第3章 第4讲 导数与函数的极值、最值（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第4讲　导数与函数的极值、最值 　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题． 1．导数与函数的极值 条件 设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 在点x＝x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 　(1)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (2)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值． 常用结论 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点． 3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)函数f(x)＝的极大值为(　　) A．－e　　 B． C．1　　 D．0 解析：B　f′(x)＝，由f′(x)>0得0<x<e，由f′(x)<0得x>e，故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值为f(e)＝. (2)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：f′(x)＝3x2－12＝3(x2－4)， 因为x∈，所以f′(x)<0，则f(x)在上单调递减，故f(x)的最大值为f(－)＝，最小值为f(1)＝－10. 答案：　－10 (3)函数f(x)＝x3－ax2＋2x有极值，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由于f(x)有极值，故f′(x)＝0有两个不等实数根，故Δ＝4a2－24>0，解得a>或a<－. 答案：(－∞，－)∪(，＋∞) 　利用导数研究函数的极值 　根据函数图象判断极值 例1　(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3) B．－1是函数y＝f(x)的极小值点 C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增 D．－2是函数y＝f(x)的极大值点 解析：AC　根据导函数的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＜0，当x∈(－3，－1)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，－1)上单调递增． 则f(x)在x＝－3处取得极小值f(－3)，A正确． 因为函数y＝f(x)在(－3，1)上单调递增，可知－1不是函数y＝f(x)的极小值点，－2也不是函数y＝f(x)的极大值点，所以B错误，C正确，D错误． 反思感悟 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 　求已知函数的极值 例2　已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当a＝时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数． 解：(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表． x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ ln 2－1 ↘ 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)＝ln 2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝(x>0)． 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈(0，)时，f′(x)>0； 当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0， 故函数f(x)在x＝处有极大值． 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点； 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 反思感悟 运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数在定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值． 　已知极值求参数 例3　(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，若f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求a的取值范围． 解：f′(x)＝－ln(1＋x)＋(＋a)· ＝＝(x>0)， 设h(x)＝－ln(1＋x)，则h′(x)＝－＝＝， ①当a≤0时，2a－1<0，当x>0时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x>0时，h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值，不满足题意． ②当a≥时，2a－1≥0，当x>0时，h′(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值，不满足题意． ③当0<a<时，令h′(x)＝0，得x＝，当0<x<时，h′(x)<0，当x>时，h′(x)>0， 所以h(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增， 所以h()<h(0)＝0， 又当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以存在x0∈(，＋∞)，使得h(x0)＝0， 即当0<x<x0时，h(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，h(x)>0，f(x)单调递增， 此时y＝f(x)有极小值点x0. 综上所述，a的取值范围为(0，) 反思感悟 已知函数极值点或极值求参数的两个关键 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 训练1　(1)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析：D　由题图可知， 当x<－2时，f′(x)>0； 当－2<x<1时，f′(x)<0； 当1<x<2时，f′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． (2)(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0　　 B．ab>0 C．b2＋8ac>0　　 D．ac<0 解析：BCD　依题意，x>0， f′(x)＝－－＝. 设g(x)＝ax2－bx－2c， 由题意g(x)在(0，＋∞)上有两个零点x1，x2，所以x1＋x2＝>0，x1x2＝－>0，则－>0，所以ab>0，ac<0，bc<0，故A错误，B正确，D正确．因为二次函数g(x)有两个正零点，所以Δ＝b2＋8ac>0，故C正确．故选BCD． (3)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．求函数f(x)的极值． 解：f′(x)＝1－， 当a≤0时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此f(x)无极大值与极小值． 当a＞0时，令f′(x)＞0，则x＞ln a， 所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增． 令f′(x)＜0，则x＜ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减． 故f(x)在x＝ln a处取得极小值， 且f(ln a)＝ln a，但是无极大值． 综上，当a≤0时，f(x)无极大值与极小值； 当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值． 　利用导数研究函数的最值 　求已知函数的最值 例4　已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)． (1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值； (2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)． 解：(1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x， ∴g′(x)＝＋2x－3＝， ∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0， ∴g(x)在[1，e]上单调递增， ∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1. (2)g(x)的定义域为(0，＋∞)， g′(x)＝＋2x－(a＋2) ＝＝. ①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1； ②当1<<e，即2<a<2e时，g(x)在上单调递减，在(，e]上单调递增，h(a)＝g()＝aln －a2－a； ③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e. 综上，h(a)＝ 反思感悟 求函数f(x)在[a，b]上最值的方法 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成． (3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到． 　由函数的最值求参数 例5　(2024·苏州模拟)函数f(x)＝－x3＋x在(a，10－a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________． 解析：由于f′(x)＝－x2＋1， 易知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1，1)上单调递增， 故若函数f(x)在(a，10－a2)上存在最大值， 则即－2≤a<1. 答案：[－2，1) 反思感悟 由函数的最值确定参数的值或范围，一般要利用最值或最值点列出含参数的方程或不等式(组)，解方程或不等式(组)即可． 训练2　已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a的值． 解：f′(x)＝，a<0，x＞0， 由f′(x)＝0得x＝－或x＝－. 当x∈(0，－)和(－，＋∞)时，f(x)单调递增； 当x∈(－，－)时，f(x)单调递减． 易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，且f(－)＝0. ①当－≤1，即－2≤a<0时， f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)， 由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±2－2，均不符合题意． ②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(－)＝0，不符合题意． ③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2×(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)， 当a＝－10时，f(x)在[1，4]上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上，a＝－10. 　三次函数的图象和性质 设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R且a≠0)．Δ＝4(b2－3ac)，其基本性质有： 性质1：①定义域为R.②值域为R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图象： a＞0 a＜0 图象 Δ＞0 Δ≤0 Δ＞0 Δ≤0 性质2：对称性，三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(－，f(－))． 典例　对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数f(x)＝x3－x2＋，则以下说法正确的是(　　) ①函数f(x)的对称中心为(，0)； ②f()＋f()＋…＋f()＋f()的值是99； ③函数f(x)的对称中心为(，1)； ④f()＋f()＋…＋f()＋f()的值是1. A．①②　　 B．①④ C．②③　　 D．③④ 解析：C　f(x)＝x3－x2＋⇒f′(x)＝x2－x⇒f″(x)＝2x－1， 令f″(x)＝2x－1＝0，解得x＝，f()＝×()3－×()2＋＝1， 由题意可知，函数f(x)＝x3－x2＋的对称中心为(，1)； 因为函数f(x)＝x3－x2＋的对称中心为(，1)， 所以有f(x)＋f(1－x)＝2，设S＝f()＋f()＋…＋f()＋f()，　(1) 所以有S＝f()＋f()＋…＋f()＋f()，　(2) (1)＋(2)得，2S＝2＋2＋…＋2＋2＝2×99⇒S＝99， 即f()＋f()＋…＋f()＋f()的值是99. 训练1　已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是(　　) A．m＜2或m＞4　　 B．m≤2或m≥4 C．2≤m≤4　　 D．2＜m＜4 解析：C　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7， 由题意得导函数f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7无变号零点， ∴x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7≥0恒成立， ∴Δ＝4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28＝4(m2－6m＋8)≤0， 解得2≤m≤4.故选C． 训练2　设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋1的导函数f′(x)＝3ax(x－1)，且a＞2，则函数f(x)的零点个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．3 解析：D　由f′(x)＝3ax(x－1)且a＞2知，当0＜x＜1时，f′(x)＜0， 当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递增， 在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3ax(x－1)， 则b＝－，c＝0， 则f(x)＝ax3－x2＋1， 所以f(0)＝1＞0， f(1)＝a－＋1＝1－＜0， 又f(－1)＝－a＋1＜0，f(2)＝2a＋1＞0， 所以函数有三个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$