第2章 第4讲 函数的对称性（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第4讲　函数的对称性 　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称． (2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2，0)． 2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)函数f(x)＝2＋的对称中心为________． 解析：函数y＝的对称中心为(0，0)，把其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到f(x)＝2＋的图象，故f(x)的对称中心为(1，2)． 答案：(1，2) (2)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________． 解析：法一：由y＝f(x＋2)－3是奇函数， 所以f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3. 令x＝2，得f(0)－3＝－f(4)＋3，故f(0)＝4. 法二：由y＝f(x＋2)－3是奇函数， 得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 答案：4 (3)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________． 解析：∵f(x)为偶函数， ∴f(－1)＝f(1)， 由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5. 答案：5 　函数的对称性 例1　(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称． 令g(x)＝f()＝(x＋a)ln(1＋) ＝(x＋a)ln， 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称， 所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln， 于是得 当a＝，b＝－时， g(x)＝(x＋)ln(1＋)， g(－1－x)＝(－x－)ln ＝(－x－)ln ＝(x＋)ln ＝(x＋)ln(1＋)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意．故存在a，b，使得曲线y＝f()关于直线x＝b对称，且a＝，b＝－. 反思感悟 1．函数y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)，或f(2a＋x)＝f(－x)． 2．函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(2a－x)＋f(x)＝2b，或f(a－x)＋f(a＋x)＝2b. 3．函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 训练1　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：A　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，则P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． 　对称性与周期性 例2　(1)(2024·达州一诊)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2023)＝(　　) A．1　　 B．－2　 C．－1　　 D．2 解析：D　法一：因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．则f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.故选D． 法二：由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)是奇函数， 由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数． 则f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2. (2)(2024·泉州第一次质量监测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当1≤x<2时，f(x)＝x－2.若y＝x－与f(x)的图象交于点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n∈N*)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．6　　 B．8　 C．10　　 D．14 解析：D　因为f(x)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以直线x＝1是函数f(x)图象的一条对称轴．又由f(x＋2)＝－f(x)，得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．作出函数f(x)的图象，如图所示． 由图象可知，点(2，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，直线y＝x－也关于点(2，0)对称，且当x≥8时，y＝x－≥1，当x≤－4时，y＝x－≤－1，直线y＝x－与y＝f(x)的图象有7个公共点，则由对称性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0，因此 (xi＋yi)＝14.故选D． 反思感悟 1．若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|. 2．若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|. 3．若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|. 训练2　(1)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．f(x)的周期为4 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析：ACD　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， 则f(－x)＝f(x＋4)， 又f(－x)＝f(x)， ∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确； ∵T＝4且f(x)为偶函数， 故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确． (2)(2024·广州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2，f(x＋2)为偶函数．若f(0)＝2，则f(k)＝(　　) A．116　　 B．115　 C．114　　 D．113 解析：C　由f(x＋1)＋f(x－1)＝2，得f(x＋2)＋f(x)＝2，即f(x＋2)＝2－f(x)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－[2－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.又f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(4－x)＝f(－x)，所以函数f(x)也为偶函数．又f(x＋1)＋f(x－1)＝2，所以f(1)＋f(3)＝2，f(2)＋f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4.又f(0)＋f(2)＝2，f(0)＝2，所以f(2)＝0，所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]×28＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝4×28＋2＋0＝114. 　对称性、周期性与单调性 例3　(多选)(2024·杭州二中月考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则(　　) A．f(0)＝f(－2) B．f(x)的周期T＝2 C．f(x)在(2，3)上单调递减 D．f(x)满足f(2021)>f(2022)>f(2023) 解析：AC　由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，所以f(0)＝f(2)，又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x)． 因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误． 因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增， 又f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减， 则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确． 根据f(x)的周期为4，可得f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(2)，f(2023)＝f(3)， 因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)， 即f(2021)＝f(1)，f(2022)＝f(0)，f(2023)＝f(－1)， 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立，故D错误．故选AC． 反思感悟 解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式． 训练3　(2024·成都七中二诊)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　) A．f(log27)<f(－5)<f(6) B．f(log27)<f(6)<f(－5) C．f(－5)<f(log27)<f(6) D．f(－5)<f(6)<f(log27) 解析：C　由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，f(x)的周期T＝4.又f(－x)＝－f(x)，f(2)＝－f(0)＝0，所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.又2<log27<3，则0<log27－2<1，则0<log2<1，因为当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)∈[0，1]，所以f(log27)＝－f(log27－2)＝－f(log2)＝－log2(log2＋1)＝－log2(log2)．又1<log2<2，所以0<log2(log2)<1，所以－1<－log2(log2)<0，所以f(－5)<f(log27)<f(6)．故选C． 　抽象函数的性质 解决抽象函数问题的常用方法： 方法一(通法) (1)赋值，特殊值代入求值，如令x＝0，1，2，3，…. (2)通过函数式得到抽象函数的性质： ①通过f(x1)－f(x2)的变换判断单调性；②令式子中出现f(x)和f(－x)，判断函数的奇偶性； ③换x为x＋T确定是否具有周期性． 方法二(模型化) 结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有： (1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)——y＝kx；(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)——y＝ax(a>0且a≠1)； (3)f(xy)＝f(x)＋f(y)——y＝logax(a>0且a≠1)；(4)f(xy)＝f(x)f(y)——y＝xn(n为常数)； (5)f(x＋y)＝——y＝tan x；(6)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)——y＝cos ωx. 注意转化与化归策略、迭代策略、数形结合策略等的运用． 典例　(2022·新高考全国Ⅱ卷)若函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则f(k)＝(　　) A．－3　　 B．－2　 C．0　　 D．1 解析：A　法一：令x＝1，y＝0，得2f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2.令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋3)＝f(x＋6)，即f(x)是周期为6的周期函数．因为f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以f(k)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(18)]＋[f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)]＝f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－3. 法二：取f(x)＝2cos x符合条件，则T＝6，计算可得f(2)＝－1，f(3)＝－2，f(4)＝－1，f(5)＝1，f(6)＝2，所以f(k)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 训练1　已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)＋9f(2)对任意x∈R恒成立，且函数f(x＋9)的图象关于点(－9，0)对称，f(1)＝2023，则f(45)＝(　　) A．2022　　 B．－2022　 C．2023　　 D．－2023 解析：D　因为对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)＋9f(2)，所以令x＝－1，得f(2)＝f(2)＋9f(2)，解得f(2)＝0，则f(x＋3)＝f(1－x)，即f(x＋4)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又函数f(x＋9)的图象关于点(－9，0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)为奇函数，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以8是函数f(x)的一个周期，所以f(45)＝f(6×8－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1)＝－2023，故选D． 训练2　已知函数f(x＋1)＝，若f(3)＝2，则f(2023)＝________． 解析：由f(x＋1)＝，联想tan(x＋)＝，由于函数y＝tan(x＋)的最小正周期为π＝4×，故猜想函数f(x＋1)的周期为4×1＝4.事实上，由f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝＝－，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，∴f(2023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$