第7章 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 　1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题． 1．平面的基本事实及推论 (1)平面的基本事实 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (2)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间两直线的位置关系 　(1)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线． (2)异面直线不具有传递性． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 　判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”． 4．等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 5．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：． 常用结论 1．异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 2．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (3)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．(　　) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)下列命题正确的是(　　) A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 解析：D　A中，不在一条直线上的三个点才能确定一个平面，A错； B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错； C中，当三条直线交于一点时不一定确定一个平面，C错，故只有选项D正确． (2)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　) A．垂直　　 B．相交　 C．异面　　 D．平行 解析：D　若m与n平行，由于A∈m，A∈α，可得m⊂α，与m⊄α矛盾，故m与n不平行． (3)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：C　如图，补上一个相同的长方体CDEF -C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角． 由题知DE1＝＝＝2，DB1＝＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理得cos∠B1DE1＝＝，故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C． 　基本事实的应用 例1　已知在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 证明：(1)如图所示， 连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD -A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1， 所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 反思感悟 共面、共线、共点问题的证明 (1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 训练1　(多选)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1共面 C．A，M，C，O共面 D．B，B1，O，M共面 解析：ABC　∵M∈A1C，A1C⊂平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选ABC． 　空间线、面位置关系的判断 例2　已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　) A．直线MN与直线A1B是异面直线 B．直线MN与直线DD1相交 C．直线MN与直线AC1是异面直线 D．直线MN与直线A1C平行 解析：C　如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误． 反思感悟 1．点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系． 2．异面直线的判定可以用本节常用结论1. 训练2　如图，S是圆锥的顶点，AB是底面圆的直径，AS⊥BS，M是线段AS上的点(不与端点A，S重合)，N是底面圆周上的动点，则直线BS与MN不能(　　) A．异面　　 B．相交　 C．平行　　 D．垂直 解析：C　当N不与A或B重合时，SB是平面SAB内的一条直线，MN是平面SAB外的一条直线，且M不在SB上，可知BS与MN异面；当N与B重合时，可知MN与BS相交；当N与A重合时，可知SB与MN垂直．∴直线BS与MN不能平行．故选C． 　求异面直线所成的角 例3　(1)平面α过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：A　如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD -A1B1C1D1相同棱长的正方体， 易知平面α为平面AF1E， 则m，n所成的角为∠EAF1. ∵△AF1E为正三角形， ∴sin∠EAF1＝sin 60°＝. (2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________． 解析：设BD的中点为O，连接EO，FO， 所以EO∥AD，FO∥BC， 则∠EOF(或其补角)就是异面直线AD与BC所成的角． 所以EO＝AD＝1，FO＝BC＝，EF＝， 在△EOF中，根据余弦定理，得 cos∠EOF＝ ＝＝＝－， 所以∠EOF＝150°， 从而异面直线AD与BC所成角的大小为30°. 答案：30° 反思感悟 求异面直线所成角的方法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 训练3　在正三棱柱ABC -A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，点M为棱CC1的中点，则异面直线AB与A1M所成角的余弦值为(　　) A．　　 B．　 C．　　 D． 解析：C　根据正三棱柱的性质可知AB∥A1B1，所以∠B1A1M是异面直线AB与A1M所成的角，设∠B1A1M＝α，在三角形A1B1M中，A1B1＝1，A1M＝B1M＝，由余弦定理得cos α＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$