第7章 第5讲 空间直线、平面的垂直（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第5讲　空间直线、平面的垂直 　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题． 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 3．直线与平面所成的角、二面角 (1)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． ②线面角θ的范围：θ∈. (2)二面角 ①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面． 如图的二面角，可记作：二面角α-l-β或二面角P-AB-Q. ②二面角的平面角 如图，过二面角α-l-β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角． ③当θ＝时，二面角叫做直二面角． 常用结论 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．垂直于同一条直线的两个平面平行． 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 4．三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线，如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　) (2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (3)设m，n是两条不同的直线，α是平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．回源教材 (1)(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是(　　) A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线 C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面β D．过平面α内任意一点在平面α内作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β 解析：BD　在平面α内只有与l垂直的直线才垂直于β，才垂直于平面β内的任意一条直线，故A，C错误，B，D正确． (2)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 解析：D　α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确； 因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以b不一定垂直于α，α不一定垂直于β，故B不正确； a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确； 因为a⊥β，a∥α，所以α中一定有一条直线垂直于β，所以α⊥β，故D正确． (3)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有(　　) A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACD C．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD 解析：B　因为AB是圆柱上底面的一条直径， 所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面， 所以AD⊥BC， 因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD， 所以BC⊥平面ACD， 因为BC⊂平面BCD， 所以平面BCD⊥平面ACD.故选B． 　直线与平面垂直的判定与性质 例1　如图所示，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P -ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD， ∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 反思感悟 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质． 训练1　如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 证明：∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB. 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 　平面与平面垂直的判定与性质 例2　(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1 -BB1C1C的高． 解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC， 又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1， 又BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)如图， 过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H， 由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C， 又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1， A1H⊂平面ACC1A1， 所以A1H⊥平面BB1C1C， 即四棱锥A1 -BB1C1C的高为A1H. 由题意知AB＝A1B，BC＝BC， ∠A1CB＝∠ACB＝90°， 则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1，又AA1＝2，∠ACA1＝90°， 所以A1C1＝CA1＝. 在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1， 故四棱锥A1 -BB1C1C的高为1. 反思感悟 1．面面垂直判定的两种方法与一个转化 (1)两种方法： 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)一个转化： 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 2．面面垂直性质定理的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”． (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面． 训练2　已知三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC. (1)若AB⊥BC，求证：平面A1BC⊥平面AA1B1B； (2)若平面A1BC⊥平面AA1B1B，求证：AB⊥BC. 证明：(1)∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，且AA1，AB⊂平面AA1B1B，∴BC⊥平面AA1B1B， 又BC⊂平面A1BC， ∴平面A1BC⊥平面AA1B1B. (2)过A作AD⊥A1B于点D， ∵平面A1BC⊥平面AA1B1B， 又平面A1BC∩平面AA1B1B＝A1B，AD⊂平面AA1B1B， ∴AD⊥平面A1BC， 又BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC， 又AA1⊥BC，AD⊂平面AA1B1B， AA1⊂平面AA1B1B，AA1∩AD＝A， ∴BC⊥平面AA1B1B，又AB⊂平面AA1B1B， ∴AB⊥BC. 　垂直关系的综合应用 例3　(2024·河北模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点． (1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点； (2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点． 又OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1， 所以OE∥BD1. 又O为AD1的中点，所以E为AB的中点． (2)存在点E，当AE＝时，平面D1DE⊥平面AD1C，理由如下： 设AC∩DE＝F， 因为四边形AA1D1D为正方形， 所以D1D⊥AD， 又平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D⊂平面AA1D1D，所以D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，所以D1D⊥AC. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1， 当AE＝时，在Rt△ADE中， tan∠ADE＝＝， 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝， 所以∠ADE＝∠BAC， 又∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°， 所以∠ADE＋∠DAC＝90°， 则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE， 又DE∩DD1＝D，DE，DD1⊂平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE. 又AC⊂平面AD1C， 所以平面D1DE⊥平面AD1C. 所以存在点E且AE＝. 反思感悟 1．垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用． 2．对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证． 训练3　(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO； (2)若∠POF＝120°，求三棱锥P-ABC的体积． 解：(1)证明：如图，因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，O是BC的中点， 所以＝＝， 所以△OBA∽△ABC， 所以∠CAB＝∠AOB. 记BF⊥AO的垂足为H， 则△BHA∽△OBA，所以∠HBA＝∠AOB. 所以∠HBA＝∠CAB， 所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF， 所以CF＝BF，CF＝AF， 故F是AC的中点． 因为E，F分别是AP，AC的中点， 所以EF∥PC. 因为D，O分别是BP，BC的中点， 所以DO∥PC，所以EF∥DO. 又DO⊂平面ADO，EF⊄平面ADO， 所以EF∥平面ADO. (2)由(1)得FO∥AB， 因为AB⊥BC，所以FO⊥BC. 又PO⊥BC， 所以∠POF是二面角P -BC -F的平面角， 如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO， 则∠POM是二面角P -BC -M的平面角， 所以∠POM＝60°. 在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2， 得PO＝2，所以PM＝. 所以三棱锥P -ABC的体积VP -ABC＝S△ABC×PM＝××2×2×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$