第1章 第5讲 一元二次方程、不等式（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第5讲　一元二次方程、不等式 　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)、不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1，或x>x2} R 2．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 常用结论 　　　一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为R.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．回源教材 (1)不等式3x2－7x≤10的解集为________． 解析：由3x2－7x≤10得 3x2－7x－10＝(3x－10)(x＋1)≤0， 解得－1≤x≤. 答案： (2)已知2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m的值为________． 解析：因为2x2＋kx－m<0的解集为(t，－1)(t<－1)， 所以x＝－1为方程2x2＋kx－m＝0的一个根， 所以k＋m＝2. 答案：2 (3)已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3. 答案：[1，3] 　一元二次不等式的解法 　不含参数不等式的解法 例1　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 解析：ABD　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确； 且－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确． (2)不等式<1的解集为________． 解析：<1，即<0，解得－7<x<2，因此不等式的解集为(－7，2). 答案：(－7，2) 　含参数不等式的解法 例2　解关于x的不等式kx2－2x＋k<0(k∈R). 解：①当k＝0时，不等式的解为x>0. ②当k>0时，若Δ＝4－4k2>0， 即0<k<1时，不等式的解为 <x<； 若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解． ③当k<0时，若Δ＝4－4k2>0，即－1<k<0时，不等式的解为 x<或x>； 若Δ<0，即k<－1时，不等式的解集为R； 若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1. 综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅； 0<k<1时，不等式的解集为 ； k＝0时，不等式的解集为{x|x>0}； －1<k<0时，不等式的解集为 ； k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}； k<－1时，不等式的解集为R. 反思感悟 对含参数的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 训练1　已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8. (1)若不等式f(x)<0的解集为，求a的值； (2)当a<0时，求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解：(1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，可化为(ax＋2)(x－4)<0. 因为f(x)<0的解集是， 所以a>0且－＝－，解得a＝3. (2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0， 因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0， 当4<－，即－<a<0时，原不等式的解集为； 当4＝－，即a＝－，原不等式的解集为∅； 当4>－，即a<－时，原不等式的解集为. 综上所述， 当－<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝－时，原不等式的解集为∅； 当a<－时，原不等式的解集为. 　一元二次不等式恒成立问题 　在R上的恒成立问题 例3　(2024·常州开学考)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________． 解析：因为x2＋x＋2＝＋>0，所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立．当k＝2时，2>0，显然成立；当k≠2时，k满足不等式组解得 2<k<10.综上所述，实数k的取值范围是[2，10). 答案：[2，10) 　在给定区间上的恒成立问题 例4　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取值范围是________． 解析：要使f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6<0， 即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 法一：令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0. 所以m<，则0<m<. 当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0. 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是. 法二：因为x2－x＋1＝＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0， 所以m<. 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可，因为m≠0，所以m的取值范围是. 答案： 　给定参数范围的恒成立问题 例5　(2024·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：D　不等式x2＋px>4x＋p－3 可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0， 由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)， 令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)， 可得 解得x<－1或x>3. 反思感悟 恒成立问题求参数范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论． 训练2　已知关于x的不等式2x－1>m(x2－1). (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围； (3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围． 解：(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)<0， 当m＝0时，－2x＋1<0不恒成立； 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立， 则需m<0且Δ＝4－4m(1－m)<0，无解， 所以不存在实数m，使不等式恒成立． (2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)， 当m∈[－2，2]时，f(m)<0恒成立． 当且仅当 即 由①，得<x<. 由②，得x<或x>. 取交集，得<x<. (3)因为x>1，所以m<. 设2x－1＝t(t>1)，x2－1＝， 所以m<＝. 设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)， 显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数． 当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，所以m≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $$