第1章 第2讲 常用逻辑用语（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第2讲　常用逻辑用语 　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 1．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 　充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． ①若p是q的充分条件，则A⊆B； ②若p是q的充分不必要条件，则AB； ③若p是q的必要不充分条件，则BA； ④若p是q的充要条件，则A＝B. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 意义 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 常用结论 1．A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件． 2．命题p与p的否定的真假性相反． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．(　　) (2)存在x∈R，x2－x＋1≤0.(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (4)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) 答案：(1)×　(2)× 　(3)√　(4)√ 2．回源教材 (1)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不一定成立． (2)命题“有一个偶数是素数”的否定是________． 答案：任意一个偶数都不是素数 (3)使－2＜x＜2成立的一个充分条件是________．(答案不唯一，写出一个即可) 解析：只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－2＜x＜2，或0＜x＜2等． 答案：0＜x＜2(答案不唯一) 　充分条件与必要条件的判断 例1　(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：B　法一：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 法二：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. (2)(2024·信阳开学考试)若a，b∈R，则“a3＞b3”是“a2＞b2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　不妨取a＝－1，b＝－2，满足a3＞b3，但是a2＞b2不成立，所以由“a3＞b3”推不出“a2＞b2”，取a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但是a3＞b3不成立，所以由“a2＞b2”推不出“a3＞b3”．所以“a3＞b3”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选D. (3)(多选)(2024·广东多校联考)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1　　 B．a＝b C．b＝1　　 D．ab＝1 解析：AC　由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1.故选AC. 反思感悟 充分、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． 训练1　(1)(2024·常德五校第一次联考)不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是(　　) A．－3＜x＜　　 B．－＜x＜3 C．－1＜x＜3　　 D．＜x＜3 解析：C　∵2x2－5x－3＜0，∴－＜x＜3， 观察四个选项可知是(－1，3)的真子集，故“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0”成立的一个必要不充分条件．故选C. (2)(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(　　) A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 B．命题“任意x＜1，都有x2＜1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析：AD　对于A，＜1，即－1＜0，即＜0，即＞0，即a＜0或a＞1，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确． 对于B，命题“任意x＜1，都有x2＜1”的否定是“存在x＜1，使得x2≥1”，故B错误． 对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得，x2＋y2≥8； 当x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误． 对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确． 　充分条件与必要条件的应用 例2　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求m的取值范围． 解：(1)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴A＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A. 则∴0≤m≤3. 即所求m的取值范围是[0，3]. (2)∵x∈A是x∈B的充分不必要条件， ∴AB， 则或 解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞). 反思感悟 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 训练2　(2024·宿迁泗阳县实验高级中学期末)已知“(x－m)(x－m－2)＜0”是“＜0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 解析：由(x－m)(x－m－2)＜0解得m＜x＜m＋2，由＜0解得－＜x＜1，则{x|m＜x＜m＋2}，故m≤－且m＋2≥1(等号不同时成立)，即m∈. 答案： 　全称量词与存在量词 　含量词命题的否定及真假判断 例3　(1)(2024·开封模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则¬p是(　　) A．∀x∈R，ex≤x＋1　　 B．∀x∈R，ex＜x＋1 C．∃x∈R，ex≤x＋1　　 D．∃x∈R，ex＜x＋1 解析：D　∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex＜x＋1.故选D. (2)(2024·九江十校联考)下列命题的否定是真命题的为(　　) A．任意两个等边三角形都相似 B．∃x∈R，x2－x＋1＝0 C．存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直 D．∀x∈R，x＋|x|≥0 解析：B　对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题，故A错误； 对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＜0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确； 对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误； 对于D，∀x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误． 　含量词命题的应用 例4　若“∃x∈，sin x＜m”是假命题，则实数m的最大值为(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 解析：D　因为“∃x∈，sin x＜m”是假命题， 所以“∀x∈，m≤sin x”是真命题， 即m≤sin x对于∀x∈恒成立， 所以m≤(sin x)min， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以x＝－时，y＝sin x最小，其最小值为y＝sin ＝－sin ＝－， 所以m≤－，所以实数m的最大值为－. 反思感悟 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． 训练3　(1)命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　) A．有些三角形不是等腰三角形 B．有些三角形可能是等腰三角形 C．所有三角形都不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：C　命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则¬p是“所有三角形都不是等腰三角形”． (2)(2024·青岛莱西期中)下列各命题的否定为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－x＋≥0 B．∃x∈R，2x＞x2 C．∃x∈R＋，＞log2x D．∀x∈，sin x＜x 解析：D　对于A，∀x∈R，x2－x＋＝≥0为真命题，其否定为假命题，故A错误； 对于B，因为当x＝5时，25＝32＞52＝25，所以∃x∈R，2x＞x2为真命题，其否定为假命题，故B错误； 对于C，当x∈(0，1)时，＞0，log2x＜0，所以∃x∈R＋，＞log2x为真命题，其否定为假命题，故C错误； 对于D，当x＝0时，sin 0＝0，故∀x∈，sin x＜x为假命题，其否定为真命题，故D正确． (3)若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是真命题， 则Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 解得a≤－2或a≥1， 所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞). 答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$