第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第3讲　函数的奇偶性、周期性 　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及应用.2.会利用函数的奇偶性、周期性解决函数性质的简单问题． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2．周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a＞0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a＞0)． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．回源教材 (1)(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x3＋1　　 D．f(x)＝sin x 解析：ABD　对于选项A，B，D中的函数，都有f(－x)＝－f(x)，故是奇函数． 对于选项C，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠－f(x)，故不是奇函数． (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________． 解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 (3)设f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2，则f(5)＝______，f()＝________． 解析：f(5)＝f(1)＝(1－1)2＝0，f()＝f()＝(－1)2＝. 答案：0　 　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝log2(x＋)． 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}，从而f(x)＝ ＋ ＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 因为当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x， 总有f(－x)＝－f(x)成立， 所以函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝log2[－x＋] ＝log2(－x)＝log2(＋x)－1 ＝－log2(＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 反思感悟 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 训练1　(1)(2024·海淀区模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝　　 B．y＝ C．y＝lg|x|　　 D．y＝ 解析：C　选项A，y＝是非奇非偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意． 选项B，y＝是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不符合题意． 选项C，y＝lg|x|是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 选项D，y＝是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．故选C． (2)(2024·辽阳模拟)若f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝f(2x＋2－x)　　 B．y＝f(2x－x) C．y＝f(2x－2－x)　　 D．y＝f(2x＋x) 解析：C　法一：f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)．A选项，对于函数y＝f(2x＋2－x)，f(2－x＋2x)＝f(2x＋2－x)，所以函数y＝f(2x＋2－x)不是奇函数． B选项，对于函数y＝f(2x－x)，f(2－x＋x)≠－f(2x－x)， 所以函数y＝f(2x－x)不是奇函数． C选项，对于函数y＝f(2x－2－x)，f(2－x－2x)＝－f(2x－2－x)，所以函数y＝f(2x－2－x)是奇函数． D选项，对于函数y＝f(2x＋x)，f(2－x－x)≠－f(2x＋x)，所以函数y＝f(2x＋x)不是奇函数．故选C． 法二：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以要使函数f(g(x))是奇函数，则函数g(x)一定是奇函数，只有C项符合，故选C． 　函数奇偶性的应用 　求解析式(参数或值) 例2　(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2　　 B．－1　 C．1　　 D．2 解析：D　因为f(x)＝为偶函数，则 f(x)－f(－x)＝－ ＝＝0， 因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0， 即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. (2)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝，则f(x)＝________． 解析：由函数f(x)是R上的奇函数， 得f(0)＝0， 而当x<0时，－x>0，所以有 f(x)＝－f(－x)＝－＝－， 综上所述，f(x)＝ 答案： 　奇偶性与单调性 例3　(2024·梧州模拟)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A．(1，3)　　 B．(3，＋∞) C．(－3，－1)∪(3，＋∞)　　 D．(0，1)∪(3，＋∞) 解析：D　法一：偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞)．当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集．综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)．故选D． 法二：偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，所以f(x－2)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f(x－2)＝0.当x>0时，xf(x－2)>0即f(x－2)>0，所以x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞)；当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，所以1<x<3，所以解集为空集．综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)．故选D． 反思感悟 1．求参数值的方法 利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． 2．解函数不等式的方法 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系． (2)利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题． 训练2　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0　 C．　　 D．1 解析：B　因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为{x|x>或x<－}，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln＝(－x)ln()－1 ＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B． (2)偶函数f(x)的定义域为R，当x∈(－∞，0)时，f(x)是增函数，则f(－π)，f(2)，f(3)的大小关系是(　　) A．f(－π)>f(2)>f(3) B．f(－π)>f(3)>f(2) C．f(－π)<f(2)<f(3) D．f(－π)<f(3)<f(2) 解析：D　因为函数f(x)是偶函数且在(－∞，0)上为增函数，故函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以，f(－π)＝f(π)<f(3)<f(2)，故选D． (3)已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋x＋6，且f(－1)＝2022，则f(1)＝________． 解析：构造具有奇偶性的函数，由f(x)＝ax4＋bx2＋x＋6，得ax4＋bx2＋6＝f(x)－x，构建函数g(x)＝ax4＋bx2＋6＝f(x)－x，定义域为R， 因为g(－x)＝a(－x)4＋b(－x)2＋6＝ax4＋bx2＋6＝g(x) 所以函数g(x)是偶函数，所以g(1)＝g(－1)， 所以f(1)－1＝f(－1)－(－1)， 从而f(1)＝f(－1)＋2，又f(－1)＝2022， 因此f(1)＝2024. 答案：2024 　函数的周期性及应用 例4　(1)函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(1)＝2，则f(2023)＝________． 解析：∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝， ∴f(x＋4)＝＝＝f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2023)＝f(3)＝＝. 答案： (2)函数y＝f(x)的周期为2，且当x∈[－1，1)时，f(x)＝x，则y＝f(x)，x∈[2k－1，2k＋1)(k∈Z)的解析式为________． 解析：因为函数y＝f(x)的周期为2， 当x∈[－1，1)时，f(x)＝x， 且k∈Z，当2k－1≤x<2k＋1时， 则－1≤x－2k<1， 故当x∈[2k－1，2k＋1)(k∈Z)时， f(x)＝f(x－2k)＝x－2k. 答案：f(x)＝x－2k 反思感悟 1．求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． 2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． 训练3　(1)(2024·常州金坛区第二次检测)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是(　　) A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 解析：A　法一：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)．因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2)．因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数．故选A． 法二：因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称；因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2)．又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数．故选A． (2)(2024·吕梁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，g(x)＝f(x)－2为奇函数，则f(198)＝(　　) A．0　　 B．1　 C．2　　 D．3 解析：C　因为f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又g(x)＝f(x)－2为奇函数，所以f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以f(x)＋f(－x)＝4，令x＝0，得2f(0)＝4，所以f(0)＝2， 所以f(198)＝f(0＋6×33)＝f(0)＝2，故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $$