专题15 几何综合证明及动点问题-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（重庆专用）

专题15 几何综合证明及动点问题（原卷版） 1．（2024•重庆A卷）在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）．点D关于直 线的对称点为点E，连接，．在直线上取一点F，使，直线与直线 交于点G． （1）如图1，若，，，求的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图1，若，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 2．（2024•重庆B卷）在中，，，过点B作． （1）如图1，若点D在点B的左侧，连接，过点A作交于点E．若点E是的中点，求证：； （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接．过点F作交于点M，平分交于点N，求证：； （3）若点D在点B的右侧，连接，点F是的中点，且．点P是直线上一动点，连接，将绕点F逆时针旋转得到，连接，点R是直线上一动点，连接，．在点P的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 3．（2023•重庆A卷）在中，，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，求证：； （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 4．（2023•重庆B卷）如图，在等边中，于点D，E为线段上一动点（不与A，D重 合），连接，，将绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点G，连接，，与所在直线交于点H，求证：； （3）如图3，连接交于点G，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 5．（2022•重庆A卷）如图，在锐角中，，点D，E分别是边，上一动点，连接 交直线于点F． （1）如图1，若，且，，求的度数； （2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值． 6．（2022•重庆B卷）在中，，，D为的中点，E，F分别为， 上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； （3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 7．（2021•重庆A卷）在中，，D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋 转至的位置，使得． （1）如图1，当时，连接，交于点F．若平分，，求的长； （2）如图2，连接，取的中点G，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 8．（2021•重庆B卷）在等边中，，，垂足为D，点E为边上一点，点F为 直线上一点，连接． （1）将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接． ①如图1，当点E与点B重合，且的延长线过点C时，连接，求线段的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，的延长线交边于点H，连接，求证：； （2）如图3，当点E为中点时，点M为中点，点N在边上，且，点F从中点Q沿射线运动，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积． 9．（2020•重庆A卷）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接， 把绕点A逆时针旋转，得到，连接，．点F是的中点，连接． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点G，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为m，请直接用含m的式子表示的长． 10．（2020•重庆B卷）为等边三角形，，于点D，E为线段上一点， ．以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，N为的中点． （1）如图1，与交于点G，连接，求线段的长； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段的中点，连接，．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的面积． 11．（2024•铜梁区一模）已知如图，在等边中，点D，E分别是边，上两点（不与端点重合）， 且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，将线段绕点A逆时针旋转后得到，连接交于点K，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，请直接写出的值． 12．（2024•沙坪坝区校级三模）在等腰中，，点D在延长线上，以为边，在 上方作任意，连接交于点G． （1）如图1，若，点G为中点，，，求的长； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； （3）如图3，，，点P是平面内直线下方一动点，始终满足．点H为直线上一点，连接，满足，延长至点F，使得．点M为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积． 13．（2024•渝中区校级三模）中，，D为边的中点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，，F为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点E，如果，求证：； （3）如图3，，F为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，当最小时，K为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 14．（2024•九龙坡区校级模拟）在中，，，点E是内部的一点， 连接，，，且，延长交于点D． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：． （3）如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点O是直线上的动点，连接，，将沿翻折得到，连接，，直接写出当取最小值时的值． 15．（2024•渝北区模拟）在等边中，点F是延长线上一点，点D是线段上一点，将绕 点D逆时针旋转得到． （1）如图1，若点E恰好落在边上，，求的长； （2）如图2，若，连接、，探究，，之间的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，若，，连接，，当最小时，直接写出的面积． 16．（2024•渝中区模拟）已知中，，于点D，于点E，与 交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，且，猜想线段，，之间有何数量关系，并证明你的猜想； （3）若，，点P是边上一动点（点P与点E重合除外），连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，．当最小时，直接写出的值． 17．（2024•沙坪坝区校级三模）已知：等边，点A和点D在直线的异侧，且， 于点E． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，取中点F，连接，试探究，，三条线段的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点G，在射线上取点H，使，连接，，射线交延长线于点K．当最小时，请直接写出的值． 18．（2024•九龙坡区模拟）在中，，点D是直线上一动点，连接． （1）如图1，平分，于点K，若，，求线段的长； （2）如图2，若，点D在线段上，，，于点E，交的延长线于点F，过点B作于点G，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点P是平面内一点，且，，过点P作于点M，交于点Q，连接，，若，，当取最小值时，直接写出的面积． 19．（2024•北碚区校级模拟）在中，，，点D是线段上一点． （1）如图1，已知，，求的长； （2）如图2，点D是的中点，点R、G分别是线段、上的点，连接并延长与交于点F，以为直角边，构造等腰，在上取一点E，当，时，求证：； （3）如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，以为直角边作等腰，连接，当取得最小值时，直接写出的值． ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 几何综合证明及动点问题（解析版） 1．（2024•重庆A卷）在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）．点D关于直 线的对称点为点E，连接，．在直线上取一点F，使，直线与直线 交于点G． （1）如图1，若，，，求的度数（用含α的代数式表示）； （2）如图1，若，，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或． 【详解】解：（1）如图1.1， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）；理由如下： 在上截取，连接，，，交于点H， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，记与的交点为点N，则由轴对称可知：，， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）连接，记与的交点为点N，如图2， ∵，， ∴， 由轴对称知，，，， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G在延长线上时，只能是，如图3： 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 2．（2024•重庆B卷）在中，，，过点B作． （1）如图1，若点D在点B的左侧，连接，过点A作交于点E．若点E是的中点，求证：； （2）如图2，若点D在点B的右侧，连接，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接．过点F作交于点M，平分交于点N，求证：； （3）若点D在点B的右侧，连接，点F是的中点，且．点P是直线上一动点，连接，将绕点F逆时针旋转得到，连接，点R是直线上一动点，连接，．在点P的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点R的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的最大值为． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴； 证明：（2）过点G作于H，连接， ∵， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点D作交延长线与H，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点F是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 设直线交于K，则，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 3．（2023•重庆A卷）在中，，，点D为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，以为边在上方作等边，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G．若，求证：； （3）在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点M为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点P为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【详解】（1）解：在中，， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：取的中点O，连接，如图： 在中，点O为斜边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上截取，连接， ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取的中点S，连接，如图： 在取得最小值时，， 设，则，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆， ∵点P为的中点，S为的中点， ∴， ∴P的运动轨迹是以S为圆心，为半径的圆， 当最大时，C，P，S三点共线，过P作于T，过N作于R，如图： ∵S是中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 连接交于W，如图： ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∵， ∴，即， ∵P为中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得是的中位线， ∴， ∴，， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2023•重庆B卷）如图，在等边中，于点D，E为线段上一动点（不与A，D重 合），连接，，将绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点G，连接，，与所在直线交于点H，求证：； （3）如图3，连接交于点G，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的最小值为． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点F作，交点的延长线于点K，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴F在的垂直平分线上， ∵， ∴B在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：依题意，如图所示，延长，交于点R， 由（2）可知是等边三角形， ∴， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）可知G是的中点，则， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 又， ∴， ∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示， ∴， ∴， ∴． 5．（2022•重庆A卷）如图，在锐角中，，点D，E分别是边，上一动点，连接 交直线于点F． （1）如图1，若，且，，求的度数； （2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点H是的中点，点K是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点D，E运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）如图1中，在射线上取一点K，使得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2﹣1中，延长到Q，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴， 延长到P，使得，则是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． （3）由（2）可知， ∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中）， ∴P，F，O三点共线时，的值最小， 此时， ∴， ∵， ∴， 如图3﹣2中，过点H作于点L，设交于点J，设，，，， ∵， ∴， ∴． 6．（2022•重庆B卷）在中，，，D为的中点，E，F分别为， 上任意一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，点E与点C重合，且的延长线过点B，若点P为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点M，点N在上，且，求证：； （3）如图3，F为线段上一动点，E为的中点，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）线段的长度的最小值． 【详解】（1）解：如图1，连接， 由旋转知，，， ∴为等腰直角三角形， ∵点P是的中点， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）证明：如图2， 过点E作交的延长线于H， ∴， 由旋转知，，， ∴， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵点E是的中点， ∴， 根据勾股定理得，， 由折叠知，， ∴点是以点E为圆心，为半径的圆上， 由旋转知，， ∴点G在点A右侧过点A与垂直且等长的线段上， ∴的最小值为， 要最小，则最大，即最大， ∵点F在上， ∴点F在点A或点D时，最大，最大值为， ∴线段的长度的最小值． 7．（2021•重庆A卷）在中，，D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋 转至的位置，使得． （1）如图1，当时，连接，交于点F．若平分，，求的长； （2）如图2，连接，取的中点G，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，．若，当，时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）连接，过点F作于Q， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由：延长至点M，使，连接， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，连接，与的交点记作点N， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴点A，B，C，E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点D作于H， 在中，，， ∴， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴． 8．（2021•重庆B卷）在等边中，，，垂足为D，点E为边上一点，点F为 直线上一点，连接． （1）将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连接． ①如图1，当点E与点B重合，且的延长线过点C时，连接，求线段的长； ②如图2，点E不与点A，B重合，的延长线交边于点H，连接，求证：； （2）如图3，当点E为中点时，点M为中点，点N在边上，且，点F从中点Q沿射线运动，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）①；②证明见解析；（2）． 【详解】解：（1）①过D作于H，如图： ∵线段绕点E逆时针旋转得到线段，点E与点B重合，且的延长线过点C， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵等边，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 中，， ∴， 中，，， ∴， ∴， 中，； ②过E作交于P，过H作交于M，连接，作中点N，连接，如图： ∵绕点E逆时针旋转得到线段， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴B、E、F、H共圆， ∴， 而是等边三角形，， ∴，即， ∴， ∴， ∴①， ∵，， ∴，， ∴， ∴E、P、F、G共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴②， 而③， 由①②③得， ∴， ∵，中点N，， ∴， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴，即， 中，， 中，， ∴， ∴； （2）以M为顶点，为一边，作，交于G，过P作于H，设交于K，如图： 中，， ∴最小即是最小，此时N、P、H共线， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴F在射线上运动，则P在射线上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，，则F、P轨迹的夹角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵等边中，，， ∴， 又， ∴， ∵等边中，，点E为中点时，点M为中点， ∴，， 中，，， ∴，， 中，， ∴， ∴． 9．（2020•重庆A卷）如图，在中，，，点D是边上一动点，连接， 把绕点A逆时针旋转，得到，连接，．点F是的中点，连接． （1）求证：； （2）如图2所示，在点D运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点G，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D运动的过程中，在线段上存在一点P，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为m，请直接用含m的式子表示的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵把绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点G作于H， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）如图3﹣1，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点N，点M共线时，值最小， 此时，如图3﹣2，连接， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：． 10．（2020•重庆B卷）为等边三角形，，于点D，E为线段上一点， ．以为边在直线右侧构造等边三角形，连接，N为的中点． （1）如图1，与交于点G，连接，求线段的长； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，M为线段的中点，连接，．当时，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）是定值，理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）如图1中，连接，． ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）结论：是定值． 理由：连接，．同法可证， ∴， ∵， ∴， ∵EN＝NC，EM＝MF， ∴MN∥CF， ∴， ∵BD＝DC，EN＝NC， ∴DN∥BE， ∴， ∵， ∴． （3）如图3﹣1中，取是定值的中点，连接，，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点N在的延长线上时，的值最大，如图3﹣2中，过点N作于H，设交于K，连接． ∵，， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 11．（2024•铜梁区一模）已知如图，在等边中，点D，E分别是边，上两点（不与端点重合）， 且，与相交于点F． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，将线段绕点A逆时针旋转后得到，连接交于点K，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图1， 延长至H，使，延长至R，使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 由（1）得， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图2， 设， 由（2）知， ， ∴，， 作等边三角形，作的外接圆O， 则点G在上， 连接，取的中点I，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点K在以I为圆心，的圆上运动， 连接，交于，此时最小， 的延长线交于V，取的中点W，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2024•沙坪坝区校级三模）在等腰中，，点D在延长线上，以为边，在 上方作任意，连接交于点G． （1）如图1，若，点G为中点，，，求的长； （2）如图2，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； （3）如图3，，，点P是平面内直线下方一动点，始终满足．点H为直线上一点，连接，满足，延长至点F，使得．点M为直线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，连接、，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）如图1， 在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图2， ∵沿翻折至所在平面内得到， ∴， ∴点N在过点B且与垂直的射线上运动， 作的外接圆O， ∵，， ∴点P在上运动， 作，截取， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点F在以W为圆心，为半径的圆上运动， 作交于F， 则最小， 作于X， ∴， ∴， 设交于Q，交于R，作于V，作于S，作于T， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（2024•渝中区校级三模）中，，D为边的中点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，，F为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点E，如果，求证：； （3）如图3，，F为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，当最小时，K为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）解：如图1， 作于E， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 由得， ， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴； （2）证明：如图2， 连接，，， ∵， ∴点A、B、C、E共圆， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，∴， ∴是等边三角形， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图3， 作等边三角形，连接， 同理（2）可得， ， ∴， ∴， ∴点G在上运动， ∴当时，最小（图中），此时（图中）， 如图4， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴当F、C、共线时，最大， 作，作于H， 设，则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2024•九龙坡区校级模拟）在中，，，点E是内部的一点， 连接，，，且，延长交于点D． （1）如图1，若，，求的长． （2）如图2，过点A作交的延长线于点F，过点B作交于点M，求证：． （3）如图3，在（1）问的条件下，点H是的中点，点O是直线上的动点，连接，，将沿翻折得到，连接，，直接写出当取最小值时的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：如图1， 连接，设交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A、F、B、C共圆， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图2， ， ∵沿翻折得到， ∴， ∴点在以E为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴，， 延长至F，使，连接，交于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当运动在处时，最小， 作，交的延长线于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2024•渝北区模拟）在等边中，点F是延长线上一点，点D是线段上一点，将绕 点D逆时针旋转得到． （1）如图1，若点E恰好落在边上，，求的长； （2）如图2，若，连接、，探究，，之间的数量关系，并写出证明过程； （3）如图3，若，，连接，，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）如图1， 作于G，作于H， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵绕点D逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图2， 延长至G，使，连接，将绕点D逆时针旋转至，交于点O，延长，交于W， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图3， 过点F作，交的延长线于点O，以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立坐标系， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，， 将绕点D逆时针旋转至，作轴于H，作于V， ∴，，，， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，最小， 此时， ∴． 16．（2024•渝中区模拟）已知中，，于点D，于点E，与 交于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，且，猜想线段，，之间有何数量关系，并证明你的猜想； （3）若，，点P是边上一动点（点P与点E重合除外），连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，．当最小时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， 又， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过C作，过E作． ∵，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴设， ∴， ∴． 设， 则． ∴． ∵， ∴． （3）如图所示：连，在上取，延长交于N． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由旋转得为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 说明在垂直于的直线上运动． 故当在上时，根据垂线段最短，得此时最短． 如图所示： ∵，， ∴， 由三角形三条高交于一点得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴， ∴． 由为等腰直角三角形得． ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（2024•沙坪坝区校级三模）已知：等边，点A和点D在直线的异侧，且， 于点E． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，取中点F，连接，试探究，，三条线段的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点G，在射线上取点H，使，连接，，射线交延长线于点K．当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1）的长为；（2），理由见解析；（3）的值为． 【详解】解：（1）过点F作于点F， ( D ) ∵等边，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的长为． （2）， 理由如下： 延长至点G，使，连接，，在上截取， ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）设， ∵，为定值， ∴点B，C，D三点共圆，设圆心为O，则圆心在线段的中垂线上，且， ∵垂直平分， ∴点O在射线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则， ，， ∴点F在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，则， ∴当B，F，三点共线时，的值最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴C，O，D三点共线， ∴为直径， ∴， ∴， ∵， ∴F为的中点， ∵， ∴， ∴， 过点H作，交于点M， ∴， ∴， ∴当M与点B重合时，，的值最小， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点K作， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 18．（2024•九龙坡区模拟）在中，，点D是直线上一动点，连接． （1）如图1，平分，于点K，若，，求线段的长； （2）如图2，若，点D在线段上，，，于点E，交的延长线于点F，过点B作于点G，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，点P是平面内一点，且，，过点P作于点M，交于点Q，连接，，若，，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【详解】解：（1）∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴，，， 在中，， ∴设，则，， 在中，，即， 解得：， 在中，； （2）延长与延长线交于点I， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）作中点E，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即，解得：， ∵E是中点，， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，， 当点M在线段上时，取最小值， 过点M作，交于点H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 19．（2024•北碚区校级模拟）在中，，，点D是线段上一点． （1）如图1，已知，，求的长； （2）如图2，点D是的中点，点R、G分别是线段、上的点，连接并延长与交于点F，以为直角边，构造等腰，在上取一点E，当，时，求证：； （3）如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，以为直角边作等腰，连接，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【详解】（1）解：过点D作，如图1， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 则由勾股定理得：， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 同理在等腰中，由勾股定理得， ∴； （2）证明：过点R作交的延长线于点N，如图2， ∵，， ∵点D是的中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：连接，如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∴，， 以为直角边作等腰， ∴， ∴， 在等腰中，， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点B、C、P三点共线时，取得最小值， 过点Q作，如图4， ∵， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴设，， 由翻折得，，而，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴ ∴． ( 77 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$