第3章 第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算 　1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0. f′(x0)＝＝． (2)函数y＝f(x)的导函数 f′(x)＝称为函数y＝f(x)的导函数． 　f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值；但(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 　曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ 4．导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[]′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x． 常用结论 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正、负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos x．(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．回源教材 (1)(多选)下列导数运算正确的是(　　) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C．()′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 解析：ABD　()′＝，故C错误，其余都正确． (2)已知函数f(x)＝x(2022＋ln x)，若f′(x0)＝2023，则x0等于(　　) A．e2　　 B．1 C．ln 2　　 D．e 解析：B　f′(x)＝2022＋ln x＋1＝2023＋ln x， f′(x0)＝2023＋ln x0＝2023，得x0＝1. (3)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________． 解析：由y＝xex，得y′＝(x＋1)ex， 由y＝aln x＋2，得y′＝，故2e＝a. 答案：2e 　导数的运算 1．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．()′＝ D．(2x＋cos x)′＝2xln 2－sin x 解析：ABD　对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确； 对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确； 对于C，()′＝＝，故C错误； 对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2xln 2－sin x，故D正确． 2．(多选)(2024·济南质检)下列求导运算正确的是(　　) A．()′＝－ B．(x2ex)′＝2x＋ex C．[cos(2x－)]′＝－sin(2x－) D．(x－)′＝1＋ 解析：AD　()′＝－·(ln x)′＝－，故A正确； (x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误； [cos(2x－)]′＝－2sin(2x－)，故C错误； (x－)′＝1＋，故D正确． 3．(2024·河北省部分学校模拟)已知函数f(x)＝e2x＋f′(1)x2，则f′(1)＝(　　) A．－2e2　　 B．2e2 C．e2　　 D．－e2 解析：A　由f(x)＝e2x＋f′(1)x2， 得f′(x)＝2e2x＋2f′(1)x， 令x＝1，得f′(1)＝2e2＋2f′(1)， 则f′(1)＝－2e2. 4．已知函数f(x)＝sin x＋4x，则 ＝________． 解析：∵f′(x)＝cos x＋4，∴f′(π)＝3， ∴ ＝2 ＝2f′(π)＝6. 答案：6 反思感悟 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． 3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 　导数的几何意义 　求切线方程 例1　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点(1，)处的切线方程为(　　) A．y＝x　　 B．y＝x C．y＝x＋　　 D．y＝x＋ 解析：C　y′＝＝，y′|x＝1＝，所以曲线y＝在点(1，)处的切线方程为y－＝(x－1)，整理得y＝x＋.故选C． (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 解析：当x>0时，y＝ln x，设切点为(x0，y0)，x0>0，则由y′＝，得切线斜率k＝.又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e.所以k＝，所以切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上，两条切线方程分别为y＝x，y＝－x. 答案：y＝x　y＝－x 　求切点坐标或参数的值(范围) 例2　(1)已知直线y＝ax＋4(a∈R)与曲线y＝－ln x相切，则a＝________． 解析：由y＝－ln x，得y′＝－－，设切点为(x0，y0)，则ax0＋4＝－ln x0，a＝－－，消去a得ln x0＋3－＝0， ∵函数f(x)＝ln x＋3－在(0，＋∞)上单调递增，且f()＝0， ∴x0＝，此时a＝－2e. 答案：－2e (2)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是________． 解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝(x－m)． 又切线过点(－e，－1)， 所以有n＋1＝(m＋e)． 再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1. 故点A的坐标为(e，1)． 答案：(e，1) 　由切线条数求参数 例3　(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________． 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex. 设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点， 依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)e x0＝，化简，得x＋ax0－a＝0. 因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 反思感悟 1．求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．求过某点的切线方程，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 2．处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程． 训练1　(1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．y＝3x－2　　 B．y＝3x＋2 C．y＝－3x－2　　 D．y＝－3x＋2 解析：A　由题知f′(x)＝＝， 所以f′(0)＝3，f(0)＝－2， 所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2. (2)(2024·泸州模拟)已知曲线y＝在点(π，－)处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是(　　) A．　　 B．－2 C．－　　 D．2 解析：D　令y＝f(x)＝， 则f′(x)＝， 曲线在点(π，－)处的切线的斜率为f′(π)＝＝，解得a＝2. (3)(2024·南通模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3　　 B．3 C．－3或1　　 D．3或1 解析：C　设切点为(x0，(1－x0)ex0)， 由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，切线方程为y－(1－x0)ex0＝－x0ex0 (x－x0)， 直线过点A(a，0)，则－(1－x0)ex0＝－x0ex0·(a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0， 切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即(a＋3)(a－1)＝0，解得a＝－3或1. 　两曲线的公切线 例4　若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于(　　) A．0　　 B．1 C．e　　 D．－e 解析：D　设l与f(x)的切点为(x1，y1)，则由f′(x)＝ex－1，得l：y＝xex1－1＋(1－x1)ex1－1. 同理，设l与g(x)的切点为(x2，y2)， 则由g′(x)＝，得l：y＝x＋e(ln x2－1)． 故 解得或 则l：y＝x或y＝ex－e. 因为k>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e. 反思感悟 公切线问题的解法 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 训练2　已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　) A．－3　　 B．1 C．3　　 D．5 解析：D　依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同． ∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x， ∴f′(x)＝2x，h′(x)＝－4， ∴ 即 ∵x0>0，∴x0＝1，m＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $$