第2章 第2讲 函数的单调性与最大(小)值（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第2讲　函数的单调性与最大(小)值 　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数 图象 描述 从左向右，图象上升 从左向右，图象下降 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 　(1)有多个单调区间应分开写，不能用“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．(2)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2．函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 类比函数y＝f(x)的最大值定义，只需把条件(1)变为∀x∈D，都有f(x)≥M，则称M是函数y＝f(x)的最小值． 常用结论 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在I上单调递增． (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在I上单调递减． 2．函数y＝f(x)(f(x)>0 或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 3．复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x　　 B．y＝x2－x C．y＝－x2－2x　　　　　　 D．y＝ex 解析：AC　y＝x2－x在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，y＝ex在(0，＋∞)上单调递增．故选AC． (2)函数f(x)＝的单调递增区间是________． 解析：由题意可知x2＋2x≠0，解得x≠0，且x≠－2， 所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，0)∪(0，＋∞)， 设y＝，u＝x2＋2x，二次函数u＝x2＋2x的单调递增区间是(－1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1)，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(－2，－1)． 答案：(－∞，－2)，(－2，－1) (3)已知函数f(x)＝，x∈[0，2]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 解析：可判断函数f(x)＝在[0，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝. 答案：2　 　函数的单调性(区间)的证明或判断 　求具体函数的单调区间 例1　函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A．(－∞，]　　 B．[，1] C．[1，＋∞)　　 D．(－∞，]∪[1，＋∞) 解析：B　g(x)＝x·|x－1|＋1＝画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为[，1]． 　证明函数的单调性 例2　已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：f(x)是R上的增函数． 证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． 反思感悟 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 训练1　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x　　 B．y＝|x2－2x| C．y＝x－　　 D．y＝ 解析：AC　∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 对于选项C，因为y＝x和y＝－都在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． 训练2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－∞，1)上的单调性． 解：设x1＜x2＜1， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为x1＜x2＜1， 所以x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0， 所以＞0. 所以，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，f(x)在(－∞，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)， f(x)在(－∞，1)上单调递增． 　函数的最值 例3　(1)函数f(x)＝()x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________． 解析：因为函数y＝()x，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减， 所以函数f(x)＝()x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减， 所以函数f(x)的最大值为 f(－2)＝()－2－log2(－2＋4)＝9－1＝8. 答案：8 (2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 解析：法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分． 易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 法二：依题意，h(x)＝ 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数； 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 答案：1 反思感悟 1．求函数最值的三种基本方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． 2．对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 训练3　(1)函数f(x)＝x＋的最大值是________． 解析：令t＝(t≥0)，则x＝. 所以原函数可化为y＝＋t＝－(t－1)2＋1(t≥0)， 故当t＝1，即x＝0时，y有最大值，最大值为1. 答案：1 (2)已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________． 解析：当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0； 当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0. ∴f(x)的最小值为2－3. 答案：2－3 　函数单调性的应用 　比较函数值的大小 例4　(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　) A．b>c>a　　 B．b>a>c C．c>b>a　　 D．c>a>b 解析：A　由题意得f(x)＝f(2－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 因为1>>，所以b＝f()>f()＝a，c＝f()＝f(2－)．因为<2－<，所以b>c>a，故选A． 　解函数不等式 例5　已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2， 所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)<f(1)， 所以0<x2－4<1， 解得－<x<－2或2<x<. 答案：(－，－2)∪(2，) 　求参数的取值范围 例6　(2024·吉林部分学校大联考)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的单调函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，)∪(1，＋∞)　　 B．(0，]∪(1，＋∞) C．(，1)∪(1，＋∞)　　 D．[，1)∪(1，＋∞) 解析：B　f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的单调函数， 若f(x)在R上单调递增， 则解得a>1； 若f(x)在R上单调递减， 则解得0<a≤. 综上，a的取值范围是(0，]∪(1，＋∞)．故选B． 反思感悟 1．比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 2．求解与抽象函数有关的不等式问题时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 3．利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 训练4　(1)已知f(x)＝2x－，a＝f()，b＝f()，c＝f()，则(　　) A．a>b>c　　 B．a>c>b C．c>a>b　　 D．c>b>a 解析：D　易知f(x)＝2x－在(1，＋∞)上单调递增，又>>， 故f()>f()>f()，即c>b>a. (2)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　 B．[－2，0) C．(0，2]　　 D．[2，＋∞) 解析：D　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝(x－)2－在区间(0，1)上单调递减，因此 ≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D． (3)已知函数f(x)＝()x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________． 解析：由f(x)＝()x－log2(x＋2)知， f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数， 且f(－1)＝3， 由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)， ∴ 解得0<a<1. 答案：(0，1) 学科网（北京）股份有限公司 $$