第7章 第7讲 空间向量与线、面位置关系（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第7讲　空间向量与线、面位置关系 　1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 1．空间向量及其有关定理 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向 量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一实数λ，使a＝λb 共面向 量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b， (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0； (3)设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝． 3．空间向量运算的坐标表示 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 4．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 5．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝km(k∈R) 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 常用结论 1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(　　) (2)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(　　) (3)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．回源教材 (1)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝________． 解析：因为a⊥b， 所以a·b＝－8－2＋3x＝0， 解得x＝. 答案： (2)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝ON，AP＝AN，则＝________(用向量，，表示)． 解析：＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋－ ＝＋(＋) ＝＋＋. 答案：＋＋ (3)如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则||等于________． 解析：∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，∴||＝12. 答案：12 　空间向量的线性运算及共线、共面定理 1．如图，在三棱锥O -ABC中，点P，Q分别是OA，BC的中点，点D为线段PQ上一点，且＝2，若记＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a＋b＋c　　 B．a＋b＋c C．a＋b＋c　　 D．a＋b＋c 解析：A　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋＝a＋b＋c. 2．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 解析：CD　由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1， 可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)， 当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确． 3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)． (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由题知＋＋＝3， 所以－＝(－)＋(－)， 即＝＋＝－－， 所以，，共面． (2)法一：由(1)知，，，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 法二：因为＝(＋＋) ＝＋＋， 又＋＋＝1， 所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内． 反思感悟 1．(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求． (2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量． 2．(1)对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线． (2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法： ①＝x＋y. ②对空间任一点O，＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可． 　空间向量数量积及其应用 例1　如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值． 解：(1)记＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝. ||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－a) ＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ＝b·c－a·c ＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0， ∴⊥，∴AC1⊥BD. (3)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝， ·＝(b＋c－a)·(a＋b) ＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝＝. ∴AC与BD1夹角的余弦值为. 反思感悟 空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度 (距离) 利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决 垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 训练1　如图，已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 解：(1)设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝ ＝. ∴线段AC1的长为. (2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝ ＝ ＝. ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明：∵＝c，＝b－a， ∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即AA1⊥BD. 　向量法证明平行、垂直 例2　如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点． (1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a， 则A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E(，1，0)，B1(a，0，1)． 故＝(0，1，1)，＝(－，1，－1)． 因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0， 所以⊥，即B1E⊥AD1. (2)假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)， 使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)， 设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)． ＝(a，0，1)，＝(，1，0)． 因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥， 得 取x＝1，则y＝－，z＝－a， 故n＝(1，－，－a)． 要使DP∥平面B1AE，只需n⊥， 则－az0＝0，解得z0＝. 所以存在点P，满足DP∥平面B1AE， 此时AP＝. 反思感悟 1．利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． 2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理． 训练2　如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 证明：(1)由AB＝AC，E为BC的中点， 则AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2， 所以E(0，0，0)，C(，0，0)， A(0，2，0)，B(－，0，0)，B1(－，0，2)， A1(0，2，)，F(，1，)． 所以＝(，1，)，＝(－，－2，0)， ＝(0，0，)． 设平面A1B1BA的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则若x＝－2， 则n＝(－2，，0)， 而·n＝×(－2)＋1×＋×0＝0， 所以⊥n，又EF⊄平面A1B1BA， 所以EF∥平面A1B1BA. (2)因为EC⊥平面AEA1，则＝(，0，0)为平面AEA1的一个法向量． 又EA⊥平面BCB1，则＝(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量． 因为·＝0，故⊥， 故平面AEA1⊥平面BCB1. 学科网（北京）股份有限公司 $$