝2， 因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，所以AE⊥平面BCC1B1， 所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角， 所以sin∠ADE＝＝. 所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是. 题型二　二面角 例2　如图，正三棱柱ABC -A1B1C1的棱长都相等，则二面角A1 -BC -A的余弦值为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析：B　取BC的中点M，连接AM，A1M，因为△ABC为等边三角形，则AM⊥BC， 又AA1⊥平面ABC，AB，AC，AM⊂平面ABC， 则AA1⊥AB，AA1⊥AC，AA1⊥AM， 可知△AA1B≌△AA1C，可得A1B＝A1C， 则A1M⊥BC，所以二面角A1 -BC -A的平面角为∠AMA1， 设AB＝2，则A1A＝2，AM＝，A1M＝＝， 所以cos∠AMA1＝＝＝. 反思感悟 作二面角的平面角的方法 作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 训练2　已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝，则二面角P -MN -O的大小为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：B　取MN的中点E，连OE，PE， 因为OM＝ON，所以OE⊥MN， 因为PM＝PN，所以PE⊥MN， 所以∠PEO是二面角P -MN -O的平面角， 因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN， 所以PO⊥OE， 因为∠MON＝，OM＝2， 所以OE＝OM·cos＝2×＝， 因为PO＝1， 所以PE＝＝＝2， 所以cos∠PEO＝＝， 所以∠PEO＝. 所以二面角P -MN -O的大小为. 题型三　求距离 例3　(2024·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为(　　) A．4　　 B．2　 C．3　　 D．2 解析：D　由题可得AB＝8，因为AP＝BP， 所以S△ABP＝×8×4＝16， 因为PC⊥平面ABP，且PC＝4， 所以VC -ABP＝×16×4＝， 因为AP＝BP＝4， 所以AC＝BC＝4， 所以S△ABC＝×8×＝16. 设点P到平面ABC的距离为d， 则VP -ABC＝×16d＝，解得d＝2. 反思感悟 1．求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解． 2．求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解． 训练3　在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A．　　 B． C．　　 D．1 解析：B　如图，连接BA1，由长方体的性质易知BC⊥BA1，且BA1＝，A1C＝， 设点B到直线A1C的距离为h， 则S△BCA1＝×BC×BA1＝×h×A1C， 即2×＝h×，解得h＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$