第6章 第1讲 数列的概念与简单表示法（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　数列的概念与简单表示法 　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值． 1．数列的有关概念 (1)数列的定义 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 　数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 2．数列的表示法 解析式法、表格法、图象法． 3．数列的单调性 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列． 4．数列的通项公式和递推公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 　(1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一． 5．数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 常用结论 1．若数列{an}的前n项和为Sn，则通项公式为an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2)， 若an最小，则(n≥2)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)已知数列a1＝2，an＝2－(n≥2)，则a5＝________．猜想an＝________． 解析：∵a1＝2，an＝2－， ∴a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝，a5＝2－＝，故猜想an＝. 答案：　 (2)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，则an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 且a1＝1也满足此式，故an＝2n－1，n∈N*. 答案：2n－1 (3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________． 解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，a4＝16＝5×4－4，…，归纳可知，an＝5n－4. 答案：5n－4 　由an与Sn的关系求通项公式 例1　(1)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝5Sn(n≥1)，则an＝(　　) A．5×6n　　 B．5×6n＋1 C．　　 D． 解析：C　当n＝1时，a2＝5S1＝5a1＝5，当n≥2时，an＝5Sn－1，所以an＋1－an＝5(Sn－Sn－1)＝5an ⇒an＋1＝6an，而a2＝5a1≠6a1，所以数列{an}从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以an＝ (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________． 解析：根据题意，数列{an}满足Sn＝2n＋2－3，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1， 当n＝1时，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，故an＝ 答案： 反思感悟 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写． 训练1　(1)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________． 解析：当n＝1时，a1＝21＝2. ∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，① ∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，② 由①－②得(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1， ∴an＝(n≥2)．显然n＝1时不满足上式， ∴an＝ 答案： (2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________． 解析：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－. 答案：－ 　由数列的递推关系求通项公式 　累加法 例2　设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 解析：由题意a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)． 以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 又因为a1＝1，所以an＝(n≥2)． 因为当n＝1时也满足此式，所以an＝(n∈N*)． 答案：(n∈N*) 　累乘法 例3　已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________． 解析：因为＝2n， 所以＝2n－1，＝2n－2，… ＝22，＝2(n≥2)， 所以an＝··…···a1 ＝2n－1·2n－2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2＝2＋1＝2， 当n＝1时也满足此式， 所以an＝2(n∈N*)． 答案：2(n∈N*) 反思感悟 1．累加法：已知a1，且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可用累加法求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1. 2．累乘法：已知a1，且＝f(n)(n≥2)，可用累乘法求an，即an＝··…··a1. 训练2　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an等于(　　) A．2＋ln n　　 B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n　　 D．1＋n＋ln n 解析：A　因为an＋1－an＝ln＝ln(n＋1)－ln n，所以a2－a1＝ln 2－ln 1， a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3， … an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)， 把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1， 则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式， 因此an＝2＋ln n(n∈N*)． (2)在数列{an}中，已知an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________． 解析：由an＋1＝an，得＝， 故＝，＝，…，＝(n≥2)， 以上式子累乘得，＝××…···＝. 因为a1＝4，所以an＝(n≥2)． 因为a1＝4满足上式， 所以an＝(n∈N*)． 答案：(n∈N*) 　数列的性质 　数列的单调性 例4　已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　 B．(2，＋∞) C．(1，＋∞)　　 D．(0，＋∞) 解析：D　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列，知对任意n∈N*， an＋1－an＝＜0， 所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立， 所以k∈(0，＋∞)． 　数列的周期性 例5　(2024·哈尔滨质检)已知数列{an}的前n项积为Tn，a1＝2且an＋1＝1－，则T2024＝________． 解析：∵a2＝1－＝，a3＝1－＝－1， a4＝1－＝2，…， ∴数列{an}是周期为3的数列． 又a1a2a3＝2××(－1)＝－1， 且2024＝3×674＋2， ∴T2024＝(－1)674·a2023·a2024 ＝1×2×＝1. 答案：1 　数列的最值 例6　已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为(　　) A．1，－　　 B．0，－ C．，－　　 D．1，－ 解析：A　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝＜0，且单调递减；当n≥4时，an＝＞0，且单调递减，所以最小项为a3＝＝－，最大项为a4＝＝1. 反思感悟 1．解决数列单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列． (2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与“1”的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数的单调性求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． 训练3　(1)观察数列1，ln 2，sin 3，4，ln 5，sin 6，7，ln 8，sin 9，…，则该数列的第11项是(　　) A．1111　　 B．11　 C．ln 11　　 D．sin 11 解析：C　由数列得出规律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环，由11÷3＝3余2，所以该数列的第11项为ln 11. (2)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________． 解析：an＝＝＝1＋， 当n≥11时，＞0，且单调递减； 当1≤n≤10时，＜0，且单调递减． 因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，a11＝3，a10＝－1. 答案：3，－1 学科网（北京）股份有限公司 $$