5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 知识点一、两角和与差的余弦公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：左右符号相反. 知识点二、两角和与差的正弦公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：左右符号相同. 知识点三、两角和与差的正切公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：分子同，分母异. 3.公式变形 （1）的变形：=. （2）的变形：=. 知识点四、辅助角公式 形如的函数，可以转化为或的形式. ,其中满足，，（根据两角和与差的正弦公式可得）. 注意：通过两角和与差的余弦公式可推出的形式. 知识点五、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式 ：. ：. ：. 2.升幂公式：；. 3.降幂公式：；；. 4.半角公式：；；. 题型一：利用和（差）角公式化简求值 例1.化简求值： （1）－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. （2）sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°. （3）. 例2.化简求值 （1）（   ） A． B．2 C．1 D． （2）（   ） A． B． C． D．2 跟踪训练： 1.sin160°cos40°﹣sin250°cos50°＝　 　 ． 2.化简求值： （1）cos44°sin14°﹣sin44°cos14°； （2）sin（54°﹣x）cos（36°+x）+cos（54°﹣x）sin（36°+x）． 3.化简：＝　 　 ． 4.tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)． 5.计算tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝ . 6. ＝ . 题型二：给值求值或给值求角 例1.已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 例2.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 跟踪训练： 1.若，则（   ） A． B． C． D． 2.已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 4.已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． 5.已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π， 求：（1）tan(α－β)的值； （2）角α＋β的值． 6.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 题型三：利用和（差）角公式的化简与证明 例1.化简：. 例2.已知，求证：. 跟踪训练： 1.化简：. 2.已知，，求证：. 题型四：和（差）角公式在三角形中的应用 例1.在中，，．求． 跟踪训练： 1.在中，若，则的形状一定是（ ） A.等边三角形 B.不含角的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 2.在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3.在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4.△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状． 题型五：辅助角公式的应用 例1.(多选)f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上递增的是(　　) A.[] B.[] C.[] D.[] 跟踪训练： 1.已知sin(x+)＝，则cos x＋cos()的值为 . 2.若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是 . 3.函数y＝cos x＋cos(x+)的最小值是 ，最大值是 ． 4.函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 题型六：利用倍角公式化简求值 例1.已知，，则（     ） A． B． C． D．1 例2.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2.化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 3.若，则（   ） A． B． C． D． 4.已知，则（   ） A． B． C． D． 5.求下列各式的值： （1）sin2π－cos2π； （2）； （3）cos 20°·cos 40°·cos 80°. 6.求下列各式的值： （1）sin cos ； （2）； （3）cos4－sin4. 题型七：利用倍角公式化简与证明 例1.化简： （1）． （2），其中． （3）． 例2.求证：. 跟踪训练： 1.化简的结果为（      ） A． B． C． D． 2.已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3.求证：. 4.求证： 1.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 2.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 3.tan 255°等于(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 4.sin 2α＝，则cos2的值为(　　) A. B. C. D. 5.计算＝ . 6.化简sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)＝ . 7.＝ . 8.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ . 1.下列各式化简错误的是(　　) A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos＝cos α＋sin α 2.若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　) A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1) 3.已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanα＝2，则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 4.函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 5.已知，则（　　） A． B． C． D． 6.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－4 7.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 8.已知，，则　　 ． 9.计算：　　 ． 10.已知cos＝，则cos α＋sin α的值为 ． 11.tan70°cos10°（tan20°﹣1）的值为　 　． 12.求值： ． 13.若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为 ． 14.求值： （1）cos80°cos20°+sin100°•sin20°； （2）cos160°cos25°+sin20°•sin25°； （3）（sin75°+cos75°）•（sin75°﹣cos75°）． 15.求值： （1）； （2）． 16.已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求β的值． 17.已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 18.函数，其相邻两个对称中心之间的距离为 （1）求实数的值及函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值； （3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 知识点一、两角和与差的余弦公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：左右符号相反. 知识点二、两角和与差的正弦公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：左右符号相同. 知识点三、两角和与差的正切公式 1.公式 ：. ：. 2.符号规律：分子同，分母异. 3.公式变形 （1）的变形：=. （2）的变形：=. 知识点四、辅助角公式 形如的函数，可以转化为或的形式. ,其中满足，，（根据两角和与差的正弦公式可得）. 注意：通过两角和与差的余弦公式可推出的形式. 知识点五、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.公式 ：. ：. ：. 2.升幂公式：；. 3.降幂公式：；；. 4.半角公式：；；. 题型一：利用和（差）角公式化简求值 例1.化简求值： （1）－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. （2）sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°. （3）. 解：（1）原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. （2）原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝. （3）原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. 例2.化简求值 （1）（   ） A． B．2 C．1 D． 解：原式 . 故选：A. （2）（   ） A． B． C． D．2 解：根据三角函数两角和公式，则. 代入原式化简,将代入原式可得： . 因为，，所以. 则原式变为. 故选：C. 跟踪训练： 1.sin160°cos40°﹣sin250°cos50°＝　 　 ． 解：原式＝sin20°cos40°+cos20°sin40°＝sin（20°+40°）＝sin60°． 故答案为． 2.化简求值： （1）cos44°sin14°﹣sin44°cos14°； （2）sin（54°﹣x）cos（36°+x）+cos（54°﹣x）sin（36°+x）． 解：（1）cos44°sin14°﹣sin44°cos14°＝sin14°cos44°﹣cos14°sin44° ＝sin（14°﹣44°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°； （2）sin（54°﹣x）cos（36°+x）+cos（54°﹣x）sin（36°+x） ＝sin[（54°﹣x）+（36°+x）]＝sin90°＝1． 3.化简：＝　 　 ． 解： ＝.故答案为：. 4.tan 10°·tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)． 解：∵tan(10°＋20°)＝＝， ∴tan 10°＋tan 20°＝(1－tan 10°·tan 20°)． ∴原式＝tan 10°·tan 20°＋×(1－tan 10°·tan 20°) ＝tan 10°·tan 20°＋1－tan 10°tan 20° ＝1. 5.计算tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝ . 解：原式＝tan(72°－42°)(1＋tan 72°tan 42°)－tan 72°tan 42° ＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42° ＝tan 30°＝. 6. ＝ . 解：＝＝＝tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－.故答案为：－. 题型二：给值求值或给值求角 例1.已知，，则的值为（ ） A． B． C． D．或 解：由于，，故， .故选：C. 例2.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 解：由cos α＝，0<α<，得sin α＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝. ∵β＝α－(α－β)， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 跟踪训练： 1.若，则（   ） A． B． C． D． 解：因为，则. 故选：B. 2.已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 解：因为都是锐角，所以， 又，所以， ， 又， 所以.故选：A. 3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 解：由 . 由 . 由 . 所以 .故选：B. 4.已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． 解：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝. 又因为0<β<，所以0<α＋β<π. 因为sin(α＋β)＝<sin α，所以cos(α＋β)＝， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－()×＝. 又因为0<β<，所以β＝. 5.已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π， 求：（1）tan(α－β)的值； （2）角α＋β的值． 解：（1）tan(α－β)＝＝7. （2）∵tan(α＋β)＝＝， 又0<α<，<β<π，∴<α＋β<，∴α＋β＝. 6.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 解：∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又sin α<sin β，∴0<α<β<， ∴－<α－β<0.故α－β＝－. 题型三：利用和（差）角公式的化简与证明 例1.化简：. 解：原式 = = = = =. 例2.已知，求证：. 证明：由已知得，所以， 所以. . 所以. 跟踪训练： 1.化简：. 解：原式 . 2.已知，，求证：. 证明：因为， 所以. 因为，所以， 所以. 题型四：和（差）角公式在三角形中的应用 例1.在中，，．求． 解：因为，，所以．因为． 所以， 则，所以． 又，且， 所以，． 跟踪训练： 1.在中，若，则的形状一定是（ ） A.等边三角形 B.不含角的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解：因为，所以， . 由， 得，则， 所以，即. 又因为，所以，所以是直角三角形.故选：D. 2.在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解：∵A＋B＋C＝π，∴A＝π－(B＋C)， 由已知可得sin(B＋C)＝2sin Ccos B ⇒sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B ⇒sin Bcos C－cos Bsin C＝0⇒sin(B－C)＝0. ∵0<B<π，0<C<π，∴－π<B－C<π. ∴B＝C.故△ABC为等腰三角形．故选：C. 3.在中，，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为 ， 所以. 又因为，所以，所以. 又因为，所以.故选：D. 4.△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tan A，tan B是方程3x2－6x＋2＝0的两根，试判断△ABC的形状． 解：依题意，∴tan A>0，tan B>0，又A，B，C∈(0，π)， ∴A∈(0，)，B∈(0，)， 又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝. ∴C∈(，π)，∴△ABC为钝角三角形． 题型五：辅助角公式的应用 例1.(多选)f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上递增的是(　　) A.[] B.[] C.[] D.[] 解：f(x)＝sin 2x－cos 2x＝＝sin(2x－). 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 整理得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[]，k∈Z.经检验B，C正确．故选：BC. 跟踪训练： 1.已知sin(x+)＝，则cos x＋cos()的值为 . 解：cos x＋cos()＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝sin(x+)＝. 故答案为：. 2.若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是 . 解：sin x－cos x＝m－1，即2(sin x－cos x )＝m－1，即2sin(x－)＝m－1， ∵sin(x－)∈[－1,1]．∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3.故答案为：[－1,3]. 3.函数y＝cos x＋cos(x+)的最小值是 ，最大值是 ． 解：y＝cos x＋cos xcos －sin xsin  ＝cos x－sin x＝(cos x－sin x) ＝cos(x+)， 当cos(x+)＝－1时，ymin＝－. 当cos(x+)＝1时，ymax＝. 故答案为：－，. 4.函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 解：，因在上单调递减，则 ，则.故选：D. 题型六：利用倍角公式化简求值 例1.已知，，则（     ） A． B． C． D．1 解：由，故，. 故选：A． 例2.若，则的值为（    ） A． B． C． D． 解：由二倍角公式得 由诱导公式得故选：C. 跟踪训练： 1.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 解：由二倍角公式：.故选：C. 2.化简所得的结果是（    ） A． B． C． D． 解：原式= ．故选：B． 3.若，则（   ） A． B． C． D． 解：已知，两边同时平方得，即，又，得，即，所以. 故选：A. 4.已知，则（   ） A． B． C． D． 解：由题意结合诱导公式得， 由二倍角的余弦公式得，故B正确. 故选：B. 5.求下列各式的值： （1）sin2π－cos2π； （2）； （3）cos 20°·cos 40°·cos 80°. 解：（1）原式＝－(cos2π－sin2π)＝－cos π＝－cos＝cos ＝. （2）原式＝. （3）原式＝. 6.求下列各式的值： （1）sin cos ； （2）； （3）cos4－sin4. 解：（1）原式＝×2sin cos ＝×sin ＝. （2）原式＝·＝×tan 45°＝. （3）原式＝(cos2－sin2)(cos2+sin2)＝cos2－sin2＝cos ＝. 题型七：利用倍角公式化简与证明 例1.化简： （1）． （2），其中． （3）． 解： ＝ ． （2）因为，所以，，所以． 故． （3）(方法1) ． (方法2) ． (方法3) ． 例2.求证：. 证明：方法 1： . 所以等式成立. 方法 2： 故原式成立. 跟踪训练： 1.化简的结果为（      ） A． B． C． D． 解：原式 ， 故选：B． 2.已知，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 解：. .故选：B. 3.求证：. 证明： . 故等式成立． 4.求证： 证明： . 故原等式成立. 1.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 解：原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos 60°＝ .故选：B. 2.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　) A.－ B. C.－ D. 解：∵cos α＝－，α是第三象限的角，则sin α=－，故sin－. 故选：A. 3.tan 255°等于(　　) A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋ 解：tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋.故选：D. 4.sin 2α＝，则cos2的值为(　　) A. B. C. D. 解：cos2＝＝.故选：C. 5.计算＝ . 解：＝.故答案为：1. 6.化简sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)＝ . 解：原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.故答案为：1. 7.＝ . 解：原式＝＝.故答案为：. 8.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β＝ . 解：因为0<α<，0<β<，α<β.所以－<α－β<0. 又cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝－. 又因为0<2α<π，cos 2α＝，所以sin 2α＝＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×(－)＝－.又0<α＋β<π，故α＋β＝.故答案为：. 1.下列各式化简错误的是(　　) A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos＝cos α＋sin α 解：根据两角差的余弦公式知，A，B，C均正确，D选项错误．故选：D. 2.若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于(　　) A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1) 解：∵28°＋32°＝60°，∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝， ∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．故选：B. 3.已知sin（α﹣β）＝3cos（α+β），tanα＝2，则tanβ＝（　　） A． B． C． D． 解：因为sin（α﹣β）＝3cos（α+β），所以sinαcosβ﹣cosαsinβ＝3cosαcosβ﹣3sinαsinβ， 因为tanα＝2，所以cosα≠0， 若cosβ＝0，则tanβ无意义，所以cosβ≠0，两边同除以cosαcosβ， 得tanα﹣tanβ＝3﹣3tanαtanβ，又tanα＝2，所以2﹣tanβ＝3﹣3×2tanβ，解得． 故选：A． 4.函数f(x)＝sin＋sin，则f(x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解：f(x)＝sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x. ∴f(x)为奇函数．故选：A. 5.已知，则（　　） A． B． C． D． 解：由题意得cos（α）cosαsinα， 所以cos（α）sinα，即cosαsinαsinα 整理得，可得cosαcossinαsin，即， 所以. 故选：B． 6.函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－4 解：∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴g(t)＝－2t2－3t＋1. 又函数g(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下， ∴当t＝1时，g(t)有最小值－4.综上，f(x)的最小值为－4.故选：D. 7.(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 解：由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°， 利用两角和的正切公式及其变形可得 (1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2， (1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.故选：C. 8.已知，，则　　 ． 解：由，，得， 所以．故答案为：． 9.计算：　　 ． 解：因为，，cos2π＝cos0＝1， 所以原式．故答案为：﹣1． 10.已知cos＝，则cos α＋sin α的值为 ． 解：因为cos＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝2(cos α＋sin α)＝.故答案为：. 11.tan70°cos10°（tan20°﹣1）的值为　 　． 解：tan70°cos10°（tan20°﹣1）••2sin（20°﹣30°）＝﹣1．故答案为：﹣1． 12.求值： ． 解：原式 ． 故答案为：． 13.若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为 ． 解：∵<α<，<β<，∴－<－α<0，<＋β<. ∴cos＝， cos＝－， ∴cos(α＋β)＝cos[-]＝coscos＋sinsin ＝()×＋×()＝－，又<α＋β<π，∴α＋β＝.故答案为：. 14.求值： （1）cos80°cos20°+sin100°•sin20°； （2）cos160°cos25°+sin20°•sin25°； （3）（sin75°+cos75°）•（sin75°﹣cos75°）． 解：（1）原式＝cos80°cos20°+sin80°sin20°． （2）原式＝﹣cos20°cos25°+sin20°•sin25°＝﹣cos（20°+25°）． （3）原式＝sin275°﹣cos275°＝﹣（cos275°﹣sin275°）． 15.求值： （1）； （2）． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16.已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求β的值． 解：因为α∈，tan α＝4， 所以sin α＝4cos α，① sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得sin α＝，cos α＝. 因为α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝（－）×＋×＝. 所以cos β＝.又0<β<，所以β＝. 17.已知函数． （1）求函数的周期和其图像的对称轴方程； （2）当时，求的值域． 解：（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 18.函数，其相邻两个对称中心之间的距离为 （1）求实数的值及函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值； （3）设，若函数在上有两个不同零点，求实数m的取值范围. 解：（1）依题意，， 显然函数的周期，解得，因此， 由，得， 故单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，， 当，即时，. （3）由（1）知，函数在上单调递增，函数值从0增大到， 在上单调递减，函数值从减小到1，函数在的图象，如图，    由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，此时， 所以实数m的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $