第2章 第1讲 函数的概念及其表示（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第1讲　函数的概念及其表示 　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 函数的三要素：定义域、值域、对应关系． 2．同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同． (2)结论：这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 常用结论 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．注意以下几类函数的定义域： (1)分式型函数，定义域为分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，定义域为被开方式非负的实数集合． (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合． (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为 {x|x≠kπ＋，k∈Z}． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B．(　　) (3)若A＝B＝R，f：x→y＝log2x，其对应是从A到B的函数(　　) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．回源教材 (1)下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是(　　) A．y＝()2　　 B．u＝ C．y＝　　 D．m＝ 解析：B　函数y＝()2与函数m＝和y＝x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y＝＝|x|与y＝x的解析式不同，也不是同一个函数．故选B． (2)已知f(x)＝x＋3＋，若f(a)＝，则a＝________． 解析：f(a)＝a＋3＋＝， 解得a＝1或－. 答案：1或－ (3)函数f(x)＝＋的定义域为________． 解析：由 得－1≤x≤3且x≠2. 故f(x)的定义域为[－1，2)∪(2，3]． 答案：[－1，2)∪(2，3] 　函数的概念 1．(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的为(　　) A．A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ D．A＝{－1，1}，B＝{0}，f：x→y＝0 解析：BD　对于A，A中有元素0，在对应关系下y＝0，不在集合B中，不是函数； 对于B，符合函数的定义，是从A到B的函数； 对于C，A中元素x＜0时，B中没有元素与之对应，不是函数； 对于D，A中任意元素，在对应关系下y＝0，在集合B中，是从A到B的函数．故选BD． 2．(多选)下列各组函数是同一个函数的为(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(x)＝，g(x)＝x 解析：AC　同一个函数需满足：①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足． 3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：B　A中函数定义域不是[－2，2]； C中图象不表示函数； D中函数值域不是[0，2]，只有B可能． 反思感悟 函数概念的判定方法 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，但B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 　函数的定义域 例1　(1)(2024·雅安期末)函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，2)　　 B．(－1，2] C．(1，2)　　 D．(1，2] 解析：A　由得－1＜x＜2，所以函数y＝的定义域为(－1，2)．故选A． (2)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(2x－1)的定义域是(　　) A．(0，)　　 B． C．∪　　 D．(－∞，) 解析：B　∵f(x2－1)的定义域为[0，3]，∴0≤x≤3，∴－1≤x2－1≤8，在f(2x－1)中－1≤2x－1≤8，解得0≤x≤，所以函数f(2x－1)的定义域为. 反思感悟 函数定义域的求解方法 (1)求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． (2)求抽象函数定义域的方法： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 训练1　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－∞，－2]∪[3，＋∞) B．[－3，1)∪(1，2] C．[－2，1)∪(1，3] D．(－2，1)∪(1，3) 解析：C　由解得－2≤x≤3且x≠1. (2)(2024·南昌二中第四次考试)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋的定义域为(　　) A．(2，3]　　 B．(－2，3] C．[－2，3]　　 D．(0，3] 解析：A　函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，由题意可知，解得即2＜x≤3，故函数F(x)的定义域为(2，3]．故选A． 　函数的解析式 例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2 x，求f(x)的解析式； (2)已知f(x＋)＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法) 设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2 x＝1－sin2 x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]． 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]． (2)(配凑法) ∵f(x＋)＝x2＋＝(x＋)2－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法) ∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)． ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (4)(解方程组法) ∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. 反思感悟 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达方式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 训练2　(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________． 解析：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有 f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)， 所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)． 答案：x2－4x＋3(x≥1) (2)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，则f(x)＝________． 解析：∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，　① ∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，　② 由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6， ∴f(x)＝3x－2(x∈R)． 答案：3x－2 (3)已知f[f(x)]＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________． 解析：因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)， 因为f[f(x)]＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立， 所以解得或 所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9. 答案：2x＋3或－2x－9 　分段函数 　求分段函数的函数值 例3　已知函数f(x)＝则f(3)＝________． 解析：因为f(x)＝ 所以f(3)＝f(1)＝f(－1)＝e－1＋1＝1. 答案：1 　分段函数与方程、不等式 例4　(1)(2024·丽江模拟)设函数f(x)＝若f(f(a))－f(a)＋2＝0，则实数a的值为(　　) A．－1　　 B．－－1 C．＋1　　 D．－＋1 解析：B　令f(a)＝t，则f(t)＝t－2. 当t≤0时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解； 当t＞0时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f(a)＝1， 若a≤0，则a2＋2a＝1，解得a＝－－1，若a＞0，则－a2＝1无解．综上，a＝－－1，故选B． (2)(2024·大庆模拟)已知函数f(x)＝若f(2a－1)－1≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．(－∞，－)∪[0，] C．[0，] D．(－∞，] 解析：D　因为f(2a－1)－1≤0⇒f(2a－1)≤1. ①当2a－1≥1时，f(2a－1)＝ln(2a－1)≤1⇒1≤a≤. ②当0≤2a－1＜1时，f(2a－1)＝0≤1⇒≤a＜1. ③当2a－1＜0时，f(2a－1)＝2a－1≤1⇒a＜. 综上所述：a≤. 反思感悟 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 训练3　(1)(2024·合肥模拟)已知f(x)＝则f(f(26))等于(　　) A．　　 B． C．1　　 D．2 解析：C　f(26)＝log5(26－1)＝log525＝2， ∴f(f(26))＝f(2)＝e2－2＝e0＝1. (2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－)＞1的x的取值范围是________． 解析：由题意得，当x＞时，2x＋2x－＞1恒成立，即x＞满足题意； 当0＜x≤时，2x＋(x－)＋1＞1恒成立， 即0＜x≤满足题意； 当x≤0时，x＋1＋(x－)＋1＝2x＋＞1， ∴x＞－，即－＜x≤0. 综上，x的取值范围是(－，＋∞)． 答案：(－，＋∞) 　函数的值域 求函数值域的一般方法： (1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法． 典例　求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)y＝； (3)y＝2x－； (4)y＝＋. 解：(1)(配方法) y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)， 可得函数的值域为[2，6)． (2)(分离常数法) y＝＝＝2＋， 显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法) 设t＝，则x＝t2＋1， 且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示 )，可得函数的值域为. (4)(单调性法) 函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞)． 训练1　函数y＝的值域是________． 解析：y＝＝＝1－， ∵≠0，∴1－≠1， ∴原函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，1)∪(1，＋∞) 训练2　(2024·长春检测)函数y＝1＋x－的值域为________． 解析：设＝t，则t≥0，x＝， 所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3) ＝－(t＋1)2＋2， 因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－的值域为(－∞，]． 答案：(－∞，] 学科网（北京）股份有限公司 $$