第6章 第2讲 等差数列（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第2讲　等差数列 　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a与b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d． (2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝． 3．等差数列的性质 (1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． 4．等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的通项公式可写成an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，它是关于n的一次函数，它的图象是直线y＝dx＋(a1－d)上横坐标为正整数的均匀分布的一系列孤立的点． 　当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (2)前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的常数项为0的二次函数，那么点(n，Sn)在二次函数y＝x2＋x的图象上． 常用结论 1．数列{an}为等差数列的充要条件是an＝kn＋b(k，b∈R)． 2．若数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”． 3．在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　) (3)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是∀n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．回源教材 (1)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝________． 解析：由a4＋a8＝2a6＝20，故a6＝10，故d＝a7－a6＝2，所以a4＝a6－2d＝6. 答案：6 (2)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝2，S20＝8，则S30＝________． 解析：由于S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，所以2×(8－2)＝2＋S30－8，解得S30＝18. 答案：18 (3)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝3(a5＋3)，a4＝－1，则其公差d＝________． 解析：由题意得解得d＝－2. 答案：－2 　等差数列基本量的运算 例1　(1)(2023全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝(　　) A．25　　 B．22　 C．20　　 D．15 解析：C　因为a2＋a6＝10＝2a4，所以a4＝5，又a4a8＝45，所以a8＝9.令公差为d，由a8－a4＝4d＝4，解得d＝1，所以a3＝a4－d＝4，故S5＝×5＝×5＝20，故选C． (2)(2024·重庆一诊)设等差数列{an}的前n项和为Sn，5S9＝9a9－36，则a4＝(　　) A．－2　　 B．－1 C．1　　 D．2 解析：B　法一：设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋，an＝a1＋(n－1)d，由5S9＝9a9－36得5(9a1＋36d)＝9(a1＋8d)－36，则36(a1＋3d)＝－36，即a1＋3d＝－1，又a4＝a1＋3d，则a4＝－1.故选B． 法二：设数列{an}的公差为d，由5S9＝9a9－36，S9＝9a5，得a9＝5a5＋4，即a4＋5d＝5(a4＋d)＋4，解得a4＝－1.故选B． 反思感悟 1．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． 2．确定等差数列通项公式的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 训练1　(1)(2024·北京通州区期末)在等差数列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，则an＝(　　) A．5n－16　　 B．5n－11 C．3n－8　　 D．3n－5 解析：A　设等差数列{an}的公差为d，依题意解得d＝5，a1＝－11，所以an＝－11＋(n－1)×5＝5n－16.故选A． (2)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)(　　) A．一尺五寸　　 B．二尺五寸 C．三尺五寸　　 D．四尺五寸 解析：B　由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸， ∴ 解得 ∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸． 　等差数列的判定与证明 例2　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d， 则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数， 所以＝n， 所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列． ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋(a1－)n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d＞0， 则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列． 反思感悟 判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法． (2)等差中项法． (3)通项公式法． (4)前n项和公式法． 训练2　已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)． (1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1){bn}是等差数列，理由如下：b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1，当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2＝log2＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝2bn＝2n，∴an＝2n－1. 　等差数列性质的应用 　项的性质 例3　(2024·湖北联考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，Sn为其前n项和，且a6＋2a7＋a10＝20，则当a7·a8取最大值时，S10＝(　　) A．10　　 B．20　 C．25　　 D．50 解析：D　∵a6＋2a7＋a10＝(a6＋a10)＋2a7＝2a8＋2a7＝20，∴a7＋a8＝10，由已知得a7＞0，a8＞0，∴a7·a8≤()2＝()2＝25，当且仅当a7＝a8＝5时，等号成立．此时数列为常数列an＝5，所以S10＝50.故选D． 　和的性质 例4　(2024·广州天河区期末)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板(　　) A．1125块　　 B．1134块 C．1143块　　 D．1152块 解析：B　记从中间向外每环扇面形石板数为{an}，则{an}是等差数列，且公差d＝9，a1＝9. 设每层有k环，则n＝3k，Sn＝3402， {an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列， 所以2(S2k－Sk)＝Sk＋(S3k－S2k)， 所以Sn＝3(S2k－Sk)＝3402，则S2k－Sk＝1134. 　前n项和的最值 例5　等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：法一：设公差为d.由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋(a1－)n ＝－(n－7)2＋a1， 因为a1＞0，所以－＜0. 故当n＝7时，Sn最大． 法二：易知Sn＝An2＋Bn(A≠0)是关于n的二次函数， 由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称． 由法一可知A＝－＜0， 故当n＝7时，Sn最大． 法三：设公差为d. 由法一可知d＝－a1. 要使Sn最大，则有 即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大． 法四：设公差为d. 由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0， 即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0， 又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0， 所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大． 反思感悟 1．项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列． 3．求等差数列前n项和的最值，常用的方法： (1)邻项变号法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值． (2)函数法，利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值． 训练3　(1)(2024·湘潭一中期中)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8＝(　　) A．4　　 B．6　 C．8　　 D．10 解析：C　设数列{an}的公差为d，因为a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，所以5a6＝80，a6＝16，所以a7－a8＝a6＋d－(a6＋2d)＝a6＝8.故选C． (2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　 D． 解析：C　由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴＋＝＝＝＝＝＝. (3)(2024·河南名校第四次联考)在等差数列{an}中，a1－2a2＝6，S3＝－27，当Sn取得最小值时，n的值为(　　) A．4或5　　 B．5或6 C．4　　 D．5 解析：A　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 解得则an＝3n－15， 所以Sn＝＝n2－n＝(n－)2－，由于n∈N*，故当n取4或5时，Sn取得最小值．故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $$