第6章 第3讲 等比数列（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第3讲　等比数列 　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的定义与等比中项 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示，定义的表达式为＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 　等比数列的任意一项都不能为零．公比不能为零． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)通项公式的推广： an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (3)前n项和公式： Sn＝. 　在运用等比数列前n项和公式时，必须注意对q＝1和q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况而导致解答错误． 3．等比数列的常用性质 (1)项的性质 若m＋n＝p＋l＝2k(m，n，p，l，k∈N*)，则am·an＝ap·al＝a. (2)和的性质 ①若等比数列{an}有2k(k∈N*)项，则＝q； ②公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn． 4．等比数列与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，an＝·qn可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上． (2)对于非常数列的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)．由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点． (3)若等比数列为常数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点． (4)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(其中q≠0，且q≠1，AB≠0)，则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件． 常用结论 1．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{}，{a}，{an·bn}，{}仍是等比数列． 2．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)如果数列{ln an}为等差数列，则数列{an}是等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝________． 解析：由条件得解得或 故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1. 答案：3·2n－1或2·3n－1 (2)在等比数列{an}中，a3＝3，a5·a9＝27，则a11＝________． 解析：由a5a9＝a3a11得3a11＝27，故a11＝9. 答案：9 (3)已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝________． 解析：S6＝＝－21a1＝21，即a1＝－1， 所以a6＝32. 答案：32 　等比数列基本量的运算 例1　(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A．　　 B．　 C．15　　 D．40 解析：C　法一：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1. 由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0， 所以q2＝1(舍)或q2＝4， 由于此数列各项均为正数，所以q＝2， 所以S4＝＝15.故选C． 法二：由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4 ＝5(1＋q＋q2)－4， 整理得(1＋q)(q3－4q)＝0， 由于此数列各项均为正数，所以q＝2， 所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C． (2)(2024·亳州模拟)《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1.参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．2.9天　　 B．3.9天　 C．4.9天　　 D．5.9天 解析：C　设蒲的长度组成等比数列{an}， a1＝3，公比为，前n项和为An. 莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2， 其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝， 由题意可得5×＝， 解得2n＝30，2n＝1(舍去)． ∴n＝log230＝＝≈≈4.9. 反思感悟 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 训练1　(1)(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3　　 B．18　 C．54　　 D．152 解析：C　法一：因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以数列{an}是公比q＝＝3的等比数列．当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C． 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝＋2＝－qn＋＋2，所以又a1≠0，所以q＝3，a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54，故选C． (2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 解析：由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×＝7×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－. 答案：－ 　等比数列的判定与证明 例2　已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：选①②作为条件证明③： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)， 则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1， 所以A＝2a1，a1＝； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为{an}是等比数列，所以＝， 解得q＝2，所以a2＝2a1. 选①③作为条件证明②： 因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2， 所以Sn＝＝a1(2n－1)， 即Sn＋a1＝a12n， 因为＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列． 选②③作为条件证明①： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1， 又＝2(n≥2)，且a2＝2a1， 所以{an}为等比数列． 反思感悟 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列． 训练2　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， 又a1＋a1＝1，∴a1＝， ∴a1－1＝－≠0， ∵＝，∴＝. 故{cn}是以c1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知cn＝－×()n－1＝－()n. ∵cn＝an－1，∴an＝1－()n. 　等比数列性质的应用 　项的性质 例3　(2024·驻马店统考)在正项等比数列{an}中，若a3，a7是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两实根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(　　) A．8　　 B．9　 C．16　　 D．18 解析：B　由根与系数的关系可得a3a7＝4，由等比数列性质可得a＝a3a7＝4，则a5＝2，所以a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a＝4，则a1a2a3…a9＝29，故log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝log2(a1a2a3…a9)＝log229＝9.故选B． 　前n项和的性质 例4　(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120　　 B．85　 C．－85　　 D．－120 解析：C　法一：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝. 当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85； 当S2＝时， 结合S4＝－5得 化简可得q2＝－5，不成立，舍去． 所以S8＝－85，故选C． 法二：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 由题意易知q≠1， 则 化简整理得 所以S8＝＝(1－44)＝－85.故选C． 　前n项和的最值 例5　(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2023a2024＞1，＜0，下列结论正确的是(　　) A．S2023＜S2024 B．a2023a2025－1＜0 C．T2024是数列{Tn}中的最大值 D．数列{Tn}无最大值 解析：AB　当q＜0时，a2023a2024＝aq＜0，不成立；当q≥1时，a2023＞1，a2024＞1，＜0，不成立；故0＜q＜1，且a2023＞1，0＜a2024＜1，故S2024＞S2023，A正确；a2023a2025－1＝a－1＜0，故B正确；T2023是数列{Tn}中的最大值，C、D错误． 反思感悟 1．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2．涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响． 训练3　(1)(2024·黄山模拟)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A．　　 B．3 C．±　　 D．±3 解析：B　∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根， ∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9， ∴a1＞0，a13＞0，a1·a13＝a2·a12＝a＝9， 又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，∴＝＝3. (2)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为________． 解析：由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6， 由等比数列的性质可得S4，S8 －S4，S12 －S8成等比数列， 则S4(S12－S8)＝(S8 －S4)2， 综上可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋12≥24， 当且仅当S4＝6时等号成立．综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24. 答案：24 学科网（北京）股份有限公司 $$