第7章 培优增分 第2讲 与球有关的切、接问题（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

培优增分 第2讲　与球有关的切、接问题 命题解读　研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心． 题型一　外接球 　补形法——存在侧棱与底面垂直 例1　已知三棱锥P -ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P -ABC的外接球的表面积为(　　) A．π　　 B．14π C．56π　　 D．π 解析：B　以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B -CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P -ABC符合要求，如图，长方体PAB′B -CA′P′C′与三棱锥P -ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′， 设外接球的半径为R， 则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14， 则所求球的表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π. 　补形法——对棱相等 例2　已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为(　　) A．π　　 B．π　 C．π　　 D．π 解析：A　如图将棱长为1的正四面体B1 -ACD1放入正方体ABCD -A1B1C1D1中，且正方体的棱长为1×cos 45°＝， 所以正方体的体对角线 AC1＝ ＝， 所以正方体外接球的半径R＝＝， 所以正方体外接球的体积为 πR3＝π×()3＝π， 因为正四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以正四面体的外接球的体积为π. 反思感悟 补形法的解题策略 (1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解． (2)直三棱锥补成三棱柱求解． 　截面法 例3　已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π　　 B．48π　 C．36π　　 D．32π 解析：A　如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π， 所以4π＝πr2，解得r＝2， 又AB＝BC＝AC＝OO1， 所以＝2r， 解得AB＝2，故OO1＝2， 根据球的截面性质OO1⊥平面ABC， 所以OO1⊥O1A， 所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16， 所以球O的表面积S＝4πR2＝64π. 反思感悟 与球截面有关的解题策略 (1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径． (2)作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的． 　定义法 例4　(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　) A．100π　　 B．128π　 C．144π　　 D．192π 解析：A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4. 设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上． 设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2， 解得OO1＝4(舍去)； 当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3， 所以R2＝25， 所以该球的表面积为4πR2＝100π. 综上，该球的表面积为100π. 反思感悟 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 训练1　(1)(2024·济南学情检测)若正四面体的表面积为8，则其外接球的体积为(　　) A．4π　　 B．12π C．8π　　 D．32π 解析：A　设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为4×a2＝8，解得a＝2. 法一：将正四面体放入正方体内，则正四面体的棱为正方体的面对角线，故正方体的棱长x满足x＝a，解得x＝2.易知正四面体的外接球即正方体的外接球，设外接球的半径为R，则R满足2R＝x，故R＝，∴外接球的体积为R3＝4π.故选A． 法二：易求得正四面体的高h＝ ＝，设正四面体的外接球半径为R，则R＝h＝，∴外接球的体积为R3＝4π.故选A． 法三：易求得正四面体的高h＝ ＝，设正四面体的外接球半径为R，则R2＝(h－R)2＋(×a)2，解得R＝，∴外接球的体积为R3＝4π.故选A． (2)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．3 解析：C　由题意作图如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. ∵AB＝3，AC＝4， AB⊥AC，∴BC＝5， 又AM＝BC＝， OM＝AA1＝6， ∴球O的半径R＝OA＝ ＝. 题型二　内切球 例5　如图所示，直三棱柱ABC -A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为(　　) A．，4　　 B．，3 C．6π，4　　 D．，3 解析：D　依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知AC＝ ＝10，设健身手球的半径为R，则×(6＋8＋10)×R＝×6×8，解得R＝2. 则健身手球的最大直径为4. 因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球． 于是一个健身手球的最大体积 V＝πR3＝π×23＝. 反思感悟 “切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的常用方法． 训练2　半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是(　　) A．1＋　　 B．＋ C．＋　　 D．＋ 解析：D　三个小球的球心O1，O2，O3构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球的球心为O，小球O1与半球底面切于点A. 如图，经过点O，O1，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于 点B. 则OA＝O1B＝2.设该半球的半径是R， 在Rt△OAO1中，由(R－)2＝22＋()2可得R＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$