第7章 第4讲 空间直线、平面的平行（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第4讲　空间直线、平面的平行 　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题． 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a， a⊂α， l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α， l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 　应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可． 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a⊂α， b⊂α， a∩b＝P， a∥β， b∥β， ∴α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 常用结论 1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 2．夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． 3．两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． 4．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)(多选)平面α与平面β平行的充分条件可以是(　　) A．α内有无数条直线都与β平行 B．α内的任何一条直线都与β平行 C．两条相交直线同时与α，β平行 D．两条异面直线同时与α，β平行 解析：BCD　当α内有无数条直线与β平行时，α与β可能平行，也可能相交，故A不符合题意．设a，b是平面α内的任意两条直线，即a，b可以是α内任意两条相交直线，则a∥β，b∥β，由面面平行的判定定理，可得α∥β，故B符合题意．两条相交直线同时与α，β平行，即两相交直线所在的平面γ分别与α，β平行，即γ∥α，γ∥β，可得α∥β，故C符合题意．两条异面直线同时与α，β平行，可在空间找一点分别作两条异面直线的平行线，则所作的平行线也分别平行于α，β，可得α∥β，故D符合题意．故选BCD． (2)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________． 解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO(图略)，在△BDD1中，点E，O分别是DD1，BD的中点，则EO∥BD1，又EO⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案：平行 (3)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________． 解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形． 答案：平行四边形 　直线与平面平行的判定与性质 　直线与平面平行的判定 例1　如图，已知在四棱锥P -ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，点E是棱PC上一点，且CE＝2PE.证明：PA∥平面BDE. 证明：连接AC交BD于点O，连接EO，如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，则有＝＝，而CE＝2PE， 因此＝，于是得PA∥EO， 又EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以PA∥平面BDE. 　直线与平面平行的性质 例2　如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，E是A1C1边的中点，过A，B，E作截面交B1C1于点D.求证：DE∥AB. 证明：在直三棱柱ABC -A1B1C1中， 因为AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，又AB⊂平面ABDE，平面A1B1C1∩平面ABDE＝DE，所以DE∥AB. 反思感悟 线面平行问题的解题关键 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行． (2)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线． 训练1　如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱PC上的点(不与端点重合)，平面ABE与棱PD交于点F. 求证：(1)AB∥平面PCD； (2)AB∥EF. 证明：(1)由题意，底面ABCD是菱形，可得AB∥CD，因为AB⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD， 根据线面平行的判定定理，可得AB∥平面PCD. (2)由(1)知AB∥平面PCD，又由AB⊂平面ABE，且平面ABE∩平面PCD＝EF，根据线面平行的性质定理，可得AB∥EF. 　平面与平面平行的判定与性质 例3　如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD是正方形． (1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝l，证明：B1D1∥l. 证明：(1)由题设知BB1∥DD1，且BB1＝DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BD∥B1D1. 又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1， 所以BD∥平面CD1B1. 因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥D1C. 又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1， 所以A1B∥平面CD1B1. 又BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面CD1B1. (2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1， 又平面ABCD∩平面CD1B1＝l， 平面ABCD∩平面A1BD＝BD， 所以l∥BD， 又B1D1∥BD，所以B1D1∥l. 反思感悟 1．证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理． (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)． (3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)． 2．当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线． 训练2　如图所示，在三棱柱ABC -A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)． (1)求证：BC∥GH； (2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG. 证明：(1)∵在三棱柱ABC -A1B1C1中， ∴平面ABC∥平面A1B1C1， 又平面BCHG∩平面ABC＝BC， 且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG， ∴由面面平行的性质定理得BC∥GH. (2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB， ∴A1GEB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 　平行关系的综合应用 例4　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝. (1)求证：PQ∥平面A1D1DA； (2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明． 解：(1)证明：连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD， 故△PBC∽△PDM， 所以＝＝， 又＝＝， 所以＝＝， 所以PQ∥MD1. 又MD1⊂平面A1D1DA， PQ⊄平面A1D1DA， 故PQ∥平面A1D1DA. (2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图， 证明如下：因为＝， 即＝，故＝. 所以PR∥DA. 又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA， 所以PR∥平面A1D1DA， 又由(1)知PQ∥平面A1D1DA，且PQ∩PR＝P，PQ，PR⊂平面PQR， 所以平面PQR∥平面A1D1DA. 反思感悟 解决探索性问题的方法 (1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． (2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”． 训练3　如图所示，四棱锥P -ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD. 解：如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG， 在AB上取点F，使AF＝EG， 因为EG∥CD∥AF，EG＝AF， 所以四边形FEGA为平行四边形， 所以EF∥AG. 又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 所以点F即为所求的点． 又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC， 又BC⊥AB，PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC. 所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2. 设PA＝x，则PC＝， 由PB·BC＝PC·BE， 得 ·a＝ ·a， 所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝a. 又CE＝ ＝a， 所以＝，所以＝＝， 即GE＝CD＝a，所以AF＝a. 故点F是AB上靠近B点的一个三等分点． 　几何体的截面问题 1．空间几何体截面的作图主要原理：两个基本事实及两个性质 两个基本事实为： (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线； (2)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 两个性质为： (1)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行； (2)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 2．立体几何中的截面类型 (1)平面截球：圆面． (2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形． (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形． (4)平面截圆锥曲面：椭圆、双曲线、抛物线． 3．空间几何体的截面作图主要作法 (1)直接法；(2)平行线法；(3)延长法；(4)辅助平面法． 例1　如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为(　　) A．矩形　　 B．三角形 C．正方形　　 D．等腰梯形 解析：D　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G， 由题意得GH∥EF，AH∥A1F， 又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， 所以GH∥平面A1EF， 同理AH∥平面A1EF， 又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1， 所以平面AHGD1∥平面A1EF. 故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形． 例2　在三棱锥P -ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC.则截面的周长为________． 解析：过点G作EF∥AC分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，∴四边形EFMN是平行四边形， ∴＝，即EF＝MN＝2，＝＝，即FM＝EN＝2， ∴截面的周长为2×4＝8. 答案：8 训练1　在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体的过M，N，C1的截面图形是(　　) A．三角形　　 B．四边形 C．五边形　　 D．六边形 解析：C　正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点， MD＝DD1，NB＝BB1，延长C1M交CD的延长线于P，延长C1N交CB的延长线于Q， 连接PQ交AD于E，AB于F，连接NF，ME， 则正方体的过M，N，C1的截面图形是五边形．故选C． 训练2　如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：B　如图1，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME， 易知EF∥B1D1∥BD∥MN，AB∥ME，AB＝ME， 所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE， 又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线， 　　 图1　　　　　　　　　　图2 所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝，EF＝B1D1＝， 得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝，在等腰梯形BDFE(如图2)中， 过E，F作BD的垂线，垂足分别为H，G，则四边形EFGH为矩形， ∴其高FG＝ ＝ ＝， 故所得截面的面积为×(＋)×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$