第2章 第7讲 指数函数（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第7讲　指数函数 　1.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称 常用结论 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，(－1，)． 2．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (3)2－3>2－4.(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．回源教材 (1)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．(－2，)　　 B．(－1，) C．(1，2)　　 D．(3，) 解析：D　设f(x)＝ax，则f(－1)＝a－1＝2，故a＝，所以f(x)＝()x，则f(3)＝()3＝，故选D． (2)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 解析：A　易知f(x)是偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，故A正确． (3)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A．a>b>c　　 B．a>c>b C．c>b>a　　 D．c>a>b 解析：C　因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a. 　指数函数的图象及应用 例1　(1)(多选)(2024·合肥模拟)已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x>0)的图象可能是(　　) 解析：ABC　当0<a<1时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝ax在(0，＋∞)上单调递减， 因此函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上单调递增，而f(0)＝－1，f(a)＝0，函数图象为曲线，A可能； 当a＝1时，函数f(x)＝x－1，x∈(0，＋∞)，B可能； 当a>1时，取a＝2，有f(2)＝f(4)＝0，即函数f(x)＝x2－2x，x>0的图象与x轴有两个公共点， 又随着x的无限增大，函数y＝ax呈爆炸式增长，其增长速度比y＝xa的增长速度快， 因此存在正数x0，当x>x0时，x<ax0恒成立，即f(x)<0，C可能，D不可能．故选ABC． (2)(多选)(2024·哈尔滨三中模拟)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，当x1∈[0，1)时，的值可能等于(　　) A．－1　　 B．－2　 C．－3　　 D．0 解析：BC　表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k. M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)图象上的动点． 如图，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B、C满足． 反思感悟 1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 训练1　(1)函数f(x)＝()|x＋2|的部分图象大致为(　　) 解析：B　由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；当x≥－2时，f(x)＝()x＋2，因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A．故选B． (2)(2024·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是________． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方保持x轴上及其上方的图象不变得到的．当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a<. 图1　　　　　　　　　　图2 综上可知，a的取值范围是(0，)． 答案：(0，) 　指数函数的性质及应用 　比较指数式的大小 例2　(1)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　) A．b<c<a　　 B．c<a<b C．a<b<c　　 D．b<a<c 解析：D　b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c. (2)已知a＝，b＝()，c＝()()，则(　　) A．a<b<c　　 B．a<c<b C．c<a<b　　 D．c<b<a 解析：B　因为函数y＝()x单调递减，故a＝()1<b＝().因为<()⇒()>()()，所以c<b.又()<1⇒()1<()()，所以a<c.综上a<c<b. 反思感悟 比较指数式大小的常用方法 单调 性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间 值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系 　解简单的指数方程或不等式 例3　(2024·青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4]　　 B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4]　　 D．(－∞，0]∪[1，2] 解析：D　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. ∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 反思感悟 指数不等式的求解主要是利用指数函数的单调性，但要注意其底数对单调性的影响． 　指数函数性质的综合应用 例4　已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝×2x＋， 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以×＋2x＝－(×2x＋)， 所以(＋1)(2x＋)＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x，x∈[1，2]， 所以－22x≥m(－2x)， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]，令t＝2x，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增， 所以m≥4＋＝. 反思感悟 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 训练2　(1)(2024·河南名校联考)若a＝21.9，b＝21.5，c＝31.9，则(　　) A．c>a>b　　 B．b>a>c C．a>c>b　　 D．a>b>c 解析：A 　∵指数函数y＝2x在R上单调递增，且1.9>1.5，∴21.9>21.5，即a>b. ∵幂函数y＝x1.9在(0，＋∞)上单调递增，且3>2，∴31.9>21.9，即c>a，∴c>a>b. (2)(多选)(2024·广州模拟)已知函数y＝()x2＋4x＋3，则下列说法正确的是(　　) A．定义域为R B．值域为(0，2] C．在[－2，＋∞)上单调递增 D．在[－2，＋∞)上单调递减 解析：ABD　函数y＝()x2＋4x＋3的定义域为R，A正确； ∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1， ∴0<()x2＋4x＋3≤2，故函数y＝()x2＋4x＋3的值域为(0，2]，B正确； ∵y＝()u在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数， ∴函数y＝()x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$