第7章 第1讲 空间几何体（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　空间几何体 　1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 1．基本立体图形 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 　旋转体要抓住“旋转”这一特点，弄清底面、侧面及展开图的形状． 2．立体图形的直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝ π(r＋r′)l 4．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝h 球 S＝4πR2 V＝πR3 常用结论 1．球的截面性质：球的截面是圆面，且球心和截面(不过球心)的圆心的连线垂直于截面． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　) (2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．(　　) (3)菱形的直观图仍是菱形(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．回源教材 (1)若一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图是一个边长为2的正方形(如图)，则原平面图形的周长为(　　) A．8　　 B．16 C．4＋2　　 D．4＋4 解析：B　由题得原图形是一个平行四边形，斜二测画法中平行于x′轴的边长在原图中长度为2，斜二测画法中与x′轴垂直的边长在原图中长度为 ＝6， 则原图形周长为2＋2＋6＋6＝16. (2)(多选)下列说法正确的是(　　) A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台 B．以等腰三角形的底边上的高线所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 解析：BCD　 选项 正误 原因 A × 如果旋转轴不是垂直于底边的腰所在直线，则旋转体不是圆台 B √ 根据圆锥的定义可知，该说法正确 C √ 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D √ 由球的几何性质可知，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 (3)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽毛坯的底面正六边形的边长为2 cm，内孔半径为0.5 cm，高为2 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3. 解析：由题知，螺帽毛坯的底面正六边形的面积S＝6××22×sin 60°＝6(cm2)，正六棱柱的体积V1＝6×2＝12(cm3)，圆柱的体积V2＝π×0.52×2＝(cm3)，所以此六角螺帽毛坯的体积V＝V1－V2＝(12－)(cm3)． 答案：12－ 　基本立体图形 　结构特征 1．(多选)给出下列命题，其中真命题是(　　) A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 解析：BCD　A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；D正确，如图，正方体ABCD -A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形． 2．下列命题正确的是(　　) A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 解析：D　A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行，棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．易知D正确． 反思感悟 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 　直观图 例1　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为(　　) A．　　 B．3　 C．4　　 D．5 解析：B　法一：由已知求得O′C′＝，把直观图还原为原图形如图， 可得原图形为直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2， 得原四边形OABC的面积为×(1＋2)×2＝3. 法二：由题意知A′B′＝1， ∴S直观图＝×(1＋2)×1＝， ∴S原图形＝2S直观图＝3. 反思感悟 1．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．” 2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原平面图形面积的关系：S直观图＝S原图形． 　展开图 例2　(2024·郴州模拟)已知圆台的上、下底面圆半径分别为5和10，侧面积为300 π，AB为圆台的一条母线(点B在圆台的下底面圆周上)，M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面爬行一周到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(　　) A．30　　 B．40　 C．50　　 D．60 解析：C　圆台下底面半径为10，上底面半径为5，设母线长为l， ∴侧面积S＝πl(10＋5)＝15πl＝300π， 解得l＝20. 将圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，且设扇形所在圆的圆心为O. 线段M1B就是蚂蚁经过的最短距离． 设OA＝R，扇形的圆心角是α， 则由题意知10π＝αR，　① 20π＝α(20＋R)．　② 由①②解得α＝，R＝20， ∴OM＝OM1＝30，OB1＝OB＝40， 则M1B＝＝50. 反思感悟 几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践、观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 训练1　(1)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　) A．等边三角形　　 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形　　 D．钝角三角形 解析：A　根据斜二测画法还原△ABC在平面直角坐标系中的图形，如图，则BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝，AC＝AB＝ ＝2， 所以AB＝BC＝AC＝2， 所以△ABC是一个等边三角形． (2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________． 解析：如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2， 由于侧面展开图为半圆， 可知πl2＝2π，可得l＝2， 因此r＝1. 答案：1 　表面积与体积 　几何体的表面积 例3　(2024·邢台月考)如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D＝45°，AB＝2，BC＝2，AD＝6，现将该四边形沿AB所在直线旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为(　　) A．(16＋16)π　　 B．(28＋4)π C．(36＋36)π　　 D．(36＋40)π 解析：C　连接BD，在圆内接四边形ABCD中，∠DAB＝90°， 所以BD是四边形ABCD外接圆的直径， 所以∠DCB＝90°， 则∠ABC＝135°. 延长AB，过点C作CE⊥AB，垂足为E， 过点C作CF⊥AD， 垂足为F，则∠CBE＝45°， 所以△BCE是等腰直角三角形， 所以BE＝CE＝2. 作出四边形ABCD关于直线AB对称的图形，如图所示． 由于CE∥AF，AE∥CF，∠DAB＝90°， 所以四边形AECF是矩形，AF＝CE＝2， DF＝CF＝AE＝4， 所以在等腰直角三角形CDF中，CD＝4. 将该四边形沿AB所在直线旋转一周，则旋转形成的几何体是一个圆台挖掉一个圆锥， 其表面积为π×62＋π×(2＋6)×4＋π×2×2＝(36＋36)π.故选C． 反思感悟 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． 　几何体的体积 例4　(1)(2024·南宁二中第一次质检)木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足．楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥CD，EF＝4，则该木楔子的体积为(　　) A．　　 B．4　 C．　　 D．2 解析：A　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH. 易得EG＝HF＝1，AG＝GD＝BH＝HC＝. 取AD的中点O，连接GO，易得GO＝， ∴S△ADG＝S△BCH＝××2＝. ∴该木楔子的体积V＝V三棱锥E -ADG＋V三棱锥F -BCH＋V三棱柱AGD -BHC＝2V三棱锥E -ADG＋V三棱柱AGD -BHC＝2×××1＋×2＝.故选A． (2)(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为__________． 解析：正四棱台ABCD -A1B1C1D1如图所示．设其上、下底面中心分别为O1，O，连接O1O，O1A1，OA，由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD，O1O⊥平面A1B1C1D1，四边形ABCD，A1B1C1D1均为正方形． ∵AB＝2，A1B1＝1，∴AO＝，A1O1＝， 易知AO∥A1O1，又AA1＝， ∴在直角梯形A1O1OA中， O1O＝ ＝， ∴V正四棱台ABCD -A1B1C1D1 ＝×(1＋4＋)×＝. 答案： 反思感悟 求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解． (2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体． (3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积． 训练2　(1)(2024·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为(　　) A．4＋3＋　　 B．4＋＋2 C．4＋＋　　 D．4＋2＋ 解析：C　结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝， 由题意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，则BC＝CD＝2， BE＝ ＝，BD＝2，AE＝ ＝1，则该三棱锥的表面积为S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＋×2×1＋×2×＝4＋＋. (2)(2023·全国甲卷)在三棱锥P -ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　　) A．1　　 B．　 C．2　　 D．3 解析：A　法一：取AB的中点D，连接CD，PD， ∵△ABC，△PAB为等边三角形， ∴CD⊥AB，PD⊥AB， ∵△ABC的边长为2，PA＝PB＝2， ∴PD＝CD＝， 又PC＝，∴PD2＋CD2＝PC2， ∴PD⊥CD，又CD∩AB＝D，CD，AB⊂平面ABC， ∴PD⊥平面ABC， ∴PD为三棱锥P -ABC的高， ∴VP -ABC＝S△ABC·PD＝××2××＝1.故选A． 法二(分割求和法)：取AB的中点D，连接CD，PD， ∵△ABC，△PAB为等边三角形， ∴CD⊥AB，PD⊥AB. 又CD∩PD＝D，∴AB⊥平面PCD， ∵△ABC的边长为2，PA＝PB＝2， ∴PD＝CD＝， 又PC＝，∴PD2＋CD2＝PC2， ∴PD⊥CD， ∴S△PCD＝PD·CD＝×()2＝， ∴VP -ABC＝VA -PCD＋VB -PCD ＝S△PCD·(AD＋BD)＝××2＝1.故选A． (3)(经典高考题)棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1 -D1MN的体积为________． 解析：如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2××2×1－×1×1＝， 又易知D1A1为三棱锥D1 -A1MN的高，且D1A1＝2， ∴VA1 -D1MN＝VD1 -A1MN＝·S△A1MN·D1A1 ＝××2＝1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $$